专题04 圆（9大基础题+11大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题04 圆 目录 基础能力夯试题 1 考点01：垂径定理的应用 1 考点02：圆周角定理 3 考点03：圆内接四边形的性质 4 考点04：直线与圆的位置关系 4 考点05：切线的判定与性质 5 考点06：切线长定理 6 考点07：正多边形和圆 7 考点08：弧长的计算 7 考点09：扇形面积的计算 8 优选能力提升题 9 考点01：求特殊三角形外接圆的半径 9 考点02：确定圆心（尺规作图） 10 考点03：画圆（尺规作图） 10 考点04：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 11 考点05：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11 考点06：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 12 考点07：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 13 考点08：尺规作图--正多边形 14 考点09：求某点的弧形运动路径长度 15 考点10：求图形旋转后扫过的面积 17 考点11：圆锥侧面上最短路径问题 18 考点01：垂径定理的应用 1．（2023秋•凤阳县期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 2．（2023秋•包河区期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 3．（2023秋•蒙城县校级期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝20m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝4m．求这座石拱桥主桥拱的半径． 考点02：圆周角定理 4．（2023秋•金安区校级期末）如图，在⊙O中，∠ABC＝54°，∠AOC的度数是（　　） A．27° B．54° C．108° D．126° 5．（2023秋•包河区期末）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．32.5° 6．（2023秋•淮北期末）（1）如图1，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若OE＝4，CD＝6，则圆的半径为 　　； （2）如图2，在⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，BD．若AC2+BD2＝8，则圆的半径为 　　． 考点03：圆内接四边形的性质 7．（2023秋•凤阳县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，若∠B＝136°，则∠AOC的度数是（　　） A．44° B．54° C．88° D．108° 8．（2023秋•濉溪县校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 9．（2023秋•太和县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝142°，则∠ABC的度数是 　　． 考点04：直线与圆的位置关系 10．（2023秋•潜山市期末）在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 11．（2023秋•安庆期末）设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP＝6cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　 　． 12．（2022秋•安徽期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 考点05：切线的判定与性质 13．（2023秋•金安区校级期末）如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点． （1）求证：CD为⊙O切线； （2）若CD＝1，，求PB的长． 14．（2023秋•和县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长． 15．（2023秋•颍州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆．AB是⊙O的直径，过点O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，使∠D＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． 考点06：切线长定理 16．（2023秋•金安区校级期末）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 　 cm． 17．（2023秋•颍州区校级期末）如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（　　） A．4 B．8 C．4 D．8 18．（2023秋•谯城区校级期末）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（　　） A．4 B．8 C． D． 考点07：正多边形和圆 19．（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形ABGH有公共边AB，连接CG交EF于点M，则∠HGM的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 20．（2023秋•怀宁县期末）下列说法正确的是（　　） A．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1： B．正方形的内切圆与外接圆半径之比为1：2 C．正六边形的内切圆与外接圆半径之比为：2 D．以上说法都不正确 21．（2023春•宿州期末）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是 　　． 考点08：弧长的计算 22．（2023秋•合肥期末）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 　　． 23．（2023秋•颍泉区期末）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 　　（结果保留π）． 24．（2023秋•芜湖期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝2，∠ODC＝40°，则在扇形OCD中，弧CD长是（　　） A． B． C． D． 考点09：扇形面积的计算 25．（2023秋•颍州区期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B． C． D． 26．（2023秋•颍州区期末）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且．下列说法错误的是（　　） A．圆心O到AB的距离为1 B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为 C．以AB为边向上作矩形ABPQ，交⊙O于点P，Q，则扇形OPQ的面积为π D．取弦AB的中点D，当AB绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为2π 27．（2022秋•安徽期末）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OD＝5m，OC＝3m，则阴影部分的面积为 　　m2． 考点01：求特殊三角形外接圆的半径 1．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为 ． 2．（21-22九年级上·安徽铜陵·期末）如图，△ABC内接于圆，∠ABC=30°，BC=4，且BC为直径，点D在边BC上，点M是点D关于边AB的对称点，过点D的直线平行于边AB，且与MA的延长线交于点N ，则线段MN的最小值为 考点02：确定圆心（尺规作图） 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ． 考点03：画圆（尺规作图） 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，．找到的外心，画出的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，学校某处空地上有、、三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求、、三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点． 