4.1 第2课时 递推公式及数列的前n项和-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 第2课时　递推公式及数列的前n项和 (教师独具内容) 课程标准：1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.了解数列前n项和的概念，理解数列的通项公式与前n项和公式的关系.4.掌握由一些简单的递推公式或前n项和公式求通项公式的方法． 教学重点：理解数列的递推公式，会用递推公式求数列的项． 教学难点：根据数列的递推公式或前n项和公式求数列的通项公式． 核心素养：通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点二　通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项an是序号n的函数式an＝f(n) 都可以确定数列 递推公式 已知一个数列的相邻两项或多项之间的关系式 知识点三　数列的前n项和 1．定义 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (2)显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝ 若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an. [拓展]　给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识，即 (1)当an－an－1＝f(n)，且f(n)可求和时，有 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(累加) (2)当＝g(n)，且g(n)可求积时，有 an＝··…··a1.(累乘) (3)当数列{an}为周期数列，且周期为T(T为正整数)时，由an＝an＋T可将an转化为a1，a2，…，aT处理． 1．(累加法)数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝an－5，则a4＝(　　) A．－16 B．－17 C．－18 D．－19 答案：B 2．(累乘法)数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝nan，则a3＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 3．(利用数列周期性求数列中的项)(2024·湖北十堰高二期末)数列{an}满足an＋1＝，且a1＝4，则a2023＋a2024＝(　　) A. B．4 C. D．2 答案：A 4．(利用前n项和公式求数列的项)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝________． 答案：128 题型一　由递推公式写出数列的项　 　(1)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，试写出这个数列的前6项． [解]　∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16； a6＝a5＋(2×5－1)＝16＋9＝25. ∴数列的前6项依次是0，1，4，9，16，25. (2)已知数列{an}满足a5＝，an＋1＝，试写出这个数列的前4项． [解]　∵a5＝，an＋1＝， ∴an＝， ∴a4＝＝，a3＝＝， a2＝＝，a1＝＝1， ∴数列的前4项依次是1，，，. 感悟提升　由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (4)若项数很大，则应考虑数列是否具有周期性． [跟踪训练1]　(1)设数列满足a1＝1，an＝2＋(n≥2，n∈N*)，试写出这个数列的前4项． 解：∵a1＝1，an＝2＋(n≥2，n∈N*)， ∴a2＝2＋＝3，∴a3＝2＋＝2＋＝， ∴a4＝2＋＝2＋＝. (2)在数列{an}中，已知a2＝，an＋1＝，求a303. 解：由题意a2＝，an＋1＝， 则a2＝，故a1＝0， a3＝＝＝－， a4＝＝＝0＝a1， … 故数列{an}的项具有周期性，周期为3， 故a303＝a100×3＋3＝a3＝－. 题型二　由递推公式求通项公式　 角度　累加法 　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，则an＝________． [解析]　当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1. [答案]　2n－1 (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2，n∈N*)，则an＝________． [解析]　因为an＝an－1＋－(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝－.所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1.又a1＝1也符合上式，所以an＝－＋1. [答案]　－＋1 感悟提升　形如an＋1－an＝d(d为非零常数)或an＋1－an＝f(n)(f(n)可以求和)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式． [跟踪训练2]　已知数列{an}中，a1＝3，对任意正整数n都有＝n(n＋1)(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝ 解析：因为＝n(n＋1)(n≥2)，所以an－an－1＝＝－，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋＋…＋＋＋3＝4－＝，又a1＝3也适合上式，所以an＝. 角度　累乘法 　(1)已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，猜想an，并加以证明． [解]　由a1＝2，an＋1＝2an得a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…， 猜想an＝2n. 证明如下： 证法一(累乘法)： 由a1＝2，an＋1＝2an得 ＝＝…＝＝＝2(n≥2)， ∴an＝××…×××a1＝＝2n(n≥2)． 又a1＝2符合上式，∴an＝2n. 证法二(迭代法)： 由an＋1＝2an得an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a2，a2＝2a1(n≥2)， ∴an＝2an－1＝2(2an－2)＝22an－2 ＝22(2an－3)＝23an－3 ＝…＝2n－1a1＝2n(n≥2)． 又a1＝2符合上式，∴an＝2n. (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． [解]　因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)， 所以＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. 又因为a1＝1符合上式，所以an＝. 感悟提升　由形如an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)可以求积)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键． [跟踪训练3]　已知数列{an}满足a1＝2，且＝an＋1－an，则{an}的通项公式为________． 答案：an＝n＋1 解析：由＝an＋1－an，得＝，则an＝××…×××a1＝××…×××2＝n＋1(n≥2)，又a1＝2符合上式，所以{an}的通项公式为an＝n＋1. 题型三　数列的通项an与前n项和Sn的关系　 　已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)lg (Sn＋1)＝n＋1. [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合上式， 所以an＝4n－5(n∈N*)． (2)因为lg (Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1， 即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n， 又a1＝99不适合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 感悟提升　数列的通项an与前n项和Sn的关系 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写数列{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示． [跟踪训练4]　已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2， an＝an－1. 将以上(n－1)个等式中等号两端分别相乘， 整理得an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)． 1．