1.1.2 数列的函数特性-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.2　数列的函数特性 (教师独具内容) 课程标准：1.了解数列是一种特殊函数.2.会用图象法表示数列． 教学重点：1.掌握判断数列增减性的方法.2.会画数列的图象． 教学难点：1.从函数的观点理解数列.2.数列增减性的判断与应用． 核心素养：通过学习数列的函数特性，提升数学抽象和直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 可以把一个数列视作定义在__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的表示方法 (1) ______； (2) ______； (3) ____________． 3．数列的增减性 与函数类似，数列也有增减性． 正整数集 图象法 列表法 通项公式法 核心概念掌握 5 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项_______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项_______它的前一项的数列 常数列 各项都_____的数列 知识点二　数列的分类 按项的变化趋势分类 都大于 都小于 相等 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列是自变量为离散的数的函数．(　　) (2)数列的图象一定是有限个孤立的点．(　　) (3)数列{an}中若存在相邻两项an＋1，an满足an＋1>an，则该数列为递增数列．(　　) √ × 答案 × 核心概念掌握 8 2．做一做 9 答案 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　数列增减性的判断 解析　①是递增数列，②是递增数列，③是递减数列，④是摆动数列，⑤是摆动数列，⑥是常数列． 答案 解析 ①② ③ ⑥ ④⑤ 核心素养形成 11 解 (2)已知数列{an}中，an＝3n2－n，判断数列{an}的增减性． 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 判断数列的增减性的方法 核心素养形成 14 (4)函数法 设an＝f(n)，n∈N＋，若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列；若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则数列{an}是递减数列． (5)图象法 利用数列的图象直观地判断． 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 解 (2)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－1，0，1，0，－1. 图象如图所示． 由图象可知，该数列从a1到a3递增，从a3到a5递减，因此，它既不是递增的，也不是递减的． 核心素养形成 17 题型二　求数列中的最大(小)项 已知数列{an}，an＝－2n2＋9n＋3，求{an}的最大项． 解 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 求数列中最大(小)项的方法 核心素养形成 20 解 [跟踪训练2]　数列的通项公式为an＝n2－7n＋12，求数列中的最小项． 核心素养形成 21 解 解法三：画出该数列的图象，如图所示． 结合图象及数列通项公式的特点，可知当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项a3＝a4＝0. 核心素养形成 22 随堂水平达标 1．下面有四个结论，其中叙述正确的是(　　) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 3．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 4．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数．则an＝________，a2024＝________． 答案 解析 2n＋1 4049 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 30 2．已知an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是(　　) A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．a10或a11 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 31 解析　a1＝4，当n≥2时，an＝f(an－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期为4的周期数列，又2024＝506×4，所以a2024＝a4＝2. 3．如下表定义函数f(x)： 对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2024的值是(　　) A．1 B．2 C．5 D．4 答案 解析 x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 32 解析　在数列{an}中，已知an＝n2＋λn，n∈N＋，a1<a2，则1＋λ<4＋2λ，解得λ>－3.若数列{an}是递增数列，则对任意的n∈N＋都满足an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0，所以λ>－1－2n，即λ>(－1－2n)max＝－3.因此，“a1<a2”是“{an}是递增数列”的充要条件．故选C. 4．在数列{an}中，已知an＝n2＋λn，n∈N＋，则“a1<a2”是“{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 33 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 二、填空题 6．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N＋)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是__________． 解析　∵{an}是递增数列，∴an＋1>an，∴(n＋1－λ)2n＋1>(n－λ)2n，即λ<n＋2，又n∈N＋，∴λ<3. 答案 解析 (－∞，3) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 答案 解析 3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 三、解答题 9．写出下列数列的前5项，并作出它们的图象． (1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； (2)通项公式为an＝－n＋1的数列． 解　(1)前5项为2，3，5，7，11，该数列的图象如图1所示． (2)前5项为0，－1，－2，－3，－4，该数列的图象如图2所示． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 2．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递增数列． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 　　　　　　　　　　　　　 R 1．从函数角度看数列：数列与函数的关系为 eq \x(函数) eq \o(―――――――――――――――――→,\s\up14(定义域为N＋（或{1，2，3，…，n}）)) eq \x(数列)，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 2．