考点04：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 7．（23-24九年级上·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 8．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点05：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 9．（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式． (3)在坐标平面内，动点在直线上，当为直角三角形且恰好存在两个点时，求的取值或取值范围． 10．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    考点06：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（  ） A．步 B．步 C．步 D．步 12．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 考点07：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 13．（22-23九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，PB． 14．（22-23九年级上·北京东城·期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：直线和直线，使切于点，切于点． 作法：如图， ①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，； ②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点； ③作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小乐设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵是的直径， ∴________（________）（填推理的依据）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 考点08：尺规作图--正多边形 15．（22-23九年级·江西赣州·期末）仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 16．（21-22九年级上·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 考点09：求某点的弧形运动路径长度 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，画出． (2)将绕点顺时针旋转90°，得到，画出 (3)在（2）的旋转过程中，点经过的路径长是______． 考点10：求图形旋转后扫过的面积 19．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答： (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积； (2)作出关于原点对称的，并直接写出点的坐标 ． 20．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）． （1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段（点，分别为A，B的对应点）； （2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积． 考点11：圆锥侧面上最短路径问题 21．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 22．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 目录 基础能力夯试题 1 考点01：垂径定理的应用 1 考点02：圆周角定理 4 考点03：圆内接四边形的性质 6 考点04：直线与圆的位置关系 8 考点05：切线的判定与性质 9 考点06：切线长定理 13 考点07：正多边形和圆 15 考点08：弧长的计算 16 考点09：扇形面积的计算 17 优选能力提升题 21 考点01：求特殊三角形外接圆的半径 21 考点02：确定圆心（尺规作图） 22 考点03：画圆（尺规作图） 24 考点04：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 25 考点05：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 26 考点06：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 30 考点07：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 31 考点08：尺规作图--正多边形 34 考点09：求某点的弧形运动路径长度 36 考点10：求图形旋转后扫过的面积 38 考点11：圆锥侧面上最短路径问题 41 考点01：垂径定理的应用 1．（2023秋•凤阳县期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 解：设该门洞的半径的半径为r m， 如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA， 则CD＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，AC＝BCAB1＝0.5（m）， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+（2.5﹣r）2＝r2， 解得：r＝1.3， 答：该门洞的半径为1.3m． 2．（2023秋•包河区期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 解：如图，连接AB、CD交于点D， 由题意得，OC⊥AB， 则AD＝DBAB＝4， 设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm， 在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2， 解得，R＝5， 则该铁球的直径为10cm， 故选：B． 3．（2023秋•蒙城县校级期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝20m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝4m．求这座石拱桥主桥拱的半径． 解：连接OB， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BD， 设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝20，CD＝4， ∴BDAB＝10， OD＝OC﹣CD＝R﹣4， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（R﹣4）2+102＝R2， 解得R＝14.5， 答：这座石拱桥主桥拱的半径为14.5m． 考点02：圆周角定理 4．（2023秋•金安区校级期末）如图，在⊙O中，∠ABC＝54°，∠AOC的度数是（　　） A．27° B．54° C．108° D．126° 解：∵∠ABC＝54°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝108°， 故选：C． 5．（2023秋•包河区期末）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．32.5° 解：连接OD， ∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∵∠AEC＝65°， ∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD＝25°， ∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°， ∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°， ∴由圆周角定理得：∠BAD∠DOB＝20°， 故选：A． 6．（2023秋•淮北期末）（1）如图1，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若OE＝4，CD＝6，则圆的半径为 　5　； （2）如图2，在⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，BD．若AC2+BD2＝8，则圆的半径为 　　． 解：（1）连接OC， ∵直径AB垂直于弦CD， ∴CECD6＝3， ∵OE＝4， ∴OC5， ∴圆的半径是5． 