4.4 数学归纳法-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] （教师独具内容） 课程标准：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 教学重点：数学归纳法及其应用. 教学难点：对数学归纳法原理的理解. 核心素养：通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点一　数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. [说明]　（1）第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. （2）对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1时式子的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键. （3）“假设n＝k时命题成立.利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范. 知识点二　数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k＋1）也为真. 完成这两步，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1）真…….从而完成证明. 1.（数学归纳法的第二步）数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是（　　） A.k∈N B.k>1，k∈N* C.k≥1，k∈N* D.k>2，k∈N* 答案：C 2.（数学归纳法中第二步的递推关系）用数学归纳法证明＋＋…＋<1（n∈N*，n≥2）时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是（　　） A.＋－ B.＋ C.－ D. 答案：A 3.（数学归纳法的第一步）用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2，n∈N*”时，若n＝1，则左端应为　　　　. 答案：1×4 题型一　利用数学归纳法证明恒等式　 　证明：当n≥2，n∈N*时， …＝. [证明]　①当n＝2时，左边＝1－＝， 右边＝＝. ∴当n＝2时，等式成立. ②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时等式成立， 即…＝. 当n＝k＋1时， … ＝＝· ＝＝. ∴当n＝k＋1时，等式也成立. 由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立. 感悟提升　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设. [跟踪训练1]　求证：1＋＋＋…＋＝（n∈N*）. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时等式成立， 即1＋＋＋…＋＝. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋ ＋ ＝＋ ＝＋＝ ＝. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立. 由①②可知，对任意n∈N*，等式成立. 题型二　利用数学归纳法证明不等式　 　证明：2n＋2>n2，n∈N*. [证明]　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边； 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 因此当n＝1，2，3时，不等式成立. ②假设当n＝k（k≥3，且k∈N*）时，不等式2k＋2>k2成立. 当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝（k2＋2k＋1）＋（k＋1）（k－3）， 由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以（k2＋2k＋1）＋（k＋1）（k－3）≥k2＋2k＋1＝（k＋1）2. 所以2k＋1＋2>（k＋1）2. 故当n＝k＋1时，原不等式也成立. 由①②知，原不等式对任意n∈N*都成立. 感悟提升　数学归纳法证明不等式的技巧 （1）证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. （2）数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程. [跟踪训练2]　证明：1＋＋＋…＋>2（－1），n∈N*. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2×（－1）. 左边>右边，结论成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，结论成立， 即1＋＋＋…＋>2（－1）. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋ >2（－1）＋＝2＋－2. 所以下面证明2＋>2， 只需证2（k＋1）＋1＝2k＋3>2， 只需证（2k＋3）2>4（k＋2）（k＋1）， 只需证4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式显然成立， 所以当n＝k＋1时，结论成立. 综上，当n∈N*时，原不等式成立. 题型三　利用数学归纳法证明整除问题　 　求证：x2n－y2n（x，y，n∈N*）能被x＋y整除. [证明]　①当n＝1时，x2－y2＝（x＋y）（x－y）， 能被x＋y整除. ②假设n＝k（k≥1，且k∈N*）时， x2k－y2k能被x＋y整除， 当n＝k＋1时， x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2（x2k－y2k）＋y2k（x2－y2）. ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2（x2k－y2k）＋y2k（x2－y2）能被x＋y整除. 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除. 由①②可知，对任意的正整数n，命题均成立. 感悟提升　利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧.例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除. [跟踪训练3]　利用数学归纳法证明（3n＋1）×7n－1（n∈N*）能被9整除. 证明：①当n＝1时，（3×1＋1）×71－1＝27， 能被9整除，所以命题成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，命题成立， 即（3k＋1）×7k－1能被9整除. 那么当n＝k＋1时， [3（k＋1）＋1]×7k＋1－1＝（3k＋4）×7k＋1－1 ＝（3k＋1）×7k＋1－1＋3×7k＋1 ＝[（3k＋1）×7k－1]＋3×7k＋1＋6（3k＋1）×7k ＝[（3k＋1）×7k－1]＋7k（21＋6×3k＋6） ＝[（3k＋1）×7k－1]＋9×7k（2k＋3）. 由归纳假设知，（3k＋1）×7k－1能被9整除， 而9×7k（2k＋3）也能被9整除， 故[3（k＋1）＋1]×7k＋1－1能被9整除. 这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立. 由①②知，对任意n∈N*，（3n＋1）×7n－1能被9整除. 题型四　利用数学归纳法证明几何命题　 　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f（n）＝n2－n＋2个部分（n∈N*）. [证明]　①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f（1）＝1－1＋2＝2，所以当n＝1时命题成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时命题成立. 