专题02 二次函数（12大基础题+17大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题02 二次函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：二次函数的图象 2 考点02：二次函数的性质 3 考点03：二次函数的三种形式 3 考点04：二次函数图象与系数的关系 4 考点05：二次函数图象上点的坐标特征 5 考点06：二次函数图象与几何变换 5 考点07：二次函数的最值 5 考点08：待定系数法求二次函数解析式 6 考点09：二次函数综合题 7 考点10：抛物线与x轴的交点 9 考点11：根据实际问题列二次函数关系式 11 考点12：二次函数的应用 11 优选能力提升题 12 考点01：根据二次函数的定义求参数 12 考点02：二次函数图象与各项系数符号 12 考点03：已知抛物线上对称的两点求对称轴 13 考点04：根据二次函数的对称性求函数值 13 考点05：已知二次函数的函数值求自变量的值 14 考点06：根据交点确定不等式的解集 15 考点07：求x轴与抛物线的截线长 16 考点08：图形问题（实际问题与二次函数） 16 考点09：图形运动问题（实际问题与二次函数） 17 考点10：拱桥问题（实际问题与二次函数） 19 考点11：销售问题（实际问题与二次函数） 20 考点12：投球问题（实际问题与二次函数） 21 考点13：喷水问题（实际问题与二次函数） 22 考点14：面积问题（二次函数综合） 23 考点15：角度问题（二次函数综合） 25 考点16：特殊三角形问题（二次函数综合） 26 考点17：特殊四边形（二次函数综合） 28 考点01：二次函数的图象 1．（2023秋•包河区期末）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则与y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•桐城市校级期末）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•舒城县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝kx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点02：二次函数的性质 4．（2023秋•凤阳县期末）二次函数y＝（x+1）2图象的顶点坐标是（　　） A．（0.1） B．（0，﹣1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 5．（2023秋•金安区校级期末）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6） 6．（2023秋•包河区期末）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是　 　． 考点03：二次函数的三种形式 7．（2023秋•肥东县期末）已知抛物线y＝﹣2x2﹣x+6． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，y＜0？ 8．（2023秋•合肥期末）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣7 9．（2023秋•濉溪县期末）二次函数yx2+3x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 考点04：二次函数图象与系数的关系 10．（2022秋•怀宁县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点Q（b，ac）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2023秋•长丰县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2023秋•望江县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0． 其中正确的有　 　． 考点05：二次函数图象上点的坐标特征 13．（2023秋•金安区校级期末）点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 14．（2024春•金安区校级期末）点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 15．（2023秋•潜山市期末）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为 　　． 考点06：二次函数图象与几何变换 16．（2023秋•怀宁县期末）平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2+2 17．（2023秋•和县期末）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4 18．（2023秋•怀宁县期末）已知关于直线x＝1对称的抛物线y＝x2+bx+c经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，且点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 　　（填A或B），若此时y1＜y2，则n的取值范围是 　 　． 考点07：二次函数的最值 19．（2023秋•淮北期末）如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上第一象限内一动点，A（0，3），B（3，0），过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别交直线AB于F，H两点，过点P作AB的垂线，垂足为G．下列说法中正确的是（　　） A．GH的最大值为 B．FG的最大值为 C．PF的最大值为2 D．△PFG周长的最大值为 20．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 21．（2022秋•池州期末）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝　　． 考点08：待定系数法求二次函数解析式 22．（2023秋•蚌埠期末）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3）， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 23．（2023秋•凤阳县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），求抛物线的解析式． 24．（2024春•金安区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； （2）连接OB，AB，求S△OAB； （3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标． 考点09：二次函数综合题 25．（2023秋•包河区期末）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线yx2+bx+c经过B点，且顶点在直线x上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标． 26．（2023秋•金安区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 27．（2023秋•宿松县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； （3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 考点10：抛物线与x轴的交点 28．（2023秋•凤阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已的点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式，及点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）当n≤x≤n+1时．最大值为，直接写出n的值． 29．（2023秋•怀宁县期末）规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c，我们把它的图象与x轴交点的横坐标称为二次函数y＝ax2+bx+c的零点．