2.4.1 导数的加法与减法法则&2.4.2 导数的乘法与除法法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 4.1　导数的加法与减法法则 4.2　导数的乘法与除法法则 (教师独具内容) 课程标准：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式和四则运算法则． 教学难点：函数的求导法则及其应用． 核心素养：通过学习导数的四则运算法则，提升数学运算素养． 知识点一　导数的加法与减法法则 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 知识点二　导数的乘法与除法法则 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝，g(x)≠0. 特别地，[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. 1．函数的和(或差)的导数 导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 2．函数的积的导数 (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数． (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． 3．函数的商的导数 (1)注意′≠. (2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)＝2x2＋x，则f′(x)＝4＋x.(　　) (2)若函数y＝x3－x2＋1，则y′＝3x2－2x.(　　) (3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (4)若y＝，则y′＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数f(x)＝2x＋sincos，则f′(x)＝________． (2)若f(x)＝x，g(x)＝log2x，则f′(x)－g′(x)＝________． (3)若y＝，则y′＝________． 答案　(1)2xln 2＋cosx　(2)1－ (3)－ 题型一　导数的加法与减法法则 例1　求下列函数的导数： (1)y＝＋ex；(2)y＝x2－sinx－. [解]　(1)y′＝(＋ex)′＝()′＋(ex)′＝＋ex. (2)y′＝′＝(x2)′－(sinx)′－′＝2x－cosx. 利用导数的加法与减法法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． [跟踪训练1]　求下列函数的导数： (1)y＝x3－x2－x＋3；(2)y＝x2＋log3x. 解　(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1. (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. 题型二　导数的乘法与除法法则 例2　求下列函数的导数： (1)y＝cosx·ln x；(2)y＝. [解]　(1)y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′ ＝－sinx·ln x＋. (2)y′＝ ＝. 遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，再求导． [跟踪训练2]　求下列函数的导数： (1)y＝x3·ex；(2)y＝； (3)y＝＋. 解　(1)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)． (2)y′＝′ ＝ ＝ ＝. (3)因为y＝＋＝＋＝＝－2， 所以y′＝′＝ ＝. 题型三　导数四则运算法则的应用 例3　设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． [解]　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝，① 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝.② 由①②得解得 故f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值． [跟踪训练3]　(1)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． 答案　8 解析　解法一：由y＝x＋ln x得y′＝1＋， ∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2， ∴切线方程为y＝2x－1. 由y＝2x－1与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立，得ax2＋ax＋2＝0，再由相切知Δ＝a2－8a＝0，解得a＝0或a＝8. ∵当a＝0时，y＝ax2＋(a＋2)x＋1并非曲线而是直线，∴a＝8. 解法二：由y＝x＋ln x得y′＝1＋， ∴y′|x＝1＝2， ∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又切线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0. ∵y′＝2ax＋a＋2，∴令2ax＋a＋2＝2， 得x＝－，代入y＝2x－1，得y＝－2， ∴点在曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1上， 故－2＝a×＋(a＋2)×＋1， ∴a＝8. (2)若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值． 解　∵f(x)＝，∴f(c)＝， 又f′(x)＝＝， ∴f′(c)＝. 依题意，知f(c)＋f′(c)＝0， ∴＋＝0， ∴2c－1＝0，解得c＝. 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′ B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx 答案　A 解析　对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′，故A正确；对于B，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，故B错误；对于C，′＝，故C错误；对于D，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，故D错误．故选A. 2．(多选)若函数y＝(a>0且a≠1)在x＝x0处的导数为0，那么x0可能等于(　　) A．a B．－a2 C．－a D．a2 答案　AC 解析　y′＝′＝＝，由＝0，得x0＝±a.故选AC. 3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________． 答案　1　2 解析　由题得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝x2－2x＋2，所以f′(2)＝4－4＋2＝2. 5．求下列函数的导数： (1)y＝sinx＋x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝. 解　(1)y′＝(sinx)′＋x′＝cosx＋1. (2)y′＝ ＝. (3)由于y＝＝3x－x＋5－9x－， 则y′＝3·(x)′－x′＋5′－9(x－)′＝3·x－1＋0－9×x－＝－1. (4)由于y＝＝e2·x－1， 则y′＝(e2·x－1)′＝－1×e2×x－1－1＝－. 一、选择题 1．已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 答案　D 解析　依题意，有f′(x)＝·′＝·＝，故f′＝2＋ln 2.故选D. 2．已知函数f(x)＝2f′(3)x－x2＋ln x，则f(1)＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由f(x)＝2f′(3)x－x2＋ln x，得f′(x)＝2f′(3)－x＋，令x＝3，则f′(3)＝2f′(3)－×3＋，解得f′(3)＝1，所以f(x)＝2x－x2＋ln x，所以f(1)＝2－＋ln 1＝. 3．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0) 答案　C 解析　∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－，由f′(x)>0，得>0，又x>0，∴x>2. 4．已知f(x)＝xex＋3sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝3x C．y＝2x D．y＝4x 答案　D 解析　因为f(x)＝xex＋3sinx，所以f(0)＝0，f′(x)＝ex＋xex＋3cosx，所以切线的斜率k＝f′(0)＝1＋3＝4，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x.故选D. 5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0米/秒的时刻可以为(　　) A．0秒 B．2秒 C．4秒 D．8秒 答案　ACD 解析　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0，4，8.故选ACD. 二、填空题 6．设f(x)＝ax3＋x，若f′(－1)＝4，则a＝________． 答案　1 解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(－1)＝3a＋1＝4，解得a＝1. 7．函数y＝在x＝2处的导数是________． 答案　 解析　y′＝′ ＝ ＝， 所以y′|x＝2＝. 8．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________． 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1，∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1. 三、解答题 9．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离． 解　作一直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切于点P，则切点P到直线y＝x－2的距离最小． 设P(x0，x－ln x0)， 则切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1， ∴x0＝1或x0＝－(舍去)， ∴点P的坐标为(1，1)． ∴dmin＝＝. 10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式． 解　∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1. 又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e， ∴b＝0，d＝0，∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点坐标为(1，－1)，∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)＝4ax3＋2cx，∴f′(1)＝4a＋2c， ∴4a＋2c＝1，∴a＝，c＝－. ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1. 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x. (1)求f′(1)及f(1)的值； (2)求过原点与曲线y＝f(x)相切的直线方程． 解　(1)由题意知，f′(x)＝2f′(1)＋， 故f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1， 所以f(x)＝－2x＋ln x，f(1)＝－2. (2)设切点为(x0，－2x0＋ln x0)． 因为f′(x0)＝－2＋，所以切线方程为y＝(x－x0)－2x0＋ln x0＝x＋ln x0－1， 将(0，0)代入上式，得0＝ln x0－1，解得x0＝e， 所以过原点与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝x. 2．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)f′(x)＝＝. ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即 ∴a＝4，b＝1，∴f(x)＝. (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝ ＝4. 令t＝，则t∈(0，1]，k＝4(2t2－t)＝ 8－，∴k∈， 即直线l的斜率k的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$