即k个圆把平面分成f（k）＝k2－k＋2个部分. 则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f（k）个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f（k＋1）＝f（k）＋2k＝k2－k＋2＋2k＝（k＋1）2－（k＋1）＋2. 所以当n＝k＋1时，命题成立. 综合①②可知，对任意n∈N*，命题成立. 感悟提升　对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法.利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律. [跟踪训练4]　证明：凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n－3）（n≥4）. 证明：①当n＝4时，f（4）＝×4×（4－3）＝2，四边形有两条对角线，命题成立. ②假设当n＝k（k≥4，k∈N*）时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f（k）＝k（k－3）. 当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为（k＋1－3）＋1＝k－1. f（k＋1）＝k（k－3）＋k－1＝（k2－k－2） ＝（k＋1）（k－2）＝（k＋1）[（k＋1）－3]. 故当n＝k＋1时，命题成立. 由①②可知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立. 题型五　归纳—猜想—证明　 　（2024·安徽亳州第一中学高二月考）设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，都有Sn＝＋成立. （1）求a1，a2，a3； （2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. [解]　（1）∵对任意n∈N*，都有Sn＝＋成立， ∴S1＝＋，a1＝S1＝1， S2＝＋，a1＋a2＝＋，a2＝2， S3＝＋，a1＋a2＋a3＝＋，a3＝3. （2）由（1）猜想an＝n. 证明：①当n＝1时，a1＝1，显然成立； ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，ak＝k成立，则 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝＋－－ ＝＋－－， ∴ak＋1＝k＋1， 即当n＝k＋1时，等式也成立， 由①②可知，an＝n对任意n∈N*都成立. 感悟提升　观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法.观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的，也可能是错误的，需要用数学归纳法证明. [跟踪训练5]　数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项，后猜想an，并用数学归纳法证明. 解：当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1， 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝， 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝， 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝. ∴猜想an＝. 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，a1＝1，猜想成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时猜想成立， 即ak＝成立. 那么，当n＝k＋1时， Sk＋1＝2（k＋1）－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝， ∴ak＋1＝，即当n＝k＋1时猜想成立. 由①②可知，对任意n∈N*，猜想均成立. 1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n（n∈N*，n≥2）时，第一步需要验证的不等式是（　　） A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 答案：B 解析：因为n≥2，由数学归纳法可知，第一步需要证明n＝2时该不等式成立，所以第一步需要验证的不等式是1＋＋<2.故选B. 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k（k≥2）为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　） A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2（k＋2）时等式成立 答案：B 解析：因为已假设n＝k（k≥2）为偶数时命题为真，所以n只能取偶数，故还需要证明n＝k＋2时等式成立.故选B. 3.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为（　　） A.5（5k－2k）＋3×2k B.（5k－2k）＋4×5k－2k C.（5－2）（5k－2k） D.2（5k－2k）－3×5k 答案：A 解析：假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除.当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5（5k－2k）＋5×2k－2×2k＝5（5k－2k）＋3×2k.故选A. 4.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝　　　　，当n＞4时，f（n）＝　　　　（用n表示）. 答案：5　（n＋1）（n－2） 解析：f（3）＝2，f（4）＝f（3）＋3＝2＋3＝5，f（n）＝f（3）＋3＋4＋…＋（n－1）＝2＋3＋4＋…＋（n－1）＝（n＋1）（n－2）. 5.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n，an>0（n∈N*），则猜想{an}的通项公式为an＝　　　　. 答案：n 解析：分别令n＝1，2，3，得 ∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，猜想an＝n. 课后课时精练 基础题（占比50%）　中档题（占比40%）　拔高题（占比10%） 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 数学归纳法第一步 数学归纳法各步表达式的写法 数学归纳法中第二步与第三步的关系 数学归纳法中第三步的变形方法 数学归纳法的步骤判断 数学归纳法第一步的写法 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 数学归纳法中第三步的写法 由递推关系写出数列的前几项；猜想数列的通项公式 用数学归纳法证明等式 由递推关系写出数列的前几项；猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 用数学归纳法证明整除问题 由Sn与an的关系写出数列的前几项；猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 一、选择题 1.用数学归纳法证明“n边形内角和定理：f（n）＝（n－2）·180°”时，第一步应验证（　　） A.n＝1时成立 B.n＝2时成立 C.n＝3时成立 D.n＝4时成立 答案：C 解析：∵多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步应验证n＝3时成立.故选C. 2.下列四个选项中正确的是（　　） A.式子1＋k＋k2＋…＋kn（n∈N*），当n＝1时为1 B.式子1＋k＋k2＋…＋kn－1（n∈N*），当n＝1时为1＋k C.