已知二次函数y＝（k﹣8）x2﹣6x+k只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（　　） A． B． C．3 D．或3 30．（2022秋•蒙城县期末）如图，抛物线yx2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（　　） A． B．﹣2 C． D．﹣3 考点11：根据实际问题列二次函数关系式 31．（2023秋•定远县期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝x2 B．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 D．y＝25﹣2x 32．（2023秋•霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.6（1+2x） B．y＝2.6（1﹣x）2 C．y＝2.6（1+x）2 D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2 33．（2022秋•定远县期末）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 考点12：二次函数的应用 34．（2023秋•蒙城县期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（　　） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 35．（2023秋•宿松县期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 36．（2023秋•肥西县期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为　　s 考点01：根据二次函数的定义求参数 1．（22-23九年级上·全国·期末）若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为(      ) A．-1或3 B．-1 C．3 D．-3或1 2．（21-22九年级上·广西贺州·期末）当 时，函数是二次函数． 考点02：二次函数图象与各项系数符号 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的结论有 ． 考点03：已知抛物线上对称的两点求对称轴 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 6．（22-23九年级上·安徽六安·期末）某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 在该函数图象上有和两点，且，，则与可以取的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点04：根据二次函数的对称性求函数值 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数y=-x2+2x+2，点A(x1，y1)．B(x2，y2)(x1< x2)是其图象上两点，则下列结论正确的是（     ） A．若x1+x2>2，则y1< y2 B．若x1+x2< 2，则y1< y2 C．若x1+x2>-2则y1>y2 D．若x1+x2<-2，则y1>y2 8．（21-22九年级上·北京通州·期末）已知一个二次函数的表达式为． (1)当时，若，两点在该二次函数图象上，求m的值； (2)已知点，，二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 考点05：已知二次函数的函数值求自变量的值 9．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由； (3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 10．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹．其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线． ①抛物线()的焦点为，例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是___________； ②将抛物线()向右平移个单位、再向上平移个单位(，)，可得抛物线；因此抛物线的焦点是．例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是_____________________．根据以上材料解决下列问题： （1）完成题中的填空； （2）已知二次函数的解析式为； ①求其图象的焦点的坐标； ②求过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标． 考点06：根据交点确定不等式的解集 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：二次函数的图象与轴交于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 考点07：求x轴与抛物线的截线长 13．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 14．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的二次函数． （1）试判断该函数的图象与轴的交点的个数； （2）当时，求该函数图象与轴的两个交点之间的距离． 考点08：图形问题（实际问题与二次函数） 15．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 考点09：图形运动问题（实际问题与二次函数） 17．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．     B．     B． C．   D．   18．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 考点10：拱桥问题（实际问题与二次函数） 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 20．（22-23九年级上·安徽池州·期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米． (1)求这条抛物线的表达式． (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？ 考点11：销售问题（实际问题与二次函数） 21．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）年月日，甘肃发生级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足以下表格中的一次函数关系： （元） … … （件） … 6 … (1)求关于的函数解析式； (2)求商场卖这种商品每天的销售利润与每件的售价间的函数关系式； (3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 考点12：投球问题（实际问题与二次函数） 23．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 24．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 考点13：喷水问题（实际问题与二次函数） 25．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 26．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 考点14：面积问题（二次函数综合） 27．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 考点15：角度问题（二次函数综合） 29．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为 ． 30．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 考点16：特殊三角形问题（二次函数综合） 31．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 32．（22-23九年级上·山东东营·期末）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点17：特殊四边形（二次函数综合） 33．