专题08：数学广角——数与形（复习讲义）（3大考点）-2024-2025学年人教版六年级数学上册复习讲练测（人教版）

2024-2025学年人教版六年级数学上册复习讲练测 专题08：数学广角——数与形（复习讲义）（3大考点） 【考点一】算式的规律 【考点二】数字排列的规律 【考点三】图形的变化规律 知识点01：数形结合思想的意义 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。 知识点02：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点03：寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 考点1：算式的规律 【例1】与1＋3＋5＋7＋9＋11＋5＋3＋1结果相同的算式是（    ）。 A．6＋3 B． C． D． 【答案】C 【分析】1＋3＝4＝、1＋3＋5＝9＝、1＋3＋5＋7＝16＝……，依次类推，可以总结出规律：从1开始，几个连续奇数的和就是几的平方，据此将1＋3＋5＋7＋9＋11＋5＋3＋1拆成1＋3＋5＋7＋9＋11和5＋3＋1，按照总结出的规律，写成两个数的平方相加的形式即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（5＋3＋1） ＝ 与1＋3＋5＋7＋9＋11＋5＋3＋1结果相同的算式是。 故答案为：C 【例2】观察下列算式：1×5＋4＝，2×6＋4＝，3×7＋4＝，4×8＋4＝，请你在观察之后利用你得到的规律填空：（    ）×（    ）＋（    ）＝。 【答案】48；52；4 【分析】由题意可知，假设乘号前面的数字为n，则乘号后面的数字为（n＋4），加号后面的数字都是4，结果等于（n＋2）的平方，用含有n的式子表示出第n个式子，再求出n的值，最后写出所求算式，据此解答。 【详解】分析可知，第n个式子为n×（n＋4）＋4＝（n＋2）2。 当时，n＋2＝50，n＝50－2＝48。 当n＝48时。 n×（n＋4）＋4 ＝48×（48＋4）＋4 ＝48×52＋4 ＝ 所以，48×52＋4＝。 【例3】根据15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×55＝2025，可推算出85×85＝（    ）。 A．4225 B．5625 C．6425 D．7225 【答案】D 【分析】当个位数字是5的两个相同的两位数相乘时，积的后两位数是25，前两位数是因数中十位的数字和比它大1的数字的乘积，由此解答。 【详解】因为15×15＝225 所以85×85＝7225 故答案为：D 【例4】根据3×4＝12、33×34＝1122、333×334＝111222，推测3333×3334＝（    ）。 A．11111222 B．11122222 C．11112222 【答案】C 【分析】乘法算式中，乘号前面的因数依次是3，33，333，3333…；乘号后面的因数依次是4，34，334，3334…；第1个乘法算式的积是12，第2个乘法算式的积是1122，第3个乘法算式的积是111222…以此类推，第4个乘法算式的积有4个1和4个2，据此解答。 【详解】分析可知，根据3×4＝12、33×34＝1122、333×334＝111222，推测3333×3334＝11112222。 故答案为：C 【例5】“……”照这样一直加下去，这个算式的和是（    ）。 A．1 B．0 C．10 D．100 【答案】A 【分析】先尝试算几步，寻找规律。第一步得到，再算一步得到，再算一步得到……规律就是当所得结果的分母无限增大时，且分子比分母小1，分数值越来越接近1；据此判断即可。 【详解】由分析得： ＝ ＝ ＝ …… …… 照这样一直加下去，这个算式的和是1。 故答案为：A 考点2：数字排列的规律 【例6】、、、…这一列数中的第10个数应该是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数列可知，这些分数的分母是按照偶数进行排列的，分子是按照奇数进行排列的，则第10个数应该是，据此选择即可。 【详解】由分析可知： 、、、…这一列数中的第10个数应该是。 故答案为：B 【例7】，，，（　　），。按规律填数，括号里应填（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，×＝；×＝；×＝；×＝；由此可知，前一个数乘，就是下一个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，，，，（），。按规律填数，括号里应填。 故答案为：C 【例8】向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，（ ），…。 【答案】89 【分析】观察这些数的排列规律：从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，据此解答。 【详解】1＋2＝3 2＋3＝5 3＋5＝8 5＋8＝13 8＋13＝21 13＋21＝34 21＋34＝55 34＋55＝89 因此向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。 【例9】找规律0.7、（    ）、、。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第一个数是0.7，第三个数是＝0.5，第四个数是＝0.4；发现规律：后一个数是前一个数减去0.1得到；据此得出第二个数是0.6，再将0.6化成分数即可。 【详解】0.7－0.1＝0.6 0.6＝ 规律：0.7、、、。 故答案为：C 考点3：图形的变化规律 【例10】如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（    ）根小棒。 A．41 B．51 C．61 【答案】B 【分析】看图，摆1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，摆2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，摆3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。 【详解】10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 所以，第10个图形需要51根小棒。 