式子＋＋＋…＋（n∈N*），当n＝1时为1＋＋ D.设f（n）＝＋＋…＋（n∈N*），则f（k＋1）＝f（k）＋＋＋ 答案：C 解析：对于A，当n＝1时应为1＋k，A错误；对于B，当n＝1时应为1，B错误；对于D，f（k）＝＋＋…＋，而f（k＋1）＝＋＋…＋＋＋＋，所以f（k＋1）＝f（k）＋＋＋－，D错误.故选C. 3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（　　） A.k2＋1 B.（k＋1）2 C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2 答案：D 解析：∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋…＋（k＋1）2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2. 4.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　） A.（k＋3）3 B.（k＋2）3 C.（k＋1）3 D.（k＋1）3＋（k＋2）3 答案：A 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除.当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，得（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3＝（k＋1）3＋（k＋2）3＋k3＋9k2＋27k＋27＝k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3＋9（k2＋3k＋3），即可证明. 5.对于不等式≤n＋1（n∈N*），某学生运用数学归纳法的证明过程如下： ①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝（k＋1）＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立. 上述证法（　　） A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确 C.过程全部不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案：D 解析：从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求. 二、填空题 6.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<2－（n≥2，n∈N*）”时，第一步需要验证的不等式为　　　　. 答案：1＋＋<2－ 解析：当n＝2时，左侧＝1＋＋，右侧＝2－，所以用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<2－（n≥2，n∈N*）”时，第一步需要验证的不等式为1＋＋<2－. 7.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到　　　　. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析：∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1. 8.已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为　　　　　　　　，由此猜想an＝　　　　. 答案：，，，　 解析：a2＝＝＝＝，同理，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，猜想an＝. 三、解答题 9.用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝n（3n－1）（n∈N*）. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1， 所以当n＝1时等式成立. ②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时等式成立， 即1＋4＋7＋…＋（3k－2）＝k（3k－1）. 当n＝k＋1时， 1＋4＋7＋…＋（3k－2）＋[3（k＋1）－2] ＝k（3k－1）＋（3k＋1）＝（3k2＋5k＋2） ＝（k＋1）（3k＋2） ＝（k＋1）[3（k＋1）－1]， 即当n＝k＋1时等式成立. 综合①②知，对任意n∈N*，1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝n（3n－1）成立. 10.（2024·浙江杭州高二月考）在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋n2－2n－1. （1）求a2，a3，a4，a5，并猜想{an}的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）由题意可得a2＝2a1－2＝0， 同理可得a3＝2a2－1＝－1， a4＝2a3＋2＝0，a5＝2a4＋7＝7， 因为a1＝2－1，a2＝22－22，a3＝23－32，a4＝24－42，a5＝25－52. 所以猜想an＝2n－n2. （2）证明：①当n＝1时，a1＝21－12＝1，猜想成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时成立，即ak＝2k－k2. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak＋k2－2k－1＝2（2k－k2）＋k2－2k－1＝2k＋1－（k＋1）2. 所以当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①②可知，猜想成立， 即an＝2n－n2. 11.求证：对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除. 证明：①当n＝1时， 34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61， 能被14整除，命题成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，命题成立， 即34k＋2＋52k＋1能被14整除，那么当n＝k＋1时， 34（k＋1）＋2＋52（k＋1）＋1 ＝34k＋2×34＋52k＋1×52 ＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52 ＝34（34k＋2＋52k＋1）－52k＋1（34－52） ＝34（34k＋2＋52k＋1）－56×52k＋1， 因为34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除， 所以34（k＋1）＋2＋52（k＋1）＋1能被14整除， 故当n＝k＋1时，命题成立. 由①②知，对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除. 12.在数列{an}中，已知an>0，Sn＝（n∈N*）. （1）计算a1，a2，a3的值； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明. 解：（1）当n＝1时，由题意可得 a1＝S1＝， ∵an>0，∴a1＝1. 当n＝2时，由题意可得a1＋a2＝， ∵an>0，∴a2＝－1. 当n＝3时，由题意可得a1＋a2＋a3＝， ∵an>0，∴a3＝－. 综上，a1＝1，a2＝－1，a3＝－. （2）猜想：对任意n∈N*，an＝－. 证明：①当n＝1时，a1＝1，上式成立. ②假设当n＝k（k∈N*）时，ak＝－成立， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－， ∴ak＋1－＝－ ＝－＝－2， ∴a＋2·ak＋1－1＝0， ∴ak＋1＝＝－±. ∵ak＋1>0， ∴ak＋1＝－， ∴当n＝k＋1时，猜想成立. 由①②可知，对任意n∈N*，an＝－ . 14 学科网（北京）股份有限公司 $$