4.2.5 第2课时 正态分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册［RJB］ 第2课时　正态分布 (教师独具内容) 课程标准：1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.会利用正态分布解决实际问题.3.掌握正态分布与标准正态分布的转换． 教学重点：1.利用正态分布求概率.2.利用正态分布解决实际问题． 教学难点：正态分布与标准正态分布的转换． 核心素养：1.通过正态分布、标准正态分布的学习培养数学抽象素养.2.通过利用正态分布知识解决实际问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 知识点二　3σ原则 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%． 最后的式子意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． 知识点三　标准正态分布 1．定义 μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 2．Φ(a)的概念 如果X～N(0，1)，那么对于任意实数a，通常记Φ(a)＝P(X<a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积． 3．Φ(a)的性质 Φ(－a)＋Φ(a)＝1． 1．(标准正态分布)设随机变量X～N(0，1)，若Φ(0.42)＝0.6628，则Φ(－0.42)＝________． 答案：0.3372 2．(利用正态分布求概率)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________． 答案：0.8 3．(正态分布的实际应用)已知某公司员工小李每天上班的通勤时间(单位：min)近似服从正态分布N(55，σ2)．若小李上班通勤时间超过1 h的概率是0.3，则其一个月内(按22天计)上班通勤时间超过50 min的天数约为________(结果精确到1)． 答案：15 题型一　利用正态分布求概率　 　(1)(2024·重庆沙坪坝高二阶段练习)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X>1)＝0.7，则P(2<X<3)＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2 [解析]　因为P(X>1)＝0.7，则P(X>3)＝P(X<1)＝0.3，所以P(2<X<3)＝＝0.2.故选D. [答案]　D (2)(2024·辽宁辽阳高二期末)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(171，16)，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于[171，179)内的概率约为(　　) A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480 [解析]　由题意可知，μ＝171，σ＝4，所以P(171≤X<179)＝P(μ≤X<μ＋2σ)≈0.954÷2＝0.477.故选A. [答案]　A (3)已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)≈0.683，则σ＝________，P(|ξ－2|<4)≈________． [解析]　∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)≈0.683，∴μ＝4，结合“3σ原则”，可知 ∴σ＝2.∴P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)＝P(－2<ξ≤2)＋P(2<ξ<6)＝[P(－2<ξ<10)－P(2<ξ<6)]＋P(2<ξ<6)＝P(－2<ξ<10)＋P(2<ξ<6)＝[P(μ－3σ<ξ＜μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ＜μ＋σ)]≈×(0.997＋0.683)＝0.84. [答案]　2　0.84 感悟提升　利用正态分布求概率的方法 (1)利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.683，0.954，0.997求解． (2)充分利用正态曲线的对称性及与x轴所围成的图形面积为1的性质求解． ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a) ＝P(X>μ＋a)，若b>0，则P(X<μ－b) ＝. 　(1)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 答案：BC 解析：依题意可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误；因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，A错误，B正确．故选BC. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________． 答案：0.14 解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. (3)设ξ～N(2，1)，试求： ①P(1≤ξ≤3)； ②P(3≤ξ≤4)； ③P(ξ≤0)． 解：∵ξ～N(2，1)，∴μ＝2，σ＝1. ①P(1≤ξ≤3)＝P(2－1≤ξ≤2＋1)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683. ②P(3≤ξ≤4)＝P(0≤ξ≤1) ＝[P(0≤ξ≤4)－P(1<ξ<3)] ＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)] ≈×(0.954－0.683)＝0.1355. ③P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝[1－P(0<ξ＜4)] ≈×(1－0.954)＝0.023. 