故答案为：5． （2）作直径DK，连接AD， ∴∠DBK＝90°， ∴∠BDK+∠K＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ADC+∠BAD＝90°， ∵∠K＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠BDK， ∴， ∴BK＝AC， ∵AC2+BD2＝8， ∴BK2+BD2＝8， ∵BK2+BD2＝DK2， ∴DK＝2（舍去负值）， ∴圆的半径为． 故答案为：． 考点03：圆内接四边形的性质 7．（2023秋•凤阳县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，若∠B＝136°，则∠AOC的度数是（　　） A．44° B．54° C．88° D．108° 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝136°， ∴∠D＝180°﹣136°＝44°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝88°， 故选：C． 8．（2023秋•濉溪县校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝100°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°， 故选：C． 9．（2023秋•太和县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝142°，则∠ABC的度数是 　109°　． 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， 又∵∠D∠AOC＝71°， ∴∠ABC＝180°﹣71°＝109°． 故答案为：109°． 考点04：直线与圆的位置关系 10．（2023秋•潜山市期末）在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 解：如图， 由题意得，OA＝4，OB＝6， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是6+4＝10， 当点P在BO与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最小， 此时，点P到直线l的最小距离是6﹣4＝2． ∴点P到直线l的距离2≤d≤10， 故点P到直线l的距离不可能是14． 故选：D． 11．（2023秋•安庆期末）设⊙O的半径为6cm，点P在直线l上，已知OP＝6cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　相切或相交　． 解：∵r＝6cm，OP＝6cm， ∴r＝OP， ∵点P在直线l上，OP＝6cm， ∴点O到直线l的距离≤6cm， ∴直线l与⊙O相切或相交， 故答案为：相切或相交． 12．（2022秋•安徽期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 解：∵⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，3＝3， ∴直线l与⊙O相切． 故选：A． 考点05：切线的判定与性质 13．（2023秋•金安区校级期末）如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点． （1）求证：CD为⊙O切线； （2）若CD＝1，，求PB的长． （1）证明：连接OC， ∵CD⊥AE， ∴∠ADC＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵∠EAB的平分线AC交⊙O于C点， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∴∠ADC＝∠OCP＝90°， ∴CD⊥OC， ∴CD为⊙O切线． （2）解：连接BC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠DAC＝∠OAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∵CD＝1，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设PB＝x，10 ∵OC∥AD， ∴△POC∽△PAD， ∴， ∴， 解得， 故． 14．（2023秋•和县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长． （1）证明：连接OE， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠DAE， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴AC∥OE， ∵∠C＝90°， ∴∠OEB＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12， ∴，OB＝2OE， ∵OE＝OD， ∴OD＝BD， ∴OA＝OE＝OD＝BD＝4， ∴AD＝8， ∵AD是半圆O的直径， ∴∠C＝∠DFA＝90°， ∴DF∥BC， ∴∠B＝∠FDA＝30°， ∴， ∴CF＝AC﹣AF＝2， 15．（2023秋•颍州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆．AB是⊙O的直径，过点O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，使∠D＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． （1）证明：如图，连接OC． ∵OE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠D+∠DCE＝90°． ∵∠A＝∠D， ∴∠A+∠DCE＝90°． ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴． ． ∵S△CODOC•CDOD•CE， ∴． ∵OE⊥AC， ∴． 考点06：切线长定理 16．（2023秋•金安区校级期末）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 　6　cm． 解：∵∠CAD＝60°， ∴∠CAB＝120°， ∵AB和AC与⊙O相切， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAB∠CAB＝60° ∵AB＝3cm， ∴OA＝6cm， ∴由勾股定理得OB＝3cm， ∴光盘的直径是6cm． 故答案为：6． 17．（2023秋•颍州区校级期末）如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（　　） A．4 B．8 C．4 D．8 解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B， ∴PA＝PB， 又∠P＝60°， ∴△APB是等边三角形， ∴AB＝PA＝8． 故选：B． 18．（2023秋•谯城区校级期末）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（　　） A．4 B．8 C． D． 解：∵PA、PB都是⊙O的切线， ∴PA＝PB， 又∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8， 故选：B． 考点07：正多边形和圆 19．（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形ABGH有公共边AB，连接CG交EF于点M，则∠HGM的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC（6﹣2）×180°＝120°，AB＝BC， ∵四边形ABGH为正方形， ∴∠ABG＝∠BGH＝90°，AB＝BG， ∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝30°，BC＝BG， ∴∠BGC＝∠BCG（180°﹣∠CBG）＝75°， ∴∠HGM＝180°﹣∠BGH﹣∠BGC＝15°． 故选：A． 20．（2023秋•怀宁县期末）下列说法正确的是（　　） A．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1： B．正方形的内切圆与外接圆半径之比为1：2 C．正六边形的内切圆与外接圆半径之比为：2 D．以上说法都不正确 解：如图1，正三角形ABC的外接圆半径OA，内切圆半径OH，由于∠OAH60°＝30°，所以sin30， 因此选项A不符合题意； 如图2，正方形ABCD的外接圆半径OA，内切圆半径OH，由于∠OAH09°＝45°，所以sin45°， 因此选项B不符合题意； 如图3，正六边形ABCDEF的外接圆半径OA，内切圆半径OH，由于∠OAH120°＝60°，所以sin60°， 因此选项C符合题意； 故选：C． 