故答案为：B 【例11】观察下图，照这样的规律，第8个图形有（    ）个圆点。 A．72 B．56 C．42 D．30 【答案】A 【分析】观察图形可知，第一个图形有2个圆点，第二个图形有6个圆点，第三个图形有12个圆点，第四个图形有20个圆点，则第n个图形有n（n＋1）个圆点。 【详解】由分析可知： 第8个图形有：8×（8＋1） ＝8×9 ＝72（个） 则第8个图形有72个圆点。 故选：A 【例12】小丁同学用三角形摆出了如下的图案，根据图形与数的规律接着摆下去，第（6）个图案中所用三角形总数为（    ）个。 A．15 B．21 C．28 【答案】B 【分析】根据图可知，第（1）个图案有1个小三角形；第（2）个图案的小三角形的个数：1＋2＝3个；第（3）个图案的小三角形的个数：1＋2＋3＝6个；第（4）个图案小三角形的个数：1＋2＋3＋4＝10个；由此即可知道第6个图案中三角形的个数：1＋2＋3＋4＋5＋6，算出结果即可。 【详解】由分析可知： 1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝（1＋6）×6÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 故答案为：B。 【例13】观察图形找规律，按规律填空。 当□的个数是6个时，○有（ ）个；当○的个数是91个时，□有（ ）个。 【答案】19；30 【分析】当□的个数是1个时，○有4＋0×3＝4个；当□的个数是2个时，○有4＋1×3＝7个；当□的个数是3个时，○有4＋2×3＝10个；当□的个数是4个时，○有4＋3×3＝13个；当□的个数是n个时，○有4＋（n－1）×3个；据此解答。 【详解】由分析得， 当□的个数是6个时，○有 4＋（6－1）×3 ＝4＋15 ＝19（个） 当○的个数是91个时，□有 （91－4）÷3＋1 ＝87÷3＋1 ＝30 【例14】观察点阵中的规律，第17个方框中内有（ ）个点。 【答案】65 【分析】根据图得出，第一个图形有1个点，第二个图形有1＋4×1个点，第三个图形有1＋4×2个点，第四个图形有1＋4×3个点，则第n个图中共有1＋4（n－1）个点，第17个方框中内有1＋4×（17－1）个点，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，题中图形的规律是1＋4（n－1），则第17个方框中内有： 1＋4×（17－1） ＝1＋64 ＝65（个） 【例15】用白色和灰色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有（ ）个圆形；当一个图形中有n个灰色圆形时，白色的圆形有（ ）个。 【答案】25；n×（n－1） 【分析】根据图可知，第几个图形，则每行和每列就有几个圆形；即第一个图形有1个圆形，1×1＝1；第2个图形有4个圆形，即2×2；第3个图形有9个圆形，即3×3；由此即可知道第n个图形圆形的个数：n×n，把n＝5代入，即第5个图形有5×5＝25个圆形； 由于第几个图形，则灰色圆形就有几个，即第n个图形，总共圆形的个数：n×n，灰色圆形有n个，则白色圆形有：n×n－n＝n×（n－1），由此即可填空。 【详解】由分析可知： 第5个图形中圆形的个数：5×5＝25（个） 第n个图形中，白色的圆形数量：n×n－n＝n×（n－1） 1、算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（    ）。 A． B．＋ C．＋ 【答案】C 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＝42，5＋3＋1＝32，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝＋ ＝16＋9 ＝25 算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于＋。 故答案为：C 2、1，，，…这一列数中，第6个数应该是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】观察可知，这列数字的分子均为1，第几个数用n表示，第n个分数的分母是前一个分数的分母的（2n－2）倍，据此分析。 【详解】48×（2×5－2） ＝48×（10－2） ＝48×8 ＝384 384×（2×6－2） ＝384×（12－2） ＝384×10 ＝3840 第6个数应该是。 故答案为：C 3、我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形（见图），根据它的规律，第六行数字应该是（ ）。 【答案】1－5－10－10－5－1 【分析】观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，由此求出第六行数字。 【详解】如图： 第六行数字应该是1－5－10－10－5－1。 4、有一组图，它的排列规律如下，第5个图形由（ ）个□组成。 【答案】15 【分析】第一个有1个小正方形，第二个有1＋2个，第三个有1＋2＋3个，第四个有1＋2＋3＋4，第五个有1＋2＋3＋4＋5，利用这个规律即可求解。 【详解】因为第一个有1个小正方形，第二个有1＋2个，第三个有1＋2＋3个，第四个有1＋2＋3＋4，则第5个图形有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。 5、如下图那样，把边长1cm的正方形拼成一层、两层、三层……，第四个图形的周长是（ ）cm；第n个图形的周长是（ ）cm。 【答案】16；4n 【分析】第一个图形的周长为4厘米，第二个图形的周长为8厘米，第三个图形的周长为12厘米，第四个图形的周长为16厘米，据此可知，每增加一个图形周长就增加4厘米，第n个图形的周长为4＋4（n－1）＝4n厘米，据此解答即可。 【详解】第四个图形的周长为16厘米； 第n个图形的周长为4n厘米。 6、如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8厘米，这段链条共有50节。则这段链条总长度为（ ）厘米。 【答案】85.8 【分析】一节链条是2.5厘米，以后每增加一节链条增加2.5－0.8＝1.7厘米，n节链条的总长度是2.5＋1.7（n－1）＝1.7n＋0.8，据此解答。 【详解】由分析可知，如果这段链条共有50节。则这段链条总长度为1.7×50＋0.8＝85＋0.8＝85.8（厘米） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$