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 34．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：二次函数的图象 1 考点02：二次函数的性质 3 考点03：二次函数的三种形式 4 考点04：二次函数图象与系数的关系 5 考点05：二次函数图象上点的坐标特征 7 考点06：二次函数图象与几何变换 8 考点07：二次函数的最值 9 考点08：待定系数法求二次函数解析式 11 考点09：二次函数综合题 12 考点10：抛物线与x轴的交点 18 考点11：根据实际问题列二次函数关系式 22 考点12：二次函数的应用 22 优选能力提升题 23 考点01：根据二次函数的定义求参数 23 考点02：二次函数图象与各项系数符号 24 考点03：已知抛物线上对称的两点求对称轴 26 考点04：根据二次函数的对称性求函数值 28 考点05：已知二次函数的函数值求自变量的值 31 考点06：根据交点确定不等式的解集 34 考点07：求x轴与抛物线的截线长 36 考点08：图形问题（实际问题与二次函数） 37 考点09：图形运动问题（实际问题与二次函数） 39 考点10：拱桥问题（实际问题与二次函数） 43 考点11：销售问题（实际问题与二次函数） 46 考点12：投球问题（实际问题与二次函数） 48 考点13：喷水问题（实际问题与二次函数） 50 考点14：面积问题（二次函数综合） 53 考点15：角度问题（二次函数综合） 58 考点16：特殊三角形问题（二次函数综合） 61 考点17：特殊四边形（二次函数综合） 65 考点01：二次函数的图象 1．（2023秋•包河区期末）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则与y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c， ∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定）， ∴ac＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴函数的图象在二、四象限，y＝ax2+bx+c的图象开口向下，交y轴的正半轴，与x轴有两个交点，其中一个交点为（1，0）， 故选：C． 2．（2023秋•桐城市校级期末）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴， ∴A符合条件， 故选：A． 3．（2023秋•舒城县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝kx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：A、由抛物线可知，a＞0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＞0，矛盾，故本选项错误，，不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，矛盾，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＜0，矛盾，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 考点02：二次函数的性质 4．（2023秋•凤阳县期末）二次函数y＝（x+1）2图象的顶点坐标是（　　） A．（0.1） B．（0，﹣1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 解：二次函数y＝（x+1）2图象的顶点坐标是（﹣1，0）． 故选：C． 5．（2023秋•金安区校级期末）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6） 解：因为抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣6）． 故选：B． 6．（2023秋•包河区期末）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是　（﹣2，﹣3）　． 解：y＝﹣（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 考点03：二次函数的三种形式 7．（2023秋•肥东县期末）已知抛物线y＝﹣2x2﹣x+6． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，y＜0？ 解：（1）y＝﹣2x2﹣x+6＝﹣2（x2x）6＝﹣2（x）2， 顶点坐标（，）， 对称轴是直线x； （2）令y＝0，即﹣2x2﹣x+6＝0， 解得x＝﹣2或， ∵抛物线开口向下， ∴当x＜﹣2或x时，y＜0． 8．（2023秋•合肥期末）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣7 解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 9．（2023秋•濉溪县期末）二次函数yx2+3x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 解：yx2+3x（x2+6x+9﹣9+5）（x+3）2+2． 故选：A． 考点04：二次函数图象与系数的关系 10．（2022秋•怀宁县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点Q（b，ac）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0． ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号， 即b＞0， ∴点Q（b，ac）在第四象限． 故选：D． 11．（2023秋•长丰县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：由所给函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以． 因为b＜0，， 所以点（b，）在第三象限． 故选：C． 12．（2023秋•望江县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0． 其中正确的有　②③　． 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴当x＝1时的函数值是最大值， ∴a+b+c＞ax+bx+c（x≠1）， ∴a+b＞ax2+bx，所以③正确； ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以④错误． 故答案为②③． 考点05：二次函数图象上点的坐标特征 13．（2023秋•金安区校级期末）点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 解：∵y＝﹣x2+2x+c， ∴抛物线对称轴为直线x1，抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x增大而减小， ∴y1＞y2＞y3， 故选：C． 14．（2024春•金安区校级期末）点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1， ∵﹣2＜0＜1， ∴y3＜y2＜y1， 故选：B． 15．（2023秋•潜山市期末）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为 　﹣5　． 解：当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2﹣3＝﹣5， 即与y轴交点的纵坐标为﹣5． 故答案为：﹣5． 考点06：二次函数图象与几何变换 16．（2023秋•怀宁县期末）平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2+2 解：∵平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴平移后二次函数的顶点坐标为（﹣3，2） ∴平移后二次函数的解析式为y＝（x+3）2+2． 故选：C． 17．（2023秋•和县期末）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4 解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4． 故选：A． 18．