题型二　正态分布的应用　 　(2024·湖南长沙一中高二月考)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布N(240，602)． (1)估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间的有多少人； (2)某校对外宣传“我校200人参加此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度． [解]　(1)设此次网络测试的成绩为X， 则X～N(240，602)， 由题意知μ＝240，σ＝60，μ＋2σ＝240＋120＝360，μ－σ＝240－60＝180， 则P(180≤X≤360)≈0.683＋＝0.8185， 所以4000×0.8185＝3274， 所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间的有3274人． (2)不可信． μ＋3σ＝240＋3×60＝420<425， 则P(X≥μ＋3σ)＝≈＝0.0015， 故4000名学生中成绩大于420分的约有4000×0.0015＝6人， 这说明4000名学生中也会出现约6人的成绩高于420分的“极端”样本， 所以该校的宣传语不可信． 感悟提升　若随机变量服从正态分布N(μ，σ2)，由此做假设检验时，按如下步骤进行： (1)确定一次试验中的取值a是否落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内； (2)作出判断：若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设；若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设． 　某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)(单位：cm)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质可知，X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]内取值的概率约为0.997，即在[2.5，5.5]之外取值的概率只有0.003. 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，因此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的． 题型三　标准正态分布　 　(1)如图是正态分布N(0，1)的正态分布曲线图，下面四个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为(　　) ①－Φ(－a)；②Φ(－a)；③Φ(a)－；④[Φ(a)－Φ(－a)]． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　根据正态曲线的对称性可知Φ(0)＝，且Φ(a)＝1－Φ(－a)．图中阴影部分的面积为Φ(0)－Φ(－a)．因为Φ(0)－Φ(－a)＝－Φ(－a)；Φ(0)－Φ(－a)＝－Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－；Φ(0)－Φ(－a)＝[Φ(a)－Φ(－a)]，所以能表示图中阴影部分面积的为①③④，共3个．故选C. [答案]　C (2)已知随机变量ξ～N(2，2.52)，查标准正态分布表，求： ①P(0<ξ<1.90)； ②P(－1.83<ξ<0)； ③P(|ξ|<1)． [解]　①根据题意，将其转化为标准正态分布对应值， Z1＝＝－0.8，Z2＝＝－0.04， 所以P(0<ξ<1.90)＝P(－0.8<Z<－0.04) ＝P(Z<－0.04)－P(Z<－0.8) ＝0.484－0.2119＝0.2721. ②根据题意，将其转化为标准正态分布对应值，Z1＝＝－1.532≈－1.53， Z2＝＝－0.8， 所以P(－1.83<ξ<0)＝P(－1.53<Z<－0.8) ＝P(Z<－0.8)－P(Z<－1.53) ＝0.2119－0.063＝0.1489. ③P(|ξ|<1)＝P(－1<ξ<1)，将其转化为标准正态分布对应值， Z1＝＝－0.4，Z2＝＝－1.2， 所以P(|ξ|<1)＝P(－1<ξ<1)＝P(－1.2<Z<－0.4)＝P(Z<－0.4)－P(Z<－1.2) ＝0.3446－0.1151＝0.2295. 感悟提升　 (1)任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，即如果X～N(μ，σ2)，则Z＝～N(0，1)． (2)Φ(a)＝P(X<a)，即标准正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内的概率． 　(1)从某市市郊乘车前往该市的高铁站有1号线和2号线可走，1号线穿过市区，路程短但交通拥挤，所需时间X(单位：分钟)服从正态分布N(50，100)；2号线走绕城公路，路程长但阻塞较少，所需时间Y(单位：分钟)服从正态分布N(60，16)．若住该市市郊同一小区的明明和亮亮两人分别有69分钟和64分钟可用，要使两人按时到达高铁站的可能性更大，则明明、亮亮两人应选择的路线分别是(　　) A．1号线、2号线 B．2号线、1号线 C．1号线、1号线 D．2号线、2号线 答案：B 解析：对于明明，有69分钟可走，若走1号线，则到达高铁站的概率为P(X≤69)＝Φ＝Φ(1.9)，若走2号线，则到达高铁站的概率为P(X≤69)＝Φ＝Φ(2.25)，因为Φ(1.9)<Φ(2.25)，所以明明应选择2号线；对于亮亮，有64分钟可走，若走1号线，则到达高铁站的概率为P(X≤64)＝Φ＝Φ(1.4)，若走2号线，则到达高铁站的概率为P(X≤64)＝Φ＝Φ(1)，因为Φ(1)< Φ(1.4)，所以亮亮应选择1号线．故选B. (2)(2024·广西南宁二中高二月考)设随机变量X服从标准正态分布X～N(0，1)，那么对于任意a，记Φ(a)＝P(X<a)，已知Φ(a)＝0.7，则P(|X|<a)＝________． 答案：0.4 解析：由题意可知，P(|X|<a)＝P(－a<X<a)＝1－2P(X>a)＝1－2[1－Φ(a)]＝1－2×(1－0.7)＝0.4. 1．(2024·山东日照高二期末)若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.86，则P(3<ξ<6)＝(　　) A．0.26 B．0.34 C．0.36 D．0.42 答案：C 解析：因为随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.86，则P(3<ξ<6)＝P(ξ<6)－P(ξ≤3)＝0.86－0.5＝0.36.故选C. 2．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)＝(　　) A．a B．1－a C．2a D．1－2a 答案：B 解析：因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a. 3．