4.1 第1课时 数列的概念与通项公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教A版2019）

数学 选择性必修　第二册[RJ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第1课时　数列的概念与通项公式 (教师独具内容) 课程标准：1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数． 教学重点：1.数列的有关概念.2.能由数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：1.从函数的观点理解数列.2.数列单调性的判断与应用． 核心素养：从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　数列及其有关概念 1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 知识点二　数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是正整数． [提醒]　(1)数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． (2)数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的互异性是不同的． 知识点三　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．数列的表示方法 (1)解析式法． (2)图象法． (3)列表法． 3．数列的单调性 与函数类似，数列也有单调性． 知识点四　数列的分类 1．按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． [注意]　(1)由数列的通项公式不仅可以写出数列的各项，而且可以判断某数是否是该数列中的一项，如果是，是第几项． (2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式． (3)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，如：数列－1，1，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前几项归纳出的数列的通项公式可能并不唯一． 1．(数列通项公式的理解)(多选)下列四个结论正确的是(　　) A．任何数列都有通项公式 B．给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C．给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D．数列的通项an是项数n的函数 答案：BD 2．(确定某数在数列中的项数)在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的(　　) A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 答案：C 3．(写出数列的通项公式)数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 答案：A 4．(求数列中最大项的项数)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中数值最大的项是第________项． 答案：5 题型一　数列的概念与分类　 　已知下列数列： (1)2，22，222，2222； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－1，0，－1，0，…，，…； (5)a，a，a，a，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(将正确的序号填在横线上) [解析]　(1)是有穷递增数列，(2)是无穷递增数列，(3)是无穷递减数列，(4)是无穷数列，(5)是无穷数列，也是常数列． [答案]　(1)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(5) 感悟提升　判断数列的类型应注意的几个方面 (1)判断一个数列是有穷还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的． (2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中an＋1与an的大小关系来判断，即 ①若数列{an}满足an<an＋1，则是递增数列； ②若数列{an}满足an>an＋1，则是递减数列； ③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列． (3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1，2，3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1，2，3，…)，即对于有穷数列，要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾． [跟踪训练1]　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？ (1)1，，，…，，…； (2)1，2，22，…，263； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，…； (7)0，－1，0，…，cos，…. 解：(1)是无穷数列，也是递减数列． (2)是有穷数列，也是递增数列． (3)是无穷数列． (4)是有穷数列，也是递增数列． (5)是无穷数列． (6)是无穷数列，也是常数列． (7)是无穷数列． 题型二　用观察法求数列的通项公式　 　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3，5，7，9，…； (2)，，，，…； (3)，－，，－，…； (4)，3，，，…； (5)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (6)，1，，，…； (7)，2，，8，…. [解]　(1)因为各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)因为每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝. (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·. (4)原数列可化为，，，，…，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝. (5)将原数列变形为1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－. (6)将原数列变形为，，，，….对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故原数列的通项公式为an＝. (7)将数列变形为，，，，…，可知分子为n2，分母为2，故原数列的通项公式为an＝. [变式探究]　把本例(5)改为“0.6，0.66，0.666，0.6666，…”，又如何求通项公式呢？ 解：数列0.6，0.66，0.666，0.6666，…的通项公式为an＝. 感悟提升　用观察法求数列通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体步骤为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理正负号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [跟踪训练2]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，，－，，－，，…； (3)7，77，777，…； (4)0，3，8，15，24，…； (5)－1，7，－13，19，…； (6)3，5，3，5，3，5，…. 