（2023秋•怀宁县期末）已知关于直线x＝1对称的抛物线y＝x2+bx+c经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，且点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 　B　（填A或B），若此时y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　． 解：根据题意，x＝1是抛物线y＝x2+bx+c对称轴，且点A（2n+3，y1），点B（n﹣1，y2）两点在抛物线上， ∵此时y1＜y2，抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大， 2n+3﹣1＞1﹣（n﹣1）， ∴位于对称轴左侧的点是B； ∵抛物线y＝x2+bx+c中a＝1＞0，抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大， ∴1﹣（n﹣1）＞2n+3﹣1，2n+3＞1， 解得﹣1＜n＜0， 故答案为：B；﹣1＜n＜0． 考点07：二次函数的最值 19．（2023秋•淮北期末）如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上第一象限内一动点，A（0，3），B（3，0），过点P分别作x轴、y轴的平行线，分别交直线AB于F，H两点，过点P作AB的垂线，垂足为G．下列说法中正确的是（　　） A．GH的最大值为 B．FG的最大值为 C．PF的最大值为2 D．△PFG周长的最大值为 解：设直线AB解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得：， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3； 设P（m，﹣m2+2m+3），则点H的坐标为（m，﹣m+3）， ∴PH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 配方得，PH＝﹣（m）2， 当m时，PH有最大值； ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°； ∵PH∥y轴，PF∥x轴， ∴∠PHF＝∠BAO＝45°，∠PFH＝∠ABO＝45°， ∴∠PHF＝∠PFH＝45°， ∴PH＝PF，∠FPH＝90°， ∴PF的最大值为，故选项C错误； ∴由勾股定理得FHPH； ∵PG⊥FH， ∴GH＝FG＝PG，由勾股定理得GHPH， 即GH＝FGPH， ∴GH，FG的最大值均为， 故选项A、B错误； ∵△PFG周长为PF+PG+FG＝PH+FG＝（1）PH， 当PH最大时，△PFG周长也最大，且最大值为（1）． 故选项D正确； 故选：D． 20．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上， ∴t2＝﹣2s2+6s， ∵t2≥0， ∴﹣2s2+6s≥0， ∴0≤s≤3， ∴w＝t2+s2+2s ＝﹣2s2+6s+s2+2s ＝﹣s2+8s ＝﹣（s﹣4）2+16， ∴s＝3时，w有最大值， ∴w的最大值为15． 故选：A． 21．（2022秋•池州期末）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝　3　． 解：∵二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点， ∴m+1＞0且m2﹣9＝0， ∴m＝3． 故答案为3． 考点08：待定系数法求二次函数解析式 22．（2023秋•蚌埠期末）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3）， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得： a，所以抛物线的解析式为：； （2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1． 23．（2023秋•凤阳县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），求抛物线的解析式． 解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2﹣bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． 24．（2024春•金安区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； （2）连接OB，AB，求S△OAB； （3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标． 解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2x+c得c＝0， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x， ∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴顶点B的坐标为（1，1）； （2）当y＝0时，﹣x2+2x＝0， 解x1＝0，x2＝2， ∴A（2，0）， ∴S△OAB2×1＝1； （3）设C点坐标为（t，﹣t2+2t）， ∵S△OAC＝8， ∴2×|﹣t2+2t|＝8， 即t2﹣2t＝8或t2﹣2t＝﹣8， 解方程t2﹣2t＝8得t1＝﹣2，t2＝4， ∴C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）， 方程t2﹣2t＝﹣8无实数解， 综上所述，C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）． 考点09：二次函数综合题 25．（2023秋•包河区期末）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线yx2+bx+c经过B点，且顶点在直线x上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标． 解：（1）∵yx2+bx+c的顶点在直线x上， ∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y（x）2+m， ∵点B（0，4）在此抛物线上， ∴4（0）2+m， ∴m， ∴所求函数关系式为：y（x）2x2x+4； （2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， ∴AB5． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， ∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，0））、（0，4）， ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）； 当x＝5时，y525+4＝4， 当x＝2时，y222+4＝0， ∴点C和点D在所求抛物线上； （3）设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+n， 则， 解得：； ∴yx． ∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t，且2＜t＜5； 则yMt2t+4，yNt， ∴s＝yN﹣yM＝（t）﹣（t2t+4） （t）2， ∵0， ∴当t时，s最大，此时yM（）24． 此时点M的坐标为（，）． 26．（2023秋•金安区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，3）代入解析式得：， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3， ∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴S△CPBPD•OB（﹣t2+3t）×3（t2﹣3t）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△CPB有最大值，最大值为， ∴△CPB面积的最大值为； （3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时， ∵PM⊥x轴，QF⊥x轴， ∴PD∥EQ， ∵四边形PDEQ为平行四边形， ∴PD＝QE， ∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3， ∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1）， ∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2， ∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2， 解得t； ②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时， 同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2， ∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2， 解得t1，t2， ∵0＜t＜3， ∴t． 