21．（2023春•宿州期末）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是 　10　． 解：设正多边形是n边形，由内角和公式得： （n﹣2）180°＝144°×n， 解得n＝10， 故答案为：10． 考点08：弧长的计算 22．（2023秋•合肥期末）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 　π　． 解：∵正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点， ∴EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1， ∴cos∠BEG＝cos∠CEH， ∴∠BEG＝∠CEH＝60°， ∴∠GEH＝60°， ∴长为π． 故答案为：π． 23．（2023秋•颍泉区期末）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 　4π　（结果保留π）． 解：弧CD的长是， 弧DE的长是：， 弧EF的长是：2π＝2π， 则曲线CDEF的长是：2π＝4π， 故答案为：4π． 24．（2023秋•芜湖期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝2，∠ODC＝40°，则在扇形OCD中，弧CD长是（　　） A． B． C． D． 解：∵在矩形ABCD中，AC＝2，∠ODC＝40°， ∴OD＝OC＝1，∠COD＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴弧CD的长为， 故选：D． 考点09：扇形面积的计算 25．（2023秋•颍州区期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B． C． D． 解：连接AE， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB′C′D′， ∴AD＝AB′＝1，∠BAB′＝30°， 在△ABE与△AD′E中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AD′E（HL）， ∴∠EAD′＝∠EAB＝30°， ∴AB2+BE2＝（2BE）2， ∴， ∴， 故选：C． 26．（2023秋•颍州区期末）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且．下列说法错误的是（　　） A．圆心O到AB的距离为1 B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为 C．以AB为边向上作矩形ABPQ，交⊙O于点P，Q，则扇形OPQ的面积为π D．取弦AB的中点D，当AB绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为2π 解： 如图1，过点O作OH⊥AB于点H，连接OA， 则． 在Rt△AOH中，由勾股定理得，， ∴圆心O到AB的距离为1， 故选项A正确，不符合题意； 如图1，延长HO交⊙O于点C， 此时△ABC的面积最大． ∵CH＝OC+OH＝2+1＝3， ∴， ∴△ABC面积的最大值为， 故选项B正确，不符合题意； 如图2，连接PA，QB． ∵四边形ABPQ是矩形， ∴∠QAB＝∠PBA＝90°， ∴PA，QB是⊙O的直径， ∴AP＝2×2＝4． 在Rt△ABP中，由勾股定理得，． ∵PO＝BO＝2， ∴PO＝BO＝BP， ∴△POB是等边三角形， ∴∠POB＝60°， ∴∠POQ＝180°﹣∠POB＝120°， ∴， 故选项C错误，符合题意； 连接OD，OA，OB． 则OA＝OB， ∵点D是弦AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴， ∴当AB绕点O旋转一周时， 点D运动的路线是以O为圆心，半径长是1的圆， ∴点D运动的路线长为2π×1＝2π， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 27．（2022秋•安徽期末）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OD＝5m，OC＝3m，则阴影部分的面积为 　π　m2． 解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC π（m2）． 故答案为：π． 考点01：求特殊三角形外接圆的半径 1．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为 ． 【答案】// 【分析】根据勾股定理可求出该直角三角形的斜边长为，再根据直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半即可求解． 【详解】由题意可求出该直角三角形的斜边长为， ∴该直角三角形外接圆的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形外接圆的性质．掌握直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半是解题关键． 2．（21-22九年级上·安徽铜陵·期末）如图，△ABC内接于圆，∠ABC=30°，BC=4，且BC为直径，点D在边BC上，点M是点D关于边AB的对称点，过点D的直线平行于边AB，且与MA的延长线交于点N ，则线段MN的最小值为 【答案】 【分析】连接DA，证出AD＝MN，当AD⊥BC时，AD有最小值，则MN有最小值，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】连接DA，设AB与DM交于点E， 点M是点D关于边AB的对称点，BC为直径， ∠AED＝∠BAC＝90°，ME＝DE， ∵DN∥AB， ∴∠EDN＝90°，MA＝AN， 连接DA，则AD＝MN， 当AD⊥BC时，AD有最小值，则MN有最小值， ∵∠ABC＝30°，BC＝4， ∴AC＝2， ∴AD＝， ∴MN＝2AD＝2， 即MN的最小值为2． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，直角三角形的性质，垂线段的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 考点02：确定圆心（尺规作图） 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 4．（22-23九年级上·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ． 【答案】(2，0) 【分析】根据不在同一条直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵，， ∴AB的垂直平分线为 设圆心为 ∵点O也在BC的垂直平分线上， ∴ 根据勾股定理得 解得 ∴圆心坐标为 故答案为：(2，0)． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 考点03：画圆（尺规作图） 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，．找到的外心，画出的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） 【答案】图见解析 【分析】本题考查画三角形的外接圆，熟练掌握外心的定义及线段垂直平分线作法是解题的关键．分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可． 【详解】解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，学校某处空地上有、、三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求、、三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点． 【答案】见解析 【分析】连接,分别作的垂直平分线，交于点，以的长度为半径，为圆心作圆即可． 【详解】如图所示．连接,分别作的垂直平分线，交于点，以的长度为半径，为圆心作圆，则即为所求， 【点睛】本题考查了过不共线三点作圆，掌握过不共线三点作圆是解题的关键． 考点04：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 7．（23-24九年级上·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆相切可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵， ， 或， ，， 的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线l相切， 的半径，即， 故选：B． 8．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 考点05：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 9．