专题07 线段有关计算问题9大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题07 线段有关计算问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和差有关计算 3 类型二·、线段n等分点的计算 4 类型三、线段的单中点问题 5 类型四、线段的双中点问题 5 类型五、线段的多中点问题 6 类型六、线段上动点求线段长度问题 7 类型七、线段上动点求时间问题 8 类型八、线段上动点求定值问题 9 类型九、新定义的线段上动点问题 11 压轴能力测评（10题） 13 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 类型一、线段的和差有关计算 例1．（18-19七年级上·河北保定·期末）如图，是一条拉直的细线，A、B两点在上，，．若先固定B点，将折向，使得重叠在上，再从A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是(   ) A． B． C． D． 变式1-1．（18-19七年级上·吉林四平·期末）已知线段MN＝8cm，点P为直线MN上的点，且点P到N的距离为2cm，则线段PM＝ ． 变式1-2．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）已知：如图，是线段上两点，且，是的中点，，求线段的长． 变式1-3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 类型二·、线段n等分点的计算 例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 变式2-1．（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 变式2-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 类型三、线段的单中点问题 例3．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 变式3-1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点为线段中点，点在线段上，，，则图中所有线段的和是 ．    变式3-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 变式3-3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 类型四、线段的双中点问题 例4．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 变式4-2．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 变式4-3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 类型五、线段的多中点问题 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 变式5-2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 变式5-3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 类型六、线段上动点求线段长度问题 例6．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若， ①运动后，求的长． ②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ， 与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 变式6-1．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 变式6-2．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 变式6-3．（17-18七年级上·江西南昌·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）    （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 类型七、线段上动点求时间问题 例7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 变式7-1．（21-22七年级上·河南郑州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 变式7-2．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 变式7-3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用表示A、B两点的距离，表示、两点的距离，且，点A、点对应的数是分别是a、c，且． (1)______，______，B、C两点间距离______． (2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了______秒时，到的距离与到的距离相等? (3)若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为1个单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点运动了______秒时恰好满足，并求出此时点所对应的数______． 类型八、线段上动点求定值问题 例8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 变式8-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20． ①若，求点对应的数； ②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 变式8-2．（16-17七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 变式8-3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 类型九、新定义的线段上动点问题 例9．（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）（理解新知） 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用） 如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题） 如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 变式9-1．（19-20七年级上·山东济南·期末）【阅读理解】：A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB的2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离CA是2，到点B的距离CB是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离DA是1，到点B的距离DB是2，那么点D就不是（A，B)的好点，但点D是（B，A)的好点. 【知识运用】：（1)如图1，表示数______和_______的点是（A，B）的好点；    （2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.    ①表示数______的点是（M，N)的好点； ②表示数______的点是（N，M)的好点； (3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?    变式9-2．（19-20七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 变式9-3．（22-23七年级上·福建泉州·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 1．（17-18七年级上·广西梧州·期末）已知线段AB=2，延长AB至点C，使AC=3AB，则线段BC的长是（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 4．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知点在线段上，，，点，在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动． (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 7．（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 8．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 9．（18-19七年级上·云南昆明·期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10．动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度，点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点．设运动时间为t秒(t>0) (1)    点C表示的数是______ ；点P表示的数是______，点Q表示的数是________（点P．点 Q 表示的数用含 t 的式子表示) (2)    求 MN 的长； (3)    求 t 为何值时，点P与点Q相距7个单位长度？ 