14.2 勾股定理的应用——最短路径 课件-2024-—2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版·八年级上册 勾股定理的应用 --最短路径问题 1 情境导入 情境导入 A 4米 3米 B C （从前有一只叫小黑的蚂蚁，妈妈不在家，出门前妈妈给小黑准备了好吃的食物，放在了不同的地方，小黑能找到这些食物吗？） 情景探究一 2.AC两点间的距离为 米。 B A 3米 4米 C 1.食物放在厨房的C处，小黑从房间的A处到厨房的C处，怎样爬行最近？这样爬行的依据是什么？ 两点之间，线段最短 5 勾股定理 A B C A C B 探究二 下图是正方体的边长为1，求蚂蚁从A到C的最短路径 A B C A C B D D D D 【规律】立体图形的最短路径问题，常将其转化为平面图形，利用“两点之间，线段最短”和勾股定理解决问题 探究三 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为30cm,20cm,10cm,只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点C，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?(结果保留根号) A E B D C M N F 20 30 10 因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线． A E B D C M N F A E B D C M N F A E B D C M N F A B C D F E A B C D N E A B M F C E A B C D F E A B C D N E A B M F C E 如图③，展开前面、右面，由勾股定理得AB= = 如图②，展开左面、上面，由勾股定理得AB= = 如图①，展开前面、上面，由勾股定理得AB= = ① ② ③ 探究四 如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (结果保留根号) 如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (结果保留根号) C A B D 周长为20cm 4cm A B 侧面展开图 C （A） D 4 10 解：如图，连接AC，AC为所求的最短路线，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得， 答：蚂蚁爬行的最短路程为 cm。 如图，有一个圆柱的礼品盒，底面周长为3dm，高是4dm.现用一根彩带从圆柱礼品盒的底部A点开始，绕圆柱礼品盒侧面一圈到顶部B点处，AB为圆柱的高。则怎样绕行，使所用的彩带材料最节省？ 例1 A B M D C A (B) B (A) (M) C D (M) 变式1：如图，有一个圆柱的礼品盒，底面周长为3dm，高是4dm.现用一根彩带从圆柱礼品盒的底部A点开始，绕圆柱礼品盒侧面两圈到顶部B点处，AB为圆柱的高。 请你当小小设计师，怎样绕行使所用的彩带材料最节省？ A B M D C N 1.如图，有一个圆柱的礼品盒，底面周长为3dm，高是4dm.现用一根彩带从圆柱礼品盒的底部A点开始，绕圆柱礼品盒侧面两圈到顶部B点处，AB为圆柱的高。 请你当小小设计师，怎样绕行使所用的彩带材料最节省？ A B M D C N A （B） B (A) (M) M 2 3 聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上.如左图所示。 葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的.若将树干的侧面展开成一个平面，如右图所示，可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的. 例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？ 分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相交于点H. 解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得 CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5. 可见高度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门. 试 一 试 有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离． 根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若设AB=x米，则AC=(16-x)米，然后根据勾股定理列出方程求解． 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°. 设AB=x米，则AC=(16-x)米. 根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2， 解得x=6，即AB=6米. 答：电线杆断裂处A到地面的距离为6米. 做 一 做 如图所示，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形. 点击打开几何画板 随堂练习 1.为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆如图，从电线杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离. (精确到0.1米) 解：由勾股定理可知AB= (米). 答：钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9米. 2.轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行.试求A、B两船离开港口O一个半小时后的距离. 解： (海里). 课堂小结 1.要记住勾股定理及逆定理的内容. 2.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决最短路程问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$