（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式． (3)在坐标平面内，动点在直线上，当为直角三角形且恰好存在两个点时，求的取值或取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得当时，有最大值4 ，然后分两种情况：当，即时；当，时，即可得到答案； （3）以为直径作，过点作直线，过点作直线，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，    解得，    二次函数的表达式为； （2）解： 顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值4    当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 ∵， ∴， ∴当时，有最大值4 ， 当时， 当，即时，最小值为， ∴ ； 当，时，最小值为3， ∴， 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：以为直径作，过点作直线，过点作直线 情况1：如图2，当直线过点时，此时， 此时直线与有交于点和，且与直线交于点， 则和恰好是直角三角形； 情况2：如图2，当直线过点时，此时，    此时直线与有交于点和，且与直线交于点， 则和恰好是直角三角形； 情况3，如图3，设直线与相切于点和，    点和点， ，， 的半径 ，或， 当点到直线的距离大于的半径时，如图4，    即，此时直线分别与直线，直线交于点和，则和恰好是直角三角形， 或，此时直线分别与直线，直线交于点和，则和恰好是直角三角形， 综上，或或或，则为直角三角形且恰好存在两个点 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 10．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 考点06：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（  ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径. 【详解】根据勾股定理，得 斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步， 故答案为A. 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题. 12．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ∵与，，分别相切于点，，， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 故选：． 考点07：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 13．（22-23九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，PB． 【答案】见解析 【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可； 【详解】作图如图，直线、即为所作的的切线． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 14．（22-23九年级上·北京东城·期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：直线和直线，使切于点，切于点． 作法：如图， ①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，； ②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点； ③作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小乐设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵是的直径， ∴________（________）（填推理的依据）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)，直径所对的圆周角为直角 【分析】（1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角为直角 【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点08：尺规作图--正多边形 15．（22-23九年级·江西赣州·期末）仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形； 【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形． 解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求； （2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求． 【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 16．（21-22九年级上·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 考点09：求某点的弧形运动路径长度 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质． 【详解】解：如图， ∵正六边形的内角为， ∴， 又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， ∴， ∴，， ∴， ∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， 则它的中心点所经过的路径长为：． 故选：B． 18．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，画出． (2)将绕点顺时针旋转90°，得到，画出 (3)在（2）的旋转过程中，点经过的路径长是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图——平移变换和旋转变换，熟练掌握平移的性质及旋转的性质找出对应点或对应边是解题的关键． （1）根据平移的规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）解：， ∴点经过的路径长是． 考点10：求图形旋转后扫过的面积 19．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答： (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积； (2)作出关于原点对称的，并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，， 【分析】本题考查了作图——旋转变换，轴对称变换，以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质和关于原点对称的点的坐标特征是解题关键． （1）根据旋转的性质画出图形，再由扇形面积公式求出线段在旋转过程中所扫过的面积即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数，画出图形，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图为所求作的图形； 由题意可知，，， 线段在旋转过程中所扫过的面积； （2）解：如图，为所求作的图形，， 故答案为：． 20．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）． （1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段（点，分别为A，B的对应点）； （2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质：点B和点，点A和点到点N的距离相等，且即可； （2）线段AB扫过的面积为,由扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2） 如图，线段AB扫过的面积= ． 【点睛】本题考查旋转画图与扇形的面积公式，掌握不规则图形面积公式的求法是解题的关键． 考点11：圆锥侧面上最短路径问题 21．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 22．（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作, ∴    设∠ASB＝n°， 即：， 得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$