解：(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母相差3，因而有an＝. (2)分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－，因此原数列可以化为－，，－，，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·. (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，所以an＝(10n－1)． (4)观察数列，递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1，22，32，42，52，…，很快发现an＝n2－1. (5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (6)此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作an＝此数列两项3与5的平均数为＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作an＝4＋(－1)n. 题型三　数列通项公式的简单应用　 　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列{an}的第4项和第6项； (2)－49和68是数列{an}的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解]　(1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝(舍去)． ∴－49是数列{an}的第7项． 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝. ∵－2∉N*，∉N*， ∴68不是数列{an}的项． 感悟提升　判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将该数代入数列的通项公式中； (2)解关于n的方程； (3)若n为正整数，说明该数是该数列的项；若n不是正整数，说明该数不是该数列的项. [跟踪训练3]　(2024·江苏南通高二期中)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a4＋a6的值； (2)试问和是不是数列{an}的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题意可知 a4＝＝，a6＝＝. 所以a4＋a6＝＋＝. (2)令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 由于n∈N*，故n＝－8舍去． 所以是数列{an}的第5项． 令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 由于n∈N*，所以不是数列{an}的项． 题型四　数列的单调性　 　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求证：数列{an}是递增数列； (2)求从第几项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. [解]　(1)证明：∵an＋1－an＝－ ＝ ＝， 由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列． (2)∵an＝＝1－， ∴|an－1|＝＝. 由<，得n2＋1>10000. 满足上式的n至少取100. ∴从第100项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 感悟提升　判断数列单调性的方法 作差比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小；或当数列中的项符号一致时作商比较an＋1与an的大小，即比较与1的大小． [跟踪训练4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，试讨论数列{an}的单调性． 解：∵an＋1－an＝·(n＋2)－·(n＋1)＝·＝·，n∈N*，>0， ∴当n≤7时，an＋1－an>0； 当n＝8时，an＋1－an＝0； 当n≥9时，an＋1－an<0. 因此数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减． 题型五　求数列中的最大(小)项　 　已知数列{an}，an＝－2n2＋9n＋3，求数列{an}的最大项． [解]　解法一：假设an是最大项， 则有 即 解得≤n≤. 因为n是正整数，所以n＝2. 所以数列{an}的最大项是a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋. 因为n为正整数，故当n＝2时，an取到最大值． 所以数列{an}的最大项是a2＝13. 感悟提升　求数列中最大(小)项的方法 (1)不等式组法：通常利用或确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减(或先减后增)型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)函数的单调性法：因为数列是一种特殊的函数，所以可以利用函数的单调性求最值，但要特别注意数列中的n为正整数． [跟踪训练5]　数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋50，求数列{an}的最小项． 解：解法一：∵an＝n2－7n＋50＝＋，∴当n＝3或n＝4时，an最小，即最小项为a3＝32－7×3＋50＝38，a4＝42－7×4＋50＝38. 解法二：设数列{an}的第n项最小， 则 即 解得3≤n≤4. ∴当n＝3或n＝4时，an最小，且最小项为a3＝a4＝38. 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 答案：C 解析：对于A，an＝，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于C，an＝－，它既是无穷数列又是递增数列；D是有穷数列． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 答案：C 解析：由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 3．(多选)(2024·河南平顶山高二阶段测试)下列四个说法中，正确的是(　　) A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是an＝(n∈N*) D．数列，，…，是递减数列 答案：ACD 解析：对于A，由数列的通项公式以及n∈N*可知，数列的图象是一群孤立的点，故A正确；对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故B错误；对于C，观察可得数列，，，，…的一个通项公式为an＝(n∈N*)，故C正确；对于D，因为－＝－<0，n∈N*，n≥2，所以数列，，…，是递减数列，故D正确．故选ACD. 4．(2024·河北衡水中学高二阶段测试)数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝________． 答案：8 解析：因为3是奇数，所以a3＝3＋2＝5，因为6是偶数，所以a6＝6－3＝3，所以a3＋a6＝5＋3＝8. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则数列中有________项是负数．当n＝________时，an取得最小值，为________． 答案：2　2或3　－2 解析：由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*∴n＝2或3.∴数列中有2项是负数．