1.2.2 函数的和差积商求导法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（湘教版2019）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．2．2　函数的和差积商求导法则 (教师独具内容) 课程标准：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：导数的四则运算法则． 教学难点：导数的四则运算法则的证明过程及其应用． 核心素养：通过学习导数的四则运算法则提升数学运算素养． 知识点一　函数和差积的求导法则 (1)函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数，即(cf(x))′＝cf′(x)． (2)两函数之和的求导法则为(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)． (3)两函数之差的求导法则为(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)． (4)函数乘积的求导法则为(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 知识点二　函数的倒数与商的求导法则 (1)函数的倒数的求导法则为′＝－． (2)两函数之商的求导法则为′＝． 1．函数的和(或差)的导数 函数的和(差)的求导法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 2．函数的积的导数 (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数． (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)＝2x2＋x，则f′(x)＝4＋x．(　　) (2)若函数y＝x3－x2＋1，则y′＝3x2－2x．(　　) (3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (4)若y＝，则y′＝．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数f(x)＝2x＋sincos，则f′(x)＝________． (2)若f(x)＝x，g(x)＝log2x，则f′(x)－g′(x)＝________． (3)若y＝，则y′＝________． 答案　(1)2xln 2＋cosx　(2)1－　(3)－ 题型一　利用求导法则求函数的导数 　求下列函数的导数． (1)y＝＋；(2)y＝x3·10x；(3)y＝cosx·ln x；(4)y＝． [解]　(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3，y′＝－4x－3－9x－4． (2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10． (3)y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋． (4)y′＝＝． 感悟提升 (1)利用函数的和差积商求导法则求函数的导数时，要先分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝x3－x2－x＋3；(2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x3·ex；(4)y＝； (5)y＝＋． 解　(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1． (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋． (3)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)． (4)y′＝′ ＝ ＝ ＝． (5)因为y＝＋＝＋＝＝－2， 所以y′＝′＝＝． 题型二　求导法则的应用 　(1)曲线f(x)＝x3－4x2＋4在点(1，1)处的切线方程为(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4 C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1 [解析]　由f(x)＝x3－4x2＋4，得f′(x)＝3x2－8x，f′(1)＝3－8＝－5，所以曲线f(x)＝x3－4x2＋4在点(1，1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6． [答案]　C (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． [解析]　f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，故该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×|－|＝．故选A． [答案]　A 感悟提升 利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值． [跟踪训练2]　(1)曲线f(x)＝－在点M处的切线的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　f′(x)＝ ＝，故f′＝， ∴曲线在点M处的切线的斜率为． (2)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式． 解　∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1． 又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e，∴b＝0，d＝0， ∴f(x)＝ax4＋cx2＋1，f′(x)＝4ax3＋2cx． ∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点坐标为(1，－1)． ∴a＋c＋1＝－1． ∵f′(1)＝4a＋2c， ∴4a＋2c＝1． ∴a＝，c＝－． ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1． 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ C．′＝ D．(cosxsinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx 答案　A 解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，错误；C项中，′＝，错误；D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，错误．故选A． 2．(多选)若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0可能等于(　　) A．a B．－a2 C．－a D．a2 答案　AC 解析　y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a，故选AC． 3．已知函数f(x)＝excosx－x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________． 答案　y＝1 解析　因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0．又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1． 4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________． 答案　1　2 解析　由题得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝x2－2x＋2，所以f′(2)＝4－4＋2＝2． 5．求下列函数的导数． (1)y＝sinx＋x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝． 解　(1)y′＝(sinx)′＋x′＝cosx＋1． (2)y′＝＝． (3)由于y＝＝3x－x＋5－9x－， 则y′＝3×(x)′－x′＋5′－9(x－)′ ＝3×x－1＋0－9×x－ ＝－1． (4)由于y＝＝e2×x－1， 则y′＝(e2×x－1)′＝－1×e2×x－1－1＝－． 一、选择题 1．已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 答案　D 解析　依题意，有f′(x)＝·′＝·＝，故f′＝2＋ln 2，所以选D． 2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 答案　B 解析　f′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．令F(x)＝－xsinx，x∈R，则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝F(x)，∴f′(x)是偶函数．故选B． 3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋．故选C． 4．已知点P是曲线y＝x2－x＋1上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　) A．1 B． C．3 D． 答案　B 解析　作一直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－x＋1相切于点P，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，x－x0＋1)，f(x)＝y＝x2－x＋1，∴f′(x)＝2x－1，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0－1＝1，∴x0＝1，∴点P的坐标为(1，1)．∴dmin＝＝．故选B． 5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　) A．0秒 B．2秒 C．4秒 D．8秒 答案　ACD 解析　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，因式分解得t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0，4，8．故选ACD． 二、填空题 6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________． 答案　e 解析　由函数的解析式可得f′(x)＝exln x＋ex×＝ex，则f′(1)＝e1＝e，即f′(1)的值为e． 7．函数y＝在x＝2处的导数是________． 答案　 解析　y′＝′ ＝ ＝，设f(x)＝y，所以f′(2)＝． 8．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________． 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1．∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1． 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝； (4)y＝． 解　(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－． (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1． (3)y′＝＝． (4)y′＝＝． 10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0． (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解　(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16． (2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4． 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1． 由f(x)＝x3＋x－16， 可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18， ∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0． 1．求满足下列条件的函数f(x)： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1． 解　(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c． 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组 解得 所以f(x)＝x3－3x2＋3． (2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b． 由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0． 要使方程对任意x都成立， 则需a＝b，b＝2c，c＝1． 解得a＝2，b＝2，c＝1， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1． 2．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)f′(x)＝＝． ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即 由ab－a＝0，得a(b－1)＝0， 由题意a≠0， ∴b＝1， ∴a＝4， ∴f(x)＝． (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝ ＝4． 令t＝， 则t∈(0，1]，k＝4(2t2－t)＝8－， ∴k∈，即直线l的斜率k的取值范围是． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$