(多选)若随机变量ξ～N(0，1)，Φ(a)＝P(ξ≤a)，其中a>0，下列等式成立的是(　　) A．P(|ξ|<a)＝1－2Φ(a) B．Φ(2a)＝2Φ(a) C．Φ(－a)＝1－Φ(a) D．P(|ξ|>a)＝2－2Φ(a) 答案：CD 解析：如图，因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于直线x＝0对称，因为Φ(a)＝P(ξ≤a)，其中a>0，根据正态曲线的对称性，对于A，因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝1－2Φ(－a)＝1－2[1－Φ(a)]＝2Φ(a)－1，故A错误；对于B，因为Φ(2a)＝P(ξ≤2a)，2Φ(a)＝2P(ξ≤a)，显然Φ(2a)≠2Φ(a)，故B错误；对于C，因为Φ(－a)＝P(ξ≥a)＝1－Φ(a)，故C正确；对于D，因为P(|ξ|>a)＝P(ξ>a或ξ<－a)＝1－Φ(a)＋Φ(－a)＝1－Φ(a)＋1－Φ(a)＝2－2Φ(a)，故D正确．故选CD. 4．(2024·浙江宁波高二期末)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175，52)，随机选择一名本市高三年级的同学，则P(X≤170)＋P(175≤X<180)＝________． 答案：0.5 解析：由题意得，P(X≤170)＝P(X≥180)，所以P(X≤170)＋P(175≤X<180)＝P(X≥180)＋P(175≤X<180)＝P(X≥175)＝0.5. 5．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试的学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知数学成绩在90分以上的学生有15人．则此次参加数学考试的学生约有________人． 答案：10000 解析：设学生的数学成绩为X，共有n人参加数学考试，∵X～N(60，100)，∴μ＝60，σ＝10，∴P(X>90)＝[1－P(30≤X≤90)]≈×(1－0.997)＝0.0015.又P(X>90)＝，∴≈0.0015，∴n≈10000，即此次参加数学考试的学生约有10000人． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 正态分布求指定区间的概率 利用正态曲线的对称性求参数 标准正态分布求特殊区间的概率 用概率表示正态曲线所围面积 求正态分布中的参数及概率 标准正态分布求指定区间的概率 正态分布的实际应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 正态分布与基本不等式结合 利用正态分布在指定区间的概率求参数 3σ原则的应用 正态分布与超几何分布结合 两个随机变量的正态分布的概率求解 正态分布与二项分布的综合应用 标准正态分布在实际中的应用 一、选择题 1．已知随机变量ξ～N(1，22)，P(ξ≥2)＝0.3，则P(0<ξ<1)＝(　　) A．0.7 B．0.4 C．0.2 D．0.15 答案：C 解析：由题意，随机变量ξ～N(1，22)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝1.又P(ξ≥2)＝0.3，∴P(ξ≤0)＝0.3，∴P(0<ξ<1)＝P(0<ξ<2)＝×[1－(0.3＋0.3)]＝0.2.故选C. 2．已知随机变量ξ～N(2，9)，若P(ξ<2m＋1)＝P(ξ>m－1)，则实数m的值是(　　) A．2 B. C. D. 答案：C 解析：由P(ξ<2m＋1)＝P(ξ>m－1)可知，2＝，解得m＝. 3．已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率约为(　　) A．0.887 B．0.003 C．0.0015 D．0.9985 答案：D 解析：P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋≈0.9985. 4.(2024·安徽阜阳高二期末)已知随机变量X～N(1，σ2)，其正态曲线如图所示，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是(　　) A.－P(X≤0) B.－P(1≤X≤2) C.－P(X≥2) D.P(X≤2)－P(X≤0) 答案：B 解析：由正态分布N(1，σ2)的正态曲线关于直线x＝1对称，可得题图中阴影部分的面积可 表示为P(0≤X≤1)＝P(X≤1)－P(X≤0)＝－P(X≤0)＝－P(X≥2)，故A，C不符合题意；由对称性，可得－P(1≤X≤2)＝P(X≥2)＝P(X≤0)，故B符合题意；由对称性，可得P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，所以题图中阴影部分的面积可表示为P(0≤X≤1)＝[P(X≤2)－P(X≤0)]，故D不符合题意．故选B. 5．(多选)已知随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P(72≤X≤88)≈0.683，则(　　) A．μ＝80 B．σ＝4 C．P(X>64)≈0.977 D．P(64<X<72)≈0.1355 答案：ACD 解析：因为正态密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80，A正确；因为P(72≤X≤88)≈0.683，结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，可知σ＝8，B错误；因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，且P(X<64)＝P(X>96)，所以P(X<64)≈×(1－0.954)＝×0.046＝0.023，所以P(X>64)≈0.977，C正确；因为P(X<72)＝[1－P(72≤X≤88)]≈×(1－0.683)＝0.1585，所以P(64<X<72)＝P(X>64)－P(X≥72)≈0.977－(1－0.1585)＝0.1355，D正确． 二、填空题 6．设随机变量X～N(0，1)，Φ(0.25)＝0.5987，Φ(0.51)＝0.6915，则P(0.25≤X<0.51)＝________． 答案：0.0928 解析：P(0.25≤X<0.51)＝P(X<0.51)－P(X<0.25)＝Φ(0.51)－Φ(0.25)＝0.6915－0.5987＝0.0928. 7．某班同学共有48人，数学测验的分数ξ服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在[70，90]分的约有________人． 