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段有关计算问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和差有关计算 3 类型二·、线段n等分点的计算 6 类型三、线段的单中点问题 10 类型四、线段的双中点问题 12 类型五、线段的多中点问题 17 类型六、线段上动点求线段长度问题 20 类型七、线段上动点求时间问题 25 类型八、线段上动点求定值问题 30 类型九、新定义的线段上动点问题 36 压轴能力测评（10题） 42 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 类型一、线段的和差有关计算 例1．（18-19七年级上·河北保定·期末）如图，是一条拉直的细线，A、B两点在上，，．若先固定B点，将折向，使得重叠在上，再从A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】解：设的长度为， ， ， ， 又∵先固定B点，将折向，使得重叠在上，再从A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴这三段从小到大的长度分别是：， ∴此三段细线由小到大的长度比为：， 故选：B． 变式1-1．（18-19七年级上·吉林四平·期末）已知线段MN＝8cm，点P为直线MN上的点，且点P到N的距离为2cm，则线段PM＝ ． 【答案】6cm或10cm 【分析】根据题意，显然此题要分情况讨论：点P在线段MN上，点P在线段MN的延长线上．因为MN大于PN，所以点P不可能在线段NM的延长线上． 【详解】当点P在线段MN上时，则PM＝MN﹣PN＝6cm；（图1） 当点P在线段MN的延长线上时，则PM＝MN+PN＝10cm；（图2） 故答案为6cm或10cm． 【点睛】本题考查了线段的和差，根据题意正确画出图形，然后根据线段的和与差进行计算是解题的关键. 变式1-2．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）已知：如图，是线段上两点，且，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是先由已知求出的长，再求的长．首先由已知，设，由，求出，再由是的中点，求出，从而求出的长即可． 【详解】解：由，设， ，解得， 因此，， 因为点是的中点，所以， ． 变式1-3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 类型二·、线段n等分点的计算 例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④， 故答案为：②④． 变式2-1．（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 变式2-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 类型三、线段的单中点问题 例3．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 变式3-1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点为线段中点，点在线段上，，，则图中所有线段的和是 ．    【答案】40 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算，根据中点求出的长，进而求出的长，再将所有线段的长相加即可． 【详解】解：∵点为线段中点，， ∴，， ∴，， ∴所有线段的和为：， 故答案为：40． 变式3-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查做已知线段的倍数和差，代数式的计算， （1）以点D为圆心长为半径画弧交直线于点F，则，再以点F为圆心以为半径画弧交于点E，那么即为所求； （2）按照题意已知代入分别求得和，利用即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 变式3-3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)20 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段和差的相关计算． （1）先求出， 再根据线段中点即可得出． （2）由已知条件可得出，由线段中点的定义得出，，由线段的和差关系可得出，即可求出，进一步即可得出 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D是线的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点D是线的中点，点E是线段的中点， ∴，， ∴， 解得：， ∴ 类型四、线段的双中点问题 例4．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【详解】解： ， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 变式4-1．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式4-2．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 变式4-3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段中点的有关计算以及线段和与差的计算是解题的关键． （1）由是的中点可得，然后根据即可得出答案； （2）由是的中点可得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：，是的中点， ， ， ； （2）解：，是的中点， ， ． 类型五、线段的多中点问题 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键． 根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：B． 变式5-1．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 变式5-2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，再推出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， ， 故选：B． 变式5-3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 类型六、线段上动点求线段长度问题 例6．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若， ①运动后，求的长． ②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ， 与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②4，， (2)9或11 【分析】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案．②用t表示出、、的长度即可得出； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知：，， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于， ∴， ∴， ， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴， ∴， 综上所述，或11． 变式6-1．（20-21七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或 【分析】（1）由两点间的距离，即可求解； （2）由线段的和差关系可求解； （3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得． 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12； 故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即， 所以． （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为， 所以，所以； 如图，当点在的延长线上时， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 变式6-2．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 变式6-3．（17-18七年级上·江西南昌·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）    （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1． 【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解； （4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，AM＝4cm， ∴BM＝8cm， ∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm， 故答案为：2cm，4cm； （2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC， ∵MD＝2AC， ∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+2AM＝AB， ∴AM＝AB＝4， 故答案为：4； （4）①当点N在线段AB上时，如图1，      ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝4 ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4 ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，    ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB＝12 ∴； 综上所述或1 故答案为或1． 