一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列． (1)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－eq \f(5,3)，则此数列为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上均不正确 (2)数列{an}中，an＝－n2＋4n＋5，则此数列中的最大值是____． (1)已知下列数列： ①2，22，222，2222；②0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…； ③1，eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，…，eq \f(1,3n－1)，…；④1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； ⑤－1，1，－1，1，…；⑥a，a，a，a，…. 其中，递增数列是______，递减数列是____，常数列为____，摆动数列为________．(将正确的序号填在横线上) 解　解法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N＋)， 即an＋1>an，故数列{an}是递增数列． 解法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 则eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3（n＋1）2－（n＋1）,3n2－n)＝eq \f(n＋1,n)·eq \f(3n＋2,3n－1)>1. 又an>0， 故an＋1>an，即数列{an}是递增数列． (注：作商法比较大小时要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小) 解法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝eq \f(1,6)<1， 则函数y＝3x2－x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，＋∞))上单调递增，故数列{an}是递增数列． (1)定义法 直接利用数列的增减性的定义判断 (2)作差法 数列{an}是递增数列⇔an＋1－an＞0； 数列{an}是递减数列⇔an＋1－an<0. (3)作商法 数列{an}各项都是正数，则数列{an}是递增数列⇔eq \f(an＋1,an)>1；数列{an}是递减数列⇔0<eq \f(an＋1,an)<1. [跟踪训练1]　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，作出它们的图象，并判断其增减性． (1)an＝eq \f(1,2)n－1； (2)an＝sineq \f(（n＋2）π,2). 解　(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，1，eq \f(3,2). 图象如图所示． 由图象可知，该数列为递增数列． 解　解法一：假设an是最大项，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n2＋9n＋3≥－2（n－1）2＋9（n－1）＋3，,－2n2＋9n＋3≥－2（n＋1）2＋9（n＋1）＋3，)) 解得eq \f(7,4)≤n≤eq \f(11,4). 因为n是正整数，所以n＝2. 所以{an}的最大项是a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(105,8). 因为n为正整数，故当n取2时，an取到最大值． 所以{an}的最大项为a2＝13. 解法三：画出该数列的图象，如图所示． 结合图象及数列通项公式的特点，可知当n＝2时， an取到最大值，所以{an}的最大项为a2＝13. (1)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1)) eq \a\vs4\al\co1( )或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1)) eq \a\vs4\al\co1( )确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减(或先减后增)型数列求最大(小)项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)利用二次函数的性质求最大(小)项，如本例中的解法二实质就是利用了二次函数y＝－2x2＋9x＋3的图象关于直线x＝eq \f(9,4)对称这一性质，但应注意an的最大项是当n＝2时取得，而不是当n＝eq \f(9,4)时取得，这是因为n∈N＋，不要因忽视n∈N＋而致误． (3)利用数列的图象及通项公式的特点，直观判断数列的最大(小)项． 解　解法一：∵an＝n2－7n＋12＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)， ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小， 即最小项为a3＝32－7×3＋12＝0，a4＝42－7×4＋12＝0. 解法二：设数列{an}中的第n项最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－7n＋12≤（n－1）2－7（n－1）＋12，,n2－7n＋12≤（n＋1）2－7（n＋1）＋12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≤4，,n≥3.)) ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项a3＝a4＝0. 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(10) 解析　对于A，an＝eq \f(1,n)，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)，它既是无穷数列又是递增数列． 解析　设an＝kn＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝k＋b＝3，,a10＝10k＋b＝21，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1，))∴an＝2n＋1，∴a2024＝2×2024＋1＝4049. 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N＋， ∴n＝2或3， ∴数列中有两项是负数． (2)∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，二次函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)的图象的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)＝2.5.又n∈N＋， ∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 一、选择题 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，eq \f(1,3)，eq \f(1,32)，eq \f(1,33)，… B．sineq \f(π,13)，sineq \f(2π,13)，sineq \f(3π,13)，sineq \f(4π,13)，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，… D．