答案：33 解析：依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70≤ξ≤90)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，所以48×0.683≈33人，即该班约有33人的成绩在[70，90]分． 8．随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则＋的最小值为________． 答案：6＋4 解析：随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，∴P(X≥10)＝，由P(8≤X≤10)＝n，得P(10≤X≤12)＝n.又P(X>12)＝m，∴m＋n＝，且m>0，n>0，则＋＝(2m＋2n)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，∴＋的最小值为6＋4. 三、解答题 9．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.683，至少要测量多少次？(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683) 解：根据正态曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.683，则(μ－σ， μ＋σ)⊆(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝， 所以0.5≥ ，可得n≥16. 故至少要测量16次． 10.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，其内径的茎叶图如图所示(单位：μm)． (1)计算平均值μ与标准差σ； (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了1个零件，度量其内径为86 μm，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997. 解：(1)μ＝ ＝105. σ2＝ ＝36， ∴σ＝6. (2)需要进一步调试． ∵Z服从正态分布N(105，36)，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997， ∴内径在[87，123]之外的概率为0.003，而86∉[87，123]，根据3σ原则，需要进一步调试． 11．(多选)(2024·重庆八中阶段练习)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6名男生，4名女生，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝8 B．若P(7<X<8)＝，则P(X>9)＝ C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一名女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为 答案：ABD 解析：对于A，因为X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，所以E(X)＝μ＝8，故A正确；对于B，因为P(7<X<8)＝，所以P(X>9)＝×＝，故B正确；对于C，所求概率P＝1－＝1－＝，故C错误；对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，所以E(ξ)＝＝＝，故D正确．故选ABD. 12．(2024·湖北孝感高二期末)两个连续随机变量X，Y满足X＋2Y＝3，且X～N(3，σ2)，若P(X＋1≤0)＝0.14，则P(Y＋2>0)＝________． 答案：0.86 解析：因为X＋2Y＝3，所以X＋1＝4－2Y，因为P(X＋1≤0)＝0.14，所以P(4－2Y≤0)＝0.14，即P(Y≥2)＝0.14，又Y＝－X＋，所以E(Y)＝－E(X)＋＝0，D(Y)＝D(X)＝σ2，所以Y～N，所以P(Y＋2>0)＝P(Y>－2)＝1－P(Y<－2)＝1－P(Y>2)＝1－0.14＝0.86. 13．某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命； (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少2支灯管需要更换的概率． 解：(1)因为ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2， 所以P(ξ<12)＝0.2， 显然P(ξ<12)＝P(ξ≥24)， 由正态分布密度函数图象的对称性可知 μ＝＝18， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月． (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2， 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η， 则η～B(4，0.2)， 故至少2支灯管需要更换的概率为 P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C×0.84－C×0.83×0.2＝0.1808. 14．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名． (1)最低录取分数线是多少？(结果精确到1) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)； ②当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)， 令Y＝，则Y～N(0，1)． 由360分及其以上的高分考生有30名可得 P(X≥360)＝， 即P(X<360)＝1－＝0.985， 即有P＝0.985， 则≈2.17，可得σ≈83， 可得X～N(180，832)，设最低录取分数线为x0， 则P(X≥x0)＝P＝， 即有P＝1－＝0.85， 所以≈1.04，所以x0≈266.32， 即最低录取分数线为266或267分． (2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取，P(X<286)＝P＝P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275位，所以能被录取为高薪职位． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$