4.2.5 第1课时 二项分布与正态曲线-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册［RJB］ 4.2.5　正态分布 第1课时　二项分布与正态曲线 (教师独具内容) 课程标准：1.利用二项分布随机变量分布列的直观图，了解正态曲线的意义.2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数的意义． 教学重点：正态曲线的特点及其所表示的意义． 教学难点：正态曲线中参数对正态曲线形状的影响． 核心素养：通过正态曲线的学习培养数学抽象素养和直观想象素养． 知识点一　二项分布与正态曲线 (1)二项分布直观图的特点：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”． (2)正态曲线：φ(x)＝e－，x∈R的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x))． 知识点二　正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点． (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1． (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 知识点三　正态曲线与x轴所围的面积 正态曲线与x轴在某区间内所围面积： (1)在区间[μ，μ＋σ]内所围面积约为0.3413； (2)在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围面积约为0.1359； (3)在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为0.0215． 如图． 1．(正态曲线的性质)(多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的是(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 答案：ABD 2．(正态曲线对应的函数解析式)已知随机变量X的正态曲线为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则X的均值为________，标准差为________． 答案：0　 3．(正态曲线与x轴所围的面积)已知正态曲线与x轴在区间(0.2，＋∞)内所围的面积为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 答案：0.2 题型一　正态曲线对应的函数解析式　 　给出下列函数：①f(x)＝·；②f(x)＝；③f(x)＝·e－；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0，则可以作为正态曲线对应的函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　对于①，f(x)＝，由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态曲线对应的函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝，若σ＝，则应为f(x)＝，均与所给函数不相符，故它不能作为正态曲线对应的函数；对于③，它是当σ＝，μ＝0时的正态曲线对应的函数；对于④，它是当σ＝时的正态曲线对应的函数．所以一共有3个函数可以作为正态曲线对应的函数．故选C. [答案]　C 感悟提升　熟记正态曲线对应的函数解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ＝E(X)，σ＝. 　(2024·江苏南京师大附中高二月考)已知正态曲线对应的函数f(x)＝e－，x∈R，则μ，σ分别是(　　) A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 答案：B 解析：∵f(x)＝e－＝e－，∴μ＝0，σ＝2.故选B. 题型二　正态曲线及其性质　 　(多选)已知三条正态曲线φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　) A．μ1<μ2＝μ3 B．σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3 D．σ1<σ2＝σ3 [解析]　∵正态曲线关于直线x＝μi对称，∴μ1<μ2＝μ3.∵σ越小，曲线越“瘦”，∴函数y＝φ2(x)中的σ2比函数y＝φ3(x)中的σ3要小，函数y＝φ1(x)和y＝φ2(x)的σi值相等．故选AB. [答案]　AB 感悟提升　μ，σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”． (3)牢记正态曲线的对称轴为直线x＝μ，正态曲线对应的函数的最值为. 　(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态曲线，则下列说法正确的是(　　) A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B．三种品牌的手表日走时误差的方差相等 C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 答案：ACD 解析：根据正态曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；由正态曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，所以B错误，C正确；由σ甲<σ乙<σ丙，可得甲品牌的手表最稳定，质量最好，所以D正确．故选ACD. 题型三　正态曲线与x轴所围的面积　 　在一次测试中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间(0，2)内所围的面积为0.2.求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积． (1)(0，4]； (2)(4，＋∞)． [解]　(1)由题意可知，正态曲线关于直线x＝2对称， 故正态曲线与x轴在区间(0，4]内所围的面积是在区间(0，2)内所围的面积的2倍，即2×0.2＝0.4. (2)正态曲线与x轴在区间(2，4]内所围的面积与在区间(4，＋∞)内所围的面积的和为，故在区间(4，＋∞)内所围的面积为0.5－0.2＝0.3. 感悟提升　熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，即正态曲线与x轴所围的面积在关于直线x＝μ对称的区间内相等． 　已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)＝，若正态曲线与x轴在区间(－∞，m]内所围的面积为0.3，则正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内所围的面积为________． 答案：0.7 解析：区间(－∞，6－m)与区间(m，＋∞)关于直线x＝3对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内与在区间(m，＋∞)内所围的面积相等，正态曲线在区间(m，＋∞)内与x轴所围的面积为1－0.3＝0.7，所以所求面积为0.7. 1．设随机变量X的正态曲线对应的函数为φ(x)＝·e，则(　　) A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝ 答案：C 解析：由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝.故选C. 2．若f(x)＝e－，x∈R，则f(x)(　　) A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 答案：B 解析：当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝，无最小值． 3．(2024·江苏淮安一中高二月考)函数f(x)＝ (其中μ<0)的图象可能为(　　) 答案：A 解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ<0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，所以排除C.