∵an＝n2－5n＋4＝－，二次函数y＝－的图象的对称轴为直线x＝，又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 利用数列的通项公式确定某数是第几项 利用数列的前几项判断数列的通项公式 图形中的规律探究 由数列的通项公式研究数列的图象、增减性、项的符号 借助函数研究数列的最大(小)项 利用数列的前几项写出数列的通项公式 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 借助函数研究数列的最大(小)项 由数列的通项公式和增减性求参数的取值范围 利用数列的前几项写出数列的通项公式 利用数列的通项公式求数列的具体项；判断某数是否为数列中的项；判断数列的增减性 利用数列的通项公式求最大项并确定其是第几项 利用函数解析式求数列的通项公式；利用通项公式研究数列的增减性 一、选择题 1．(2024·安徽合肥高二期中)已知数列，，2，，…，，则2是这个数列的(　　) A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 答案：B 解析：由＝2，解得n＝7，所以2是这个数列的第7项．故选B. 2．(多选)已知数列{an}的前4项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝[1＋(－1)n＋1] B．an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2) C．an＝sin2 D．an＝ 答案：ACD 解析：将n＝1，2，3，4分别代入各选项中，可知A，C，D符合；对于B，当n＝3，4时不符合．故选ACD. 3．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为(　　) A．153 B．190 C．231 D．276 答案：B 解析：由题意知，数列{an}的各项为1，6，15，28，45，…，所以a1＝1＝1×1，a2＝6＝2×3，a3＝15＝3×5，a4＝28＝4×7，a5＝45＝5×9，…，an＝n(2n－1)，所以a10＝10×19＝190.故选B. 4．(多选)(2024·广东揭阳高二期中)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则此数列(　　) A．图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 答案：BC 解析：由题意得an＝－n2＋2n＋1，由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，故A错误；从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数，只有第2项为1，从第3项往后各项均为负数，所以B，C正确，D错误．故选BC. 5．(多选)(2024·河北衡水中学高二开学考试)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝(n∈N*)，则(　　) A．数列{bn}的最大项为b1 B．数列{bn}的最大项为b6 C．数列{bn}的最小项为b1 D．数列{bn}的最小项为b5 答案：BD 解析：bn＝＝，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5. 二、填空题 6．(2024·河北承德高二期末)已知数列的前4项分别为3－，5＋，7－，9＋，则该数列的一个通项公式可以为an＝________． 答案：2n＋1＋(－1)n 解析：观察可知，该数列的一个通项公式可以为an＝2n＋1＋(－1)n. 7．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则an的最大值为________． 答案： 解析：an＝＝，因为n＋≥2＝28，当且仅当n＝14时，n＋有最小值28，所以当n＝14时，取得最大值. 8．(2024·山东烟台一中高二月考)已知数列{an}的通项公式为an＝an2－n，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：由{an}是递增数列，得an＋1－an＝[a(n＋1)2－(n＋1)]－(an2－n)＝2an＋a－1>0恒成立，∴a>，∵n∈N*，∴≤，∴a>.∴实数a的取值范围为. 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)1，－2，3，－4，5，…； (2)5，55，555，5555，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)，，，，…； (5)1，－，，－，，…. 解：(1)这个数列的前4项1，－2，3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负， ∴数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n. (2)∵数列9，99，999，9999，…的第n项为10n－1，数列1，11，111，1111，…的第n项应为(10n－1)，∴数列5，55，555，5555，…的一个通项公式是an＝(10n－1)． (3)注意到6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即，，，，，…， ∴数列的一个通项公式为an＝. (4)注意各项的分子分别是12，22，32，42，…，分母比分子大1， ∴数列的一个通项公式为an＝. (5)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，各项分子均为1， ∴数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·. 10．已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)求数列的第10项； (2)是不是数列中的项？ (3)判断数列{an}的增减性． 解：(1)数列的第10项为a10＝＝. (2)令an＝，即＝，解得n＝7. ∴是数列中的项，且是第7项． (3)解法一：比较an＋1与an的大小． ∵an＋1－an＝－＝－ ＝>0， ∴an＋1>an.∴数列{an}为递增数列． 解法二：从函数角度判断． an＝＝， ∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正， ∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列． 11．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)·(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解：解法一：作差比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性． 因为an＋1－an ＝(n＋3)－(n＋2) ＝×. 当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 即最大项为a5＝a6＝. 解法二：作商比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性． ＝＝. 令>1，解得n<5；令＝1，解得n＝5； 令<1，解得n>5. 故有a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 且最大项为a5＝a6＝. 解法三：解不等式． 假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项， 则 即 解得即5≤n≤6. 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝. 12．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递增数列． 解：(1)由已知，得log22an－＝2n， 即an－＝2n，所以a－2nan－1＝0， 解得an＝n±， 因为0<x<1，即0<2an<1，所以an<0， 所以an＝n－. (2)证明：因为＝ ＝<1， 而an<0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1>an， 所以数列{an}是递增数列． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$