【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 类型七、线段上动点求时间问题 例7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 变式7-1．（21-22七年级上·河南郑州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m， ∴AB=×16=24m． 故答案为：16，24． （2）解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． （3）解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x ． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 变式7-2．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 变式7-3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用表示A、B两点的距离，表示、两点的距离，且，点A、点对应的数是分别是a、c，且． (1)______，______，B、C两点间距离______． (2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了______秒时，到的距离与到的距离相等? (3)若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为1个单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点运动了______秒时恰好满足，并求出此时点所对应的数______． 【答案】(1)，20，40 (2)或20 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离， （1）由绝对值的非负性可求出，的值，进而可得出线段的长，结合可求出的长，由可求出线段的长； （2）由的长结合点对应的数可求出点对应的数，当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，由到的距离与到的距离相等，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，结合点为线段的中点及点为线段的中点可得出点，对应的数，进而可得出线段的长，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ． ， ， 故答案为：，20，40 （2）解：，点对应的数为，且点在点的右边， 点对应的数为． 当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 到的距离与到的距离相等， ，即或， 解得：或． 答：运动了秒或20秒时，到的距离与到的距离相等． （3）解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 点为线段的中点，点为线段的中点， 点对应的数为，点对应的数为， ． ∵， ． 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴点运动了秒时恰好满足，此时点所对应的数， 故答案为：，． 类型八、线段上动点求定值问题 例8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，定值为． 【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解； （）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可； （）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设， 当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，， 解得； 当点与点重合时，， 解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 变式8-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知如图数轴上有三点、、，，点对应的数是20． ①若，求点对应的数； ②在①的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，求它们运动多少秒时恰好满足； ③在①的条件下，若点、对应的数分别为、0，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点为线段的中点，点在从是点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】①点对应的数为：；②当秒或60秒时恰好满足；③不变，值为30． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． ①根据，，得出，利用点对应的数是20，即可得出点对应的数； ②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况讨论，得出方程求出即可； ③假设经过的时间为，得出，，进而得出的长为，得出原题得证． 【详解】解：①，， 所以， 点对应20， 点对应的数为：； ②设秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当在右边时，恰好满足， ， 解得：； 当在左边时，恰好满足， ， 解得：； ∴当秒或60秒时恰好满足； ③的值不发生变化．理由如下： 设经过的时间为， 则，， 于是长为， 长的一半则是， 所以长为：， 又， 所以为定值． 变式8-2．（16-17七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 变式8-3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2 (2)3 (3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 类型九、新定义的线段上动点问题 例9．（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）（理解新知） 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用） 如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题） 如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可． （2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度． （3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间． 【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半， 根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”． 故答案是：是； （2）是线段CD的“奇妙点” 根据定义，此题共分为三种情况． 当，即N为CD的中点时，有CN=12cm． 当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm． 当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm． 故答案为：8或12或16． （3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”． t秒后，，． 当P点是“奇妙点”时，． 由“奇妙点”定义可分三种情况． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 当Q点是“奇妙点”时，． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或； 当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键． 变式9-1．（19-20七年级上·山东济南·期末）【阅读理解】：A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB的2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离CA是2，到点B的距离CB是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离DA是1，到点B的距离DB是2，那么点D就不是（A，B)的好点，但点D是（B，A)的好点. 【知识运用】：（1)如图1，表示数______和_______的点是（A，B）的好点；    （2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.    ①表示数______的点是（M，N)的好点； ②表示数______的点是（N，M)的好点； (3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?    