1，2，3，4，…，30 解析　数列1，eq \f(1,3)，eq \f(1,32)，eq \f(1,33)，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sineq \f(π,13)，sineq \f(2π,13)，sineq \f(3π,13)，sineq \f(4π,13)，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． 解析　an是关于n的二次函数，图象的对称轴为直线x＝eq \f(25,2).因为n∈N＋，所以a12或a13是最大项． 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,3n－16)，则(　　) A．数列{an}为递增数列 B．a4＋a8＝2a6 C．a5为最小项 D．a6为最大项 解析　对于A，a1＝－eq \f(1,13)，a2＝－eq \f(1,5)，a1>a2，故数列{an}不是递增数列，A错误；对于B，数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,3n－16)，a4＝eq \f(4,－4)＝－1，a8＝eq \f(8,8)＝1，a6＝eq \f(6,2)＝3，B错误；对于C，D，由于an＋1－an＝eq \f(n＋1,3n－13)－eq \f(n,3n－16)＝eq \f(－16,（3n－13）（3n－16）)，易得当1≤n≤4时，an＋1－an＜0，有a5＜a4＜a3＜a2＜a1＜0，当n>5时，an＋1－an＜0，有a6＞a7＞a8＞…＞an＞0，则a5为最小项，a6为最大项，C，D正确．故选CD. 1－eq \r(3) 7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－eq \r(n2＋2)，则an的最小值为________． 解析　因为an＝n－eq \r(n2＋2)＝eq \f(（n－ \r(n2＋2)）（n＋ \r(n2＋2)）,n＋ \r(n2＋2))＝－eq \f(2,n＋ \r(n2＋2))，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－eq \r(3). eq \f(1,3) 8．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n－\f(10,3)))，则an的最小值为___，此时n的值为___． 解析　依题意，an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)－n，n≤3且n∈N＋，,n－\f(10,3)，n≥4且n∈N＋，))当n≤3且n∈N＋时，{an}单调递减，所以最小值为a3＝eq \f(1,3)；当n≥4且n∈N＋时，{an}单调递增，所以最小值为a4＝eq \f(2,3).综上，an的最小值为eq \f(1,3)，此时n的值为3. 10．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2,n2＋1). (1)求证：数列{an}是递增数列； (2)求从第几项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 解　(1)证明：∵an＋1－an＝eq \f(（n＋1）2,（n＋1）2＋1)－eq \f(n2,n2＋1)＝ eq \f(（n＋1）2（n2＋1）－n2[（n＋1）2＋1],[（n＋1）2＋1]（n2＋1）) ＝eq \f(2n＋1,[（n＋1）2＋1]（n2＋1）)， 由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列． (2)∵an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)， ∴|an－1|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1,n2＋1)))＝eq \f(1,n2＋1). 由eq \f(1,n2＋1)<eq \f(1,10000)， 得n2＋1>10000. 满足上式的n至少取n＝100. ∴从第100项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 1．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))) eq \s\up12(n)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解　解法一：作差比较an＋1与an，判断数列{an}的增减性． 因为an＋1－an＝(n＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))) eq \s\up12(n＋1)－(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))) eq \s\up12(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8))) eq \s\up12(n)×eq \f(5－n,8). 当0<n＜5时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an.故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 即最大项为a5＝a6＝eq \f(76,85). 解法二：作商比较an＋1与an，判断数列{an}的增减性． eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（n＋3）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n＋1),（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n))＝eq \f(7（n＋3）,8（n＋2）). 令eq \f(an＋1,an)>1，解得0＜n<5；令eq \f(an＋1,an)＝1，解得n＝5； 令eq \f(an＋1,an)<1，解得n>5. 故有a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝eq \f(76,85). 解法三：解不等式． 假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n－1)，,（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥（n＋3）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n＋1)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≤6，,n≥5，))即5≤n≤6. 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝eq \f(76,85). 解　(1)由已知，得log22an－eq \f(1,log22an)＝2n，即an－eq \f(1,an)＝2n，所以aeq \o\al(2,n)－2nan－1＝0， 解得an＝n±eq \r(n2＋1)，因为0<x<1，即0<2an <1， 所以an<0，所以an＝n－eq \r(n2＋1). (2)证明：因为eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（n＋1）－\r(（n＋1）2＋1),n－\r(n2＋1))＝eq \f(n＋\r(n2＋1),（n＋1）＋\r(（n＋1）2＋1))<1， 而an<0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1>an， 所以数列{an}是递增数列． $$