综上所述，t或． 27．（2023秋•宿松县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； （3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将（0，3）代入上式得：3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，如图1， ∵点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∠BOC＝90°， ∴OA＝1，OB＝OC＝3， ∵O、E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形， ∴E（3，3）， 连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|， 此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长， ∴AE5， ∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝1，DA+DO的最小值为5， ∴△AOD的周长的最小值为5+1＝6； （3）连接PC，如图2， 由PD∥AC得：S△APD＝S△CPD， ∴S＝S△PAD+S△PBD＝S△PCD+S△PBD＝S△PBC， 过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M， 则S＝S△PBC＝S△PMC+S△PMBOB•PMPM， 设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3）， ∴S[（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）] （﹣m2+3m） （m）2， ∵0， ∴当m时，S有最大值，最大值为， 此时P点为（，）． 考点10：抛物线与x轴的交点 28．（2023秋•凤阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已的点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式，及点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）当n≤x≤n+1时．最大值为，直接写出n的值． 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a①． ∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0）， ∴a﹣b+3＝0②，联立①②，得 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴点B的坐标为（3，0）． （2）当x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）． ∵点A，B关于直线x＝1对称， ∴PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将C（0，3），B（3，0）代入， 得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， ∴P（1，2）． （3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1且开口向下， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小． ∵n≤x≤n+1时，最大值为， 令时，则，即4x2﹣8x+3＝0， 解得或， ∴或时， ∴或， 在n≤x≤n+1时，最大值为， ∴或． 29．（2023秋•怀宁县期末）规定：对于二次函数y＝ax2+bx+c，我们把它的图象与x轴交点的横坐标称为二次函数y＝ax2+bx+c的零点．已知二次函数y＝（k﹣8）x2﹣6x+k只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（　　） A． B． C．3 D．或3 解：∵二次函数y＝（k﹣8）x2﹣6x+k只有一个零点， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k（k﹣8）＝﹣4k2+32k+36＝0， 解得k＝9或k＝﹣1， ∵二次函数y＝（k﹣8）x2﹣6x+k开口向下， ∴k﹣8＜0， 解得k＜8， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣9x2﹣6x﹣1， 令y＝0，则﹣9x2﹣6x﹣1＝0， 解得x1＝x2， ∴该零点是， 故选：A． 30．（2022秋•蒙城县期末）如图，抛物线yx2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（　　） A． B．﹣2 C． D．﹣3 解：S△DEBDB•|yE|，S△ADCAD•|yC|， ∵D为AB中点， ∴AD＝DB， 又∵△DEB与△ACD的面积比为9：10， ∴， 又∵E为BM的中点， ∴|yE||yM|， 将x＝0代入解析式得，yC＝c， ∴|yE|＝|c|， ∴|yM|＝|c|， ∵yM＜0，c＜0， ∴yMc， ∵M是抛物线的顶点， ∴xM2， 把x＝2代入解析式得：yM2×2﹣2×2+c＝c﹣2c， 解得c． 故选：C． 考点11：根据实际问题列二次函数关系式 31．（2023秋•定远县期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝x2 B．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 D．y＝25﹣2x 解：根据题意得：y＝52﹣x2， ∴y关于x的函数解析式是y＝25﹣x2． 故选：B． 32．（2023秋•霍邱县期末）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.6（1+2x） B．y＝2.6（1﹣x）2 C．y＝2.6（1+x）2 D．y＝2.6+2.6（1+x）+2.6（1+x）2 解：根据题意得：y＝2.6（1+x）2． 故选：C． 33．（2022秋•定远县期末）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元， ∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件， ∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）． 故选：A． 考点12：二次函数的应用 34．（2023秋•蒙城县期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（　　） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 解：设利润为w 元， 由题意可得，w＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣x2+50x﹣600＝﹣（x﹣25）2+25， ∵﹣1＜0，20≤x≤30， ∴当x＝25时w最大， 故选：B． 35．（2023秋•宿松县期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5， ∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米， 根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米）， ∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）． 故选：C． 36．（2023秋•肥西县期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为　5　s 解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51， ∴当t＝5时，礼炮升到最高点． 