【答案】（1）1；5；（2）①2或10；②0或；（3）当t为10秒或15秒或20秒或50秒或60秒或80秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点. 【分析】（1）设所求数为x，可分为：①当好点在A、B之间；②当好点在B点右边，根据好点的定义，列出方程，解方程即可； （2）①与（1）同理，可分为好点在M、N之间和N的右边，两种情况进行计算即可； ②与（1）同理，可分为好点在M、N之间和点M的左边，两种情况进行计算即可； （3）根据好点的定义可知分五种情况：①P为（A，B）的好点；②P为（B，A）的好点；③点B是（A、P）的好点；④点A是（B，P）的好点；⑤点A是（P，B）的好点；设点P表示的数为n，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值． 【详解】解：（1）设所求数为x，则 ①当好点在A、B之间时，有：，解得：； ②当好点在B的右边时，有：，解得：； ∴表示数1和数5的点是（A，B）的好点； 故答案为：1；5. （2）①设所求数为y，则 当好点在M、N之间时，有：，解得：； 当好点在N的右边时，有：，解得：； ∴表示数2或10的点是（M，N)的好点； 故答案为：2或10； ②设所求数为z，则 当好点在M、N之间时，有：，解得：； 当好点在M的左边时，有：，解得：； ∴表示数0或的点是（N，M)的好点； 故答案为：0或； （3）设点P表示的数为n，则 ①P为（A，B）的好点时，有：， 解得：，则秒； ②P为（B，A）好点时，有两种情况： 当点P在A、B之间时，有：， 解得：，则秒； 当点P在A点左边时，有：， 解得：，则秒； ③点B是（A、P）的好点时，有：， 解得：，则秒； ④点A是（B，P）的好点时，有：， 解得：，则秒； ⑤点A是（P，B）的好点时，有：， 解得：，则秒. 综合上述，当t为10秒或15秒或20秒或50秒或60秒或80秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意利用分类讨论的思想进行解题，以及数形结合的思想进行解题. 变式9-2．（19-20七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】（1）15；4（2）t的值为2、3.5、5或17. 【分析】（1）根据路程除以速度等于时，可得答案；根据相遇时P,Q的时间相等，可得方程，解出即可. （2）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，解出即可. 【详解】（1）点P运动至点C时，所需时间t=6÷2+10÷1+4÷2=15（s）， 答：动点P从点A运动至C点需要15秒； 由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x． 则6÷2+x÷1=4÷1+（10-x）÷2， x=4， 答：M所对应的数为4． （2）P点运动完时间：6÷2+10÷1+4÷2=15（s） Q点运动完时间：4÷1+10÷2+6÷1=15（s） P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有以下可能： ①动点Q在CB上，动点P在AO上， 则：4-1t=6-2t，解得：t=2． ②动点Q在CB上，动点P在OB上， 则：4-1t=1×（t-3），解得：t=3.5． ③动点Q在BO上，动点P在OB上， 则：2（t-4）=1×（t-3），解得：t=5． ④动点Q在OA上，动点P在OB上， 则：1×（t-9）+10=1×（t-3），无解 ④动点Q在OA上，动点P在BC上， 则：1×（t-9）+10=2×（t-13）+10，解得：t=17， 综上所述：t的值为2、3.5、5或17． 【点睛】本题考查动点问题，关键在于分段讨论，弄清楚每一段的时间及点所在的位置. 变式9-3．（22-23七年级上·福建泉州·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值， ； ②当点从点向点方向运动时， ， ， ； 当点从点向点方向运动时， ， ， ， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 1．（17-18七年级上·广西梧州·期末）已知线段AB=2，延长AB至点C，使AC=3AB，则线段BC的长是（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据AC=3AB可以得到AC的长度，而BC=AC-AB，即可得到答案. 【详解】∵AC=3AB且AB=2 ∴AC=6 BC=AC-BC=6-2=4，故答案选择D. 【点睛】本题主要考考查线段的和差，正确理解是解题的关键. 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知点在线段上，，，点，在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动． (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握各线段之间的和、差及倍数之间的关系是解答关键． （1）根据已知求出的长度，再利用线段和差求解； （2）根据已知求出的长度，进而求出的长度，再利用等式的性质求解． 【详解】（1）解：， ． 为的中点， ． ， ． （2）解：由（1）得，，， 又， ． ， ， ． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，于是得到； （2）根据，，得到，，求得，，于是得到结论． 【详解】（1）解： 线段，点是线段的中点， ， ， ； （2）点在线段上，，， ，， ，， ，， ． 7．（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)； (2)点表示的数为或； (3)不发生变化，图见解析，． 【分析】（1）本题根据数轴上两点之间的距离算出，利用，得到的长，利用数轴上两点之间的距离，即可解题． （2）本题根据，可判断点不在线段上，设点表示的数为，则可分两种情况进行分析：点在左侧或点在右侧，分别表示出后，根据建立等式求解，即可解题； （3）本题根据点为数轴上的动点，分为以下三种情况，①点在点的左侧，②点在之间，③点在点右侧，利用中点求出线段、的长度，根据图形分析表示出的长度，即可解题． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， ， ， 又点在点的右侧， 点表示的数为， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为， ， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ． 解得． 综上所述，点表示的数为或． （3）解：的长度不发生变换，理由如下： ①点在点的左侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ②点在之间， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ③点在点的右侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，线段中点的定义、一元一次方程的应用、线段的和差，解题关键是根据数轴表示出线段的长度． 8．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6 【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答； （2）根据图形可得即可解答； （3）根据图形可得当点C在延长线上时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， 如图1：当点C在线段AB上时，． （2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，． （3）解：如图： 当点C在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键． 9．（18-19七年级上·云南昆明·期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10．动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度，点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点．设运动时间为t秒(t>0) (1)    点C表示的数是______ ；点P表示的数是______，点Q表示的数是________（点P．点 Q 表示的数用含 t 的式子表示) (2)    求 MN 的长； (3)    求 t 为何值时，点P与点Q相距7个单位长度？ 【答案】（1）    （2）    （3）或 【分析】（1）根据动点P、Q的运动轨迹可得，，即可解答． （2）根据中点平分线段长度和线段的和差关系即可解答． （3）由（1）可得，代入求解即可． 【详解】（1）∵点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10 ∴点C表示的数是10 ∵动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度 ∴， ∴点P表示的数是，点Q表示的数是 故答案为：． （2）∵点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，， ∴， ∴． （3）∵点P表示的数是，点Q表示的数是 ∴ ∵点P与点Q相距7个单位长度 ∴ 解得或． 【点睛】本题考查了线段的动点问题，掌握数轴的性质、中点平分线段长度、线段的和差关系、解一元一次方程的方法是解题的关键． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$