(2024·河北唐山一中高二月考)已知数列{an}满足anan＋1＝，a3＝，则a1＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案：C 解析：因为a3＝，anan＋1＝，所以a2a3＝a2×＝，解得a2＝.由a1a2＝a1×＝，得a1＝1.故选C. 2．(多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，则能使an＝3的n的值为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 答案：BD 解析：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的周期数列，所以a8＝a17＝a2＝－，a7＝a16＝a1＝3.故选BD. 3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意知Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，所以(n＋1)an＝(n－1)·an－1，从而由累乘法得，a1××××…×＝1×××…×，则an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝. 4．(2024·广东汕头高二期末)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则a4＝________，S2024＝________． 答案：－　 解析：∵an＋1＝，a1＝，∴a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，∴S2024＝a1＋a2＋…＋a2024＝506×＝. 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝________． 答案：2＋ln n 解析：解法一(迭代法)：a2＝a1＋ln ，a3＝a2＋ln ，…，an＝an－1＋ln (n≥2)，则an＝a1＋ln ＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 解法二(累加法)：an＋1－an＝ln ＝ln ＝ln (1＋n)－ln n，a1＝2，a2－a1＝ln 2，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)，以上各式相加得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln (n－1)]，所以an＝2＋ln n(n≥2)．因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 利用数列的递推公式求数列的项 利用递推公式求数列的通项公式 利用递推公式研究数列的周期性、求数列中的项 利用前n项和关系式求数列中的项 累乘法求数列的通项公式、数列中的项及前n项和 利用Sn与an的关系式求数列中的项 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用数列的递推公式求数列的前n项和 利用数列的递推公式研究数列的周期性及求数列的前n项和 利用数列的前n项和公式求数列的通项公式 利用数列的递推公式求数列的项；累加法求数列的通项公式 累乘法求数列的通项公式 利用数列的前n项和公式求数列的通项公式 一、选择题 1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C.，2，，2，… D．0，，2，2，… 答案：B 解析：B中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1，其他选项均不符合．故选B. 2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式可能是(　　) A．an＝5－3n B．an＝3×2n－1－1 C．an＝5－3n2 D．an＝5×2n－1－3 答案：D 解析：由a1＝2，an＋1＝2an＋3可得a2＝7，当n＝2时，经验证只有D适合． 3．(2024·河北石家庄高二期末)已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，均有an＋2＝an＋1－an成立，且a1＝1，a2＝2，则a2024＝(　　) A．－2 B．1 C．3 D．2 答案：D 解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝－an，所以an＝an＋6，所以数列{an}中的项具有周期性，T＝6，所以a2024＝a337×6＋2＝a2＝2.故选D. 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝(　　) A．40 B．35 C．5 D．12 答案：C 解析：数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5.所以an＋1＝5，故a8＝5.故选C. 5．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＝3 B．a3＝6 C．S4＝20 D．an＝2n－1 答案：AD 解析：由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1.当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1.所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7.所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16.故选AD. 二、填空题 6．设Sn为数列{an}的前n项和．若2Sn＝3an－3，则a4＝________． 答案：81 解析：由2Sn＝3an－3　①，得2Sn＋1＝3an＋1－3　②，②－①得，2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81. 7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前6项和为________． 答案：129 解析：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则a2＝2a1＝2×1＝2，a3＝3a2＝3×2＝6，a4＝2a3＝2×6＝12，a5＝3a4＝3×12＝36，a6＝2a5＝2×36＝72，则数列{an}的前6项和为1＋2＋6＋12＋36＋72＝129. 8．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2024＝________． 答案：　 解析：∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，∴an＋2＝＝＝.∴an＋3＝＝＝an.∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1.∴S2024＝(a1＋a2＋a3)×674＋a1＋a2＝×674＋＝. 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式． 解：∵Sn＝2n2－3n－1，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5. 又a1＝S1＝－2不适合上式， ∴an＝ 10．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)a2＝a1＋＝3＋＝， a3＝a2＋＝＋＝. (2)原递推公式可化为an＋1＝an＋－， 则a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…， an－1＝an－2＋－， an＝an－1＋－， 累加，得an＝a1＋1－＝4－(n≥2)， 当n＝1时，也满足上式，故an＝4－. 11．设{an}是首项为1的正项数列且na＋(n＋1)a－(2n＋1)anan＋1＝0(n∈N*)，求an. 解：由na＋(n＋1)a－(2n＋1)anan＋1＝0， 可得(an＋1－an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0. 当an＋1－an＝0，即an＋1＝an时，an＝a1＝1. 当nan＋1－(n＋1)an＝0时，＝， 所以an＝a1×××…×＝1×××…×＝n(n≥2)． 当n＝1时上式也成立，故an＝n. 综上可知，an＝1(n∈N*)或an＝n(n∈N*)． 12．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，可知a1＝2满足该式， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)． (2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)，① an＋1＝＋＋＋…＋＋，② ②－①，得＝an＋1－an＝2， ∴bn＋1＝2(3n＋1＋1)，而b1＝8， 故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$