故答案为：5． 考点01：根据二次函数的定义求参数 1．（22-23九年级上·全国·期末）若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为(      ) A．-1或3 B．-1 C．3 D．-3或1 【答案】C 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 2．（21-22九年级上·广西贺州·期末）当 时，函数是二次函数． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义计算即可． 【详解】∵函数是二次函数， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键． 考点02：二次函数图象与各项系数符号 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象经过的象限等知识．熟练掌握二次函数的图象，一次函数的图象经过的象限是解题的关键． 由图象可知，，则，，然后进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，， ∴， ∵，， ∴的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：B． 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口方向、与轴交点以及对称轴可判断①结论；根据当时，，可判断②结论；根据当时，，可判断③结论；根据当时，二次函数有最小值，可判断④结论． 【详解】解：抛物线开口向上，与轴交点在负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，①结论错误； 由图象可知，当时，， ，②结论正确； 由图象可知，当时，， ， ，③结论正确； 由图象可知，当时，二次函数有最小值， ， ，④结论正确， 故答案为：②③④． 考点03：已知抛物线上对称的两点求对称轴 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【答案】 /0.5 【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可； （2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： （2）二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽六安·期末）某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 在该函数图象上有和两点，且，，则与可以取的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，由此确定答案． 【详解】解：∵和时，； ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 由表格知当或时，；当时，， ∴或，， 故C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键． 考点04：根据二次函数的对称性求函数值 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数y=-x2+2x+2，点A(x1，y1)．B(x2，y2)(x1< x2)是其图象上两点，则下列结论正确的是（     ） A．若x1+x2>2，则y1< y2 B．若x1+x2< 2，则y1< y2 C．若x1+x2>-2则y1>y2 D．若x1+x2<-2，则y1>y2 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的开口方向向下，对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，利用图象法即可判断. 【详解】如图所示： 抛物线的开口向下，对称轴x = A，当x1 +x2 >2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离近∴y1>y2，A错误， B，当x1+x2< 2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，∴y1< y2，B正确， C，当x1+x2>-2时，上式两种情况皆有可能，故y1， y2的大小关系不确定，C错误， D，当x1+x2<-2时，上式两种情况皆有可能（同上），故y1， y2的大小关系不确定，D错误， 故答案选：B 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是抓住函数值与抛物线上点与对称轴距离远近的关系，数形结合，灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 8．（21-22九年级上·北京通州·期末）已知一个二次函数的表达式为． (1)当时，若，两点在该二次函数图象上，求m的值； (2)已知点，，二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】（1）当时，确定函数解析式，然后求出对称轴，由，两点纵坐标相同，则两个点关于对称轴对称，由此求解即可得； （2）根据函数解析式可得二次函数一定经过点，分三种情况讨论：①当抛物线对称轴的右半部分经过点；②当抛物线对称轴的左半部分经过点；③当抛物线只与轴有一个交点时，分别结合函数图象进行分析求解即可得． 【详解】（1）解：当时，二次函数表达式为， 对称轴为直线， ，两点在该二次函数图象上，且关于抛物线的对称轴对称， ， 解得． （2）解：二次函数一定经过点， 则分以下三种情况： ①如图，当抛物线的对称轴的右半部分经过点时， 则当时，， 解得； ②如图，当抛物线的对称轴的左半部分经过点时， 则当时，， 解得； ③如图，当抛物线只与轴有一个交点时， 则； 综上，的取值范围是或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确分三种情况讨论，并熟练掌握函数图象法是解题关键． 考点05：已知二次函数的函数值求自变量的值 9．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由； (3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3)y1＜y2，见解析 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式； （2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上； （3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小． 【详解】（1）设抛物线的解析式为 把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3 ∴ 即抛物线的解析式为； （2）动点P（x，5）不在抛物线上 理由如下： 在中，当y=5时，得 即 此方程无解 故点P不在抛物线上； （3）y1＜y2 理由如下： 抛物线的对称轴为直线x=2 ∵二次项系数−1<0，且 ∴函数值随自变量的增大而增大 即y1＜y2 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目． 10．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹．其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线． ①抛物线()的焦点为，例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是___________； ②将抛物线()向右平移个单位、再向上平移个单位(，)，可得抛物线；因此抛物线的焦点是．例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是_____________________．根据以上材料解决下列问题： （1）完成题中的填空； （2）已知二次函数的解析式为； ①求其图象的焦点的坐标； ②求过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）①；②和 【分析】（1）直接根据新定义即可求出抛物线的焦点； （2）①先将二次函数解析式配成顶点式，再根据新定义即可求出抛物线的焦点； ②依题意可得点且与轴平行的直线，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，将点F的纵坐标代入解析式即可求得x的值，从而得出交点坐标． 