2.8 数学探究活动(二)：探究函数性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 1．利用导数探究函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的性质和图象 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的定义域为R，不妨设a＞0，显然，当x取充分小的负值时，f(x)都是负的；当x取充分大的正值时，f(x)都是正的． 对函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d先求导，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝(2b)2－12ac＝4(b2－3ac)． (1)若Δ＝4(b2－3ac)≤0，则f′(x)≥0，表明函数f(x)在R上是单调递增函数，此时函数f(x)无极值，函数f(x)有1个零点，如图1； (2)若Δ＝4(b2－3ac)＞0，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0有两实根，设为x1，x2，且x1＜x2，则函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，此时函数在x＝x1处取得极大值f(x1)，在x＝x2处取得极小值f(x2)， ①如图2，3，若f(x1)·f(x2)＞0，则函数f(x)有1个零点； ②如图4，5，若f(x1)·f(x2)＝0，则函数f(x)有2个零点； ③如图6，若f(x1)·f(x2)＜0，则函数f(x)有3个零点． a＜0的情况同学们可自己讨论． 2．利用函数的图象和性质研究方程解的个数 例ex＝ax2，其中a是实常数． 当a≤0时，显然方程ex＝ax2无解． 下面我们研究a＞0的情况． 令f(x)＝ex，g(x)＝ax2(a＞0)，在同一平面直角坐标系下画两函数的图象，函数f(x)的图象是固定的，函数g(x)的图象是随a的变化而变化的． a取不同的值，作函数g(x)＝ax2的图象． 通过作两函数图象我们发现，两函数图象在第二象限必有1个交点，在第一象限且a值较大一些时，两函数图象有2个交点，随着a值的减小两函数图象有1个交点，直至没有交点． 函数图象在第一象限有1个交点，即两曲线在第一象限相切，求出此时相应的a的值a0.显然，当a＞a0时，两函数图象有3个交点；当a＝a0时，两函数图象有2个交点；当a＜a0时，两函数图象有1个交点． 现在我们求a0，设切点横坐标为x1，则解得x1＝2，a＝，即a0＝.显然，当a＞时，两函数图象有3个交点；当a＝时，两函数图象有2个交点；当0＜a＜时，两函数图象有1个交点． 综上，当a＞时，方程ex＝ax2有3个解； 当a＝时，方程ex＝ax2有2个解； 当a＜时，方程ex＝ax2有1个解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3 学科网（北京）股份有限公司 $$