故选A. 4．(2024·广东佛山一中高二期末)随机变量X1，X2的正态曲线如图所示，则(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 答案：A 解析：由图象可知，X1对应的曲线的对称轴在X2对应的曲线的对称轴的左侧，故μ1<μ2，又X1对应的曲线“瘦高”，X2对应的曲线“矮胖”，故σ1<σ2.故选A. 5．已知随机变量X的正态曲线关于直线x＝2对称，若正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围的面积和在区间(k，＋∞)内所围的面积是相等的，则k＝________． 答案：2 解析：由正态曲线的对称性可知，k＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 正态曲线对应的函数 已知正态曲线的最高点求方差 正态曲线平移对均值、方差的影响 利用均值、方差判断正态曲线的大致形状 利用正态曲线判断实际问题中的平均数、标准差 由正态曲线对应的函数解析式求均值 由正态曲线比较方差的大小 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 实际问题背景下求两条正态曲线与x轴所围面积 由正态曲线求解析式、均值、方差 正态曲线与x轴在特殊区间内所围面积 线性关系下求随机变量对应的正态曲线的解析式 已知正态曲线对应函数的最大值求方差 由正态曲线对应函数的奇偶性、最值求解析式 实际问题背景下求正态曲线与x轴在特殊区间所围面积 一、选择题 1．(2024·江西南昌二中高二期中)下列是正态曲线对应的函数的是(　　) A．f(x)＝，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝e－ C．f(x)＝e－ D．f(x)＝e 答案：B 解析：对照函数f(x)＝ (x∈R)，指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数．故选B. 2．若随机变量X的正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　) A．10 B．100 C. D. 答案：C 解析：由正态曲线上的最高点为知＝，即σ＝，所以D(X)＝σ2＝. 3．把一正态曲线C1沿着x轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　) A．曲线C2仍是正态曲线 B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2 D．以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2 答案：C 解析：曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没有改变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标不变，从而σ不变，所以方差不变，但图象平移后对称轴变了，即μ变了，均值比原来的均值大2. 4．(2024·山东潍坊高二期末)随机变量X的平均值＝60，标准差σX＝，随机变量Y的平均值＝65，标准差σY＝，用实线表示随机变量X的正态曲线，用虚线表示随机变量Y的正态曲线，则两条正态曲线大致为(　　) 答案：A 解析：因为<，所以随机变量X的正态曲线的对称轴在随机变量Y的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；因为σX>σY，所以随机变量X的总体分布更离散，正态曲线比随机变量Y的正态曲线“矮胖”，排除D.故选A. 5．(多选)某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．三科总体的标准差相同 B．三科总体的平均数相同 C．丙科总体的平均数最小 D．甲科总体的标准差最小 答案：BD 解析：由图象知甲、乙、丙三科总体的平均数相同，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选BD. 二、填空题 6．设随机变量X的正态曲线对应的函数为f(x)＝e－，则μ＝________． 答案：0 解析：由正态密度函数φμ，σ(x)＝的结构特征可知，μ＝0. 7．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：σ1<σ2<σ3 解析：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有σ1<σ2<σ3. 8．如图为2016年G20峰会会标图案，它是用20根线条描绘出一个桥形轮廓，同时辅以G20 2016 CHINA和篆刻隶书“中国”印章，图案优美对称，图案中的G20的“0”体现了各国团结协作精神，若内侧2根线条所围成的区域Ω可以近似地看成由两条正态曲线所围成的，“0”的面积为，则区域Ω内“0”之外的面积为________． 答案： 解析：由正态曲线的性质可知，区域Ω的面积为2，又“0”的面积为，故区域Ω内“0”之外的面积为P＝2－＝. 三、解答题 9．如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其对应函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20. 由＝，解得σ＝. 于是该图象对应函数的解析式是 φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. 10．若正态曲线对应的函数为φμ，σ(x)＝·，分别写出正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积： (1)[μ－σ，μ]；(2)[μ－2σ，μ]． 解：(1)根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ，μ＋σ]内所围的面积与在区间[μ－σ，μ]内所围的面积相等，约为0.3413. (2)根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ－2σ，μ]内所围的面积与在区间[μ，μ＋2σ]内所围的面积相等，约为0.3413＋0.1359＝0.4772. 11．(2024·湖南师大附中高二月考)若随机变量X的正态曲线对应的函数为φμ，σ(x)＝·，则随机变量Y＝aX＋b对应的函数为(　　) A．φμ，σ(x)＝ B．φμ，σ(x)＝e－ C．φμ，σ(x)＝ D．φμ，σ(x)＝ 答案：D 解析：∵E(X)＝μ，D(X)＝σ2，∴E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝aμ＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)＝a2σ2.故φμ，σ(x)＝. 12．已知正态分布密度曲线p(x)＝，且p(x)max＝p(20)＝，则方差为________． 答案：2 解析：由正态分布密度曲线p(x)＝，可知函数的最大值是，所以＝，即σ＝，所以方差为2. 13．若一条正态曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 ，求该函数的解析式． 解：由于该正态曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0. 由＝，得σ＝4. 故该函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)． 14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(单位：kg)的正态曲线如图所示，且样本方差为4. 求该正态曲线与x轴在区间(58.5，62.5)内所围的面积(保留3位有效数字)． 解：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故该正态曲线与x轴在区间(58.5，62.5)内所围的面积是在区间(60.5，62.5)内所围面积的2倍，约为0.3413×2≈0.683. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$