【详解】（1）①根据新定义，可得， 所以抛物线的焦点是； ②根据新定义，可得h=−1，， 所以抛物线的焦点是； （2）①将化为顶点式得： 根据新定义，可得h=−1，， 所以可得抛物线的焦点坐标； ②由①知，所以过点且与轴平行的直线是， 将代入得： ， 解得：或， 所以，过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标为和． 【点睛】本题考查了新定义、二次函数的顶点式、求解直线与抛物线的交点坐标，解决这题的关键是理解新定义求抛物线的焦点． 考点06：根据交点确定不等式的解集 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 【答案】 B / 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧， 若点A位于对称轴左侧， 则， 解得，不等式组无解，不符合题意； 若点B位于对称轴左侧， 则， 解得， 不等式组的解为； 此时， ， 解得：， ， 综上，时，则的取值范围是， 故答案为：B，． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：二次函数的图象与轴交于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 【分析】（1）根二次函数的图象与轴交于点，可得函数解析式； （2）画出二次函数图象，根据函数图象写出答案即可； 此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，． ∴； （2）如图，二次函数的图象， 根据图象可知，时，的取值范围为或． 考点07：求x轴与抛物线的截线长 13．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 14．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的二次函数． （1）试判断该函数的图象与轴的交点的个数； （2）当时，求该函数图象与轴的两个交点之间的距离． 【答案】（1）2个;（2） 【分析】(1)运用根的判别式进行判断即可； （2）将k=3代入解析式得到一元二次方程，然后解方程得到两根，再用大根减小根即可. 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点； （2）当时，二次函数为，令y=0， 则， 解得，， ∴与轴交点为，， ∴两交点间的距离为：. 【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键. 考点08：图形问题（实际问题与二次函数） 15．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 16．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 【答案】(1)李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． (2)当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识点，解题的关键是要理解题意、能正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据等量关系“李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元”列方程求解即可； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出函数解析式，最后根据x的取值范围求最值即可． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：，解得， ， (不合题意，舍去)答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米， 根据题意可得： 养鸡场面积=， ∵， ∴当时，养鸡场面积最大值为1250． 答：当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 考点09：图形运动问题（实际问题与二次函数） 17．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．     B．     B． C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点在上时，点在上时，点在上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案． 【详解】解：设点的运动时间为，的面积为， ①当时，点在上时， 过点作，     ， ∵根据题知：，， ∴，， ∴； ②当时，点在上时， 过点作，   ， ∵根据题知：，， ∴， ∴； ③当时，点在上时， 过点作交延长线于，   ， ∵根据题知：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴结合三种情况，图像如下所示：   ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形面积公式，用含的式子表示，一次函数，二次函数的图象，含直角三角形三边关系，根据题意求出函数解析式是关键． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 考点10：拱桥问题（实际问题与二次函数） 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 20．（22-23九年级上·安徽池州·期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米． (1)求这条抛物线的表达式． (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？ 【答案】(1) (2)该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式，求出y的值，由竖直方向上的高度差至少为0.5米可得答案． 【详解】（1）设抛物线的表达式为， 由图可知，抛物线经过点，将其代入，得 ， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）当时， ， 米． 答：该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求得抛物线解析式是解题的关键． 考点11：销售问题（实际问题与二次函数） 21．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】（）根据利润（售价进价）销售量列出函数式即可； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据每天销售量不少于件可得，又由题意可得，可得当时，的值随的增大而增大，由二次函数的性质得到，据此即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，当时，的值随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，， 答：该商场销售这种商品每天获得的最大利润为元； （3）解：∵种商品每天销售量不少于件， ∴， ∴， 又由题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，的值随的增大而增大， ∵返现后发现，该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）年月日，甘肃发生级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足以下表格中的一次函数关系： （元） … … （件） … 6 … (1)求关于的函数解析式； (2)求商场卖这种商品每天的销售利润与每件的售价间的函数关系式； (3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】(1) (2) (3)每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）依题意得，； （3）由题意知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：依题意得，， ∴； （3）解：由题意知，， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元． 