2.2.1 导数的概念&2.2.2 导数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 教学重点：1.理解导数的概念.2.对导数几何意义的理解及求切线方程． 教学难点：1.理解导数与瞬时变化率的关系.2.对导数几何意义的理解． 核心素养：1.在学习导数定义的过程中，培养数学抽象素养.2.通过学习导数的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算和直观想象素养． 知识点一　导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝． 知识点二　导数的几何意义 1．割线 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图1，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．切线 如图2，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)． 3．几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 1．对导数概念的理解 函数y＝f(x)在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率，有两层含义： (1) 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2) 不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． 注意：令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝ 与定义中的f′(x0)＝意义相同． 2．对导数几何意义的理解 (1)如果函数y＝f(x)在x0处可导，那么曲线y＝f(x)在该点处有切线，其切点为(x0，f(x0))，斜率k＝f′(x0)，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此，要求曲线在某点处的切线方程，关键是求曲线对应的函数在此处的导数值f′(x0)． (2)若曲线y＝f(x)在x＝x0处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． (3)显然，若f′(x0)>0，则切线的倾斜角为锐角；若f′(x0)<0，则切线的倾斜角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行或重合． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (3)双曲线y＝－在点处的切线的斜率大于在点处的切线的斜率．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 (2)设f(x)在定义域上的每一点处都存在导数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________． (3)曲线y＝x2在x＝2处的切线方程为________． 答案　(1)C　(2)－1　(3)y＝4x－4 题型一　导数的实际意义 例1　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，求函数y＝f(x)在x＝2和x＝6处的导数，并解释它们的实际意义． [解]　根据题意求函数f(x)在x＝2处的导数． ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(Δx)2－3Δx， ∴＝Δx－3，当Δx趋于0时，趋于－3， 故f′(2)＝－3.同理可得f′(6)＝5. f′(2)＝－3表示在第2 h附近，原油温度以3 ℃/h的速度下降；f′(6)＝5表示在第6 h附近，原油温度以5 ℃/h的速度上升． 一般地，函数在某点处的导数即在该点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的变化状态．如以时间为自变量的位移函数的导数表示某时刻物体的运动速度，即v＝s′(t)；以时间为自变量的速度函数的导数表示某时刻物体的加速度，即a＝v′(t)． [跟踪训练1]　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数： s＝ 求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义． 解　当0≤t＜3时，s(t)＝3t2， ＝＝＝6＋3Δt， 当Δt趋于0时，趋于6，所以s′(1)＝6. 当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， ＝ ＝ ＝18＋3Δt， 当Δt趋于0时，趋于18，所以s′(4)＝18. s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分； s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分． 题型二　定义法求函数在某点处的导数 例2　利用导数定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数． [解]　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 导数定义的探究 (1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时的极限是否存在． (2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数值的增量Δy，再算比值＝，然后求极限f′(x)＝y′＝ . (3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种． (4)导数定义 ＝f′(x0)，也即 ＝f′(x0)． [跟踪训练2]　(1)求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. ∴f′(3)＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. (2)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值． 解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx. ∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a) ＝2a， 即2a＝2， ∴a＝1. 题型三　导数的几何意义 例3　已知曲线方程f(x)＝x3，求在点A(2，8)处与曲线相切的直线方程． [解]　∵A(2，8)在曲线f(x)＝x3上， 由f(x)＝x3， 得f′(2)＝＝12， ∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)， 即12x－y－16＝0. 利用导数的几何意义求切线方程 在求切线方程时，若已知切点(x0，f(x0))，则求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即曲线y＝f(x)在x＝x0处切线的斜率，若斜率不存在，则切线方程为x＝x0；若斜率存在，则利用点斜式，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． [跟踪训练3]　若函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为8，求函数在x＝x0处的切线方程． 解　函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝x0附近且经过该点的割线斜率为 k＝ ＝ ＝2Δx＋4x0＋4， 所以f′(x0)＝ (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4＝8，即x0＝1， 所以f(x0)＝f(1)＝2×12＋4×1＝6. 所以所求切线方程为y－6＝8(x－1)， 即8x－y－2＝0. 1．函数y＝f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为(　　) A．8＋4Δx B．8＋2Δx C．4 D．8 答案　D 解析　由已知得，＝＝＝＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，2Δx＋8趋于8，所以f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数为8.故选D. 2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于的时刻是图中的(　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 答案　C 解析　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于的时刻是t3. 