考点12：投球问题（实际问题与二次函数） 23．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 24．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 【答案】(1)； (2)能过网，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）求出函数的对称由为，将其代入函数中即可求解； （2）求出时的函数值，与比较即可． 【详解】（1）解：函数的对称轴为：， ∴把代入得：． （2）解：由题意可知，当时，， ∵， ∴能过网． 考点13：喷水问题（实际问题与二次函数） 25．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米 【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式； （2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可． 【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4， 将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4， 解得：a＝﹣1， ∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4； （2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4， ∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4， 解得：x1＝1，x2＝5， ∵起跳点A坐标为（2，3）， ∴x1＝1，不符合题意， ∴x＝5， ∴运动员落水点与点C的距离为5米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 考点14：面积问题（二次函数综合） 27．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． （1）将，代入，即可求解； （2）设，则，，且，分情况：①当点P位于直线的右侧时，则；②当点P位于直线的左侧及其上时，则，分别化简求得对应的二次函数最值，综合求得最大值即可； （3）由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：的面积存在最大值；理由如下： 设，则， ， 令，则，解得， ， ①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， 当时，有最大值，此时； ②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， ∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上， ∴， 当时，有最大值，此时； 综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： 如图2， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 设， ∵在右侧， 则， 点在直线上， ， 解得：或， 或； 综上，的坐标为或． 28．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式： （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 考点15：角度问题（二次函数综合） 29．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为 ． 【答案】 【分析】先求出点，，证明是等腰直角三角形，则，由得到，设直线与y轴交点为点D ,可证是等腰直角三角形，，得到D的坐标是，用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式与二次函数联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值． 【详解】解：当时，，解得， 由题意可知，， 当时，， ∴， 如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为点D , ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得或, 即点P的坐标是， ∴点P的横坐标的值为． 故答案为： 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式、函数图象的交点问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 30．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案； （2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解； （3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵为等边三角形，轴，， ∴，， 在中， ∴ 把代入，得， ∴． （3）如图，由（2）知为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点． ∵在轴上， ∴点即为圆与轴的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称性可知，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键． 考点16：特殊三角形问题（二次函数综合） 31．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是． 32．（22-23九年级上·山东东营·期末）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件求出点两点的坐标， 再利用待定系数法求出平抛物线的解析式； （2）根据题意列出的关系式，再根据关系式得出得到线段的最大值； （3）根据直角三角形的性质分两种情况讨论，再根据直角三角形的性质即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴的两个交点，， ∴，， ∵抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，， ∴根据题意可得方程： ∴， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：∵点经过抛物线 ∴设点， ∵是线段上的动点， ∴， ∴ ∴的最大值为． （3）解：①当时，如图所示 ∵时， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ②当时，则， ∴， ∴， ∵， 即， 解得： ∵， ∴， 综上所述点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 考点17：特殊四边形（二次函数综合） 33．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 34．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 【答案】(1) (2)N的坐标为，有最大值 (3)或或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握用待定系数法求函数解析式以及数形结合思想是解题的关键． （1）由求得，然后分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）先求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，再运用二次函数的性质求最值即可； （3）先求出点B的坐标，然后分为边、为对角线两种情况，分别画出图形，再根据平行四边形的性质以及坐标与图形进行分析计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线，可得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值． （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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