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 答案　BC 解析　对于A，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处不一定没有切线，A错误；对于B，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在，B正确；对于C，由导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线的斜率为该点处的导数，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率一定不存在，C正确；对于D，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处不一定没有切线，D错误．故选BC. 4．人感冒服药后，血液中药物的质量浓度y是时间t的函数y＝f(t)(y的单位：μg/mL，t的单位：min)，假设函数y＝f(t)在t＝20时的导数f′(20)＝1.2，则其实际意义是______________________． 答案　表示服药后20 min时，血液中药物质量浓度上升的速度为1.2 μg/(mL·min) 解析　函数在某点处的导数值反映的是函数在该点处的变化情况，在本题中反映的是血液中药物质量浓度上升或下降的速度． 5．已知曲线y＝x3－x＋3，求曲线在点(1，3)处的切线方程． 解　因为Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，所以＝ ＝2＋3Δx＋(Δx)2，所以曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝lim[2＋3Δx＋(Δx)2]＝2，故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 一、选择题 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　) A．在点x＝x0处的函数值 B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 答案　C 解析　根据导数的几何意义可知C正确． 2．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4) B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2) C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2) D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3) 答案　C 解析　由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2，3，4处的切线的斜率均为正且逐渐减小，所以0<f′(4)<f′(3)<f′(2)．故选C. 3．曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线为y＝2x＋1，则 ＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 答案　C 解析　由题意可得f′(x0)＝2，而 ＝ 2 ＝2f′(x0)＝4.故选C. 4．已知函数f(x)＝则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　D 解析　f(1)＝4，f′(1)＝ ＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. 5．(多选)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，则(　　) A．b＝－1 B．b＝1 C．c＝－2 D．c＝2 答案　AD 解析　∵点(1，2)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1　①.∵抛物线在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，∴f′(1)＝1，而f′(1)＝ ＝ ＝ (Δx＋2＋b)＝2＋b，∴2＋b＝1　②.由①②可得b＝－1，c＝2. 二、填空题 6．过曲线y＝x3上两点P(1，1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，则Δx＝0.1时割线PQ的斜率为________． 答案　3.31 解析　设y＝f(x)，则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以割线PQ的斜率k＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.故当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为0.12＋3×0.1＋3＝3.31. 7．已知y＝f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，则实数a的值为________． 答案　2 解析　＝＝Δx＋2＋a， ＝2＋a＝4，解得a＝2. 8．已知曲线y＝f(x)＝x3－2x在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为________． 答案　(1，－1)或(－1，1) 解析　依题意，设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝x3－2x，所以f′(x0) ＝ ＝3x－2＝tan＝1，解得x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.所以点P的坐标为(1，－1)或(－1，1)． 三、解答题 9．在曲线y＝x2上哪一点处的切线分别满足下列条件： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 解　y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设点P(x0，y0)是曲线上满足条件的切点． (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，得x0＝2， 即曲线y＝x2在点P(2，4)处的切线平行于直线y＝4x－5. (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0×＝－1，得x0＝－， 即曲线y＝x2在点P处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角， 所以2x0＝－1，得x0＝－， 即曲线y＝x2在点P处的切线与x轴成135°的倾斜角． 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y关于x的函数为y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解　根据导数的定义，得 f′(100)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋ ＝0.105. f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米． 1．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值． 解　因为＝ ＝ ＝， 所以f′(1)＝＝＝， 解得a＝2或a＝－(不符合题意，舍去)． 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1. 所以a＝2，b＝－1. 2．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． 解　(1)f′(1) ＝ ＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2， f′(b)＝＝2b＋1， 所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2. 因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1， 所以b＝－，所以直线l2的方程为 y＝－x－. (2)由得 即l1与l2的交点坐标为，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，，所以所求三角形的面积S＝××＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$