专题05 统计与概率（6大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题05 统计与概率 数据的数字特征 1（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．3，7 B．5，13 C．2，12 D．5，12 2（23-24高一上·河南南阳·期末）因学校政治老师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中包含“政治”这一科目的学生人数便于安排教学.从高一年级中随机抽取了五个班，把每个班选科中包含“政治”的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据各不相同，则样本数据中的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3（多选）（23-24高一上·江西九江·期末）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 4（多选）（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知样本甲：与样本乙：满足关系，则下列结论错误的是（    ） A．样本乙的极差等于样本甲的极差 B．若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数 C．样本乙的众数小于样本甲的众数 D．若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数 5（23-24高一上·江西萍乡·期末）在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为 ． 6（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 7（23-24高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 用样本估计总体 1（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225 2（多选）（22-23高一上·河南安阳·期末）某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（    ） A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B．如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C．样本的中位数为520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 3（23-24高一上·江西上饶·期末）某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位） 事件之间的关系与运算 1（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 2（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 古典概型 1（23-24高一上·山东威海·期末）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·江西上饶·期末）若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·河南焦作·期末），，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（   ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 6（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 随机事件的独立性 1（23-24高一上·江西南昌·期末）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 2（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 3（多选）（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 4（多选）（23-24高一上·河南焦作·期末）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（   ） A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C．“摸出的球颜色相同”的概率为 D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 5（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 6（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 统计与概率的应用 1（23-24高一上·江西南昌·期末）某新鲜蛋糕供应商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本为8元，售价为20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半卖半送，每斤损失4元，根据历史资料，得到该小蛋糕的每日需求量的频率分布直方图，如图所示． (1)求出a的值，并根据频率分布直方图估计该小蛋糕的每日平均需求量的平均数； (2)若蛋糕供应商每天准备100斤这种小蛋糕，根据频率分布直方图，估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率． 2（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 3（23-24高一上·江西萍乡·期末）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4． (1)求第七组的频率； (2)估计该校800名男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求． 有关数据数字特征的逻辑推理 1（23-24高一上·北京·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，方差为3.1； B．中位数为3，方差为1.6； C．中位数为3，众数为2； D．平均数为3，中位数为2. 2（23-24高一上·江西抚州·期末）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 3（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．众数为1且中位数为4 B．平均数为3且极差小于或等于2 C．标准差为且平均数为2 D．平均数为2且中位数为3 创新开放性题型 1（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 2（23-24高一上·山东潍坊·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率； (3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由， 3（23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计与概率 数据的数字特征 1（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．3，7 B．5，13 C．2，12 D．5，12 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为， 方差是. 故选：D. 2（23-24高一上·河南南阳·期末）因学校政治老师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中包含“政治”这一科目的学生人数便于安排教学.从高一年级中随机抽取了五个班，把每个班选科中包含“政治”的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据各不相同，则样本数据中的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】分析题意，利用均值和方差的定义列方程求解即可. 【详解】设五个班级参加的人数分别为，由题意得，,分析得必定为，故，解得，或，，解得或，显然人数从低到高为，故最大值为. 故选：C 3（多选）（23-24高一上·江西九江·期末）给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．标准差为 C．众数为2和3 D．80%分位数为4.5 【答案】ACD 【分析】根据数据的数字特征逐项判断即可. 【详解】对于A,极差为5-1=4,故A正确； 对于B,平均数为， 标准差为，故B错误； 对于C，众数为2和3，故C正确； 对于D，10×80%=8, 将这组数据从小到大排列后第8个数和第9个数为4，5， 故80%分位数为，故D正确， 故选：ACD. 4（多选）（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知样本甲：与样本乙：满足关系，则下列结论错误的是（    ） A．样本乙的极差等于样本甲的极差 B．若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数 C．样本乙的众数小于样本甲的众数 D．若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数 【答案】ACD 【分析】利用极差、众数、中位数、平均数的定义和性质即可求解． 【详解】由样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，满足，知： 样本乙的极差不等于样本甲的极差，例如样本甲：0，1，2与样本乙：，故A中结论不正确； 不妨令， 因为在上单调递减，则， 所以若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数，故B中结论正确； 因为在上单调递减，则样本乙的众数等于样本甲的众数，故C中结论不正确； 若某个为样本甲的平均数，则不一定是样本乙的平均数， 例如样本甲：0，1，2与样本乙：，故D中结论不正确． 故选：ABD． 5（23-24高一上·江西萍乡·期末）在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为 ． 【答案】40 【分析】利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将得分从小到大排列有 又，所以这组数据的第60百分位数为第6个数，即40. 故答案为：40 6（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由中位数、极差、方差的定义性质结合平均数公式逐一判断即可. 【详解】由题意不妨设， 对于，，，的中位数和，，…，的中位数均为，故①正确； 取，此时，，，的平均数为1，它小于，，…，的平均数，故②错误； 对于③，，，，相比，，…，去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确； ，，，的极差与，，…，的极差满足，故④正确. 故答案为：①③④. 7（23-24高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数． 【答案】大于 【分析】先求出污染数据的值，再结合百分位数的定义，即可求解. 【详解】5天数据的平均数为，前4天的数据的平均数为且， 则被污染的数据为， 不妨设5天的数据关系为，其中， 则5天数据的第60百分位数为， 污染后的数据关系为， 则4天数据的第60百分位数为， 显然. 故答案为：大于 用样本估计总体 1（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225 【答案】AD 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可. 【详解】由，可得，故A正确； 前三个矩形的面积和为， 所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误； 由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：AD 2（多选）（22-23高一上·河南安阳·期末）某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（    ） A．样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B．如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C．样本的中位数为520 D．若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【答案】BD 【分析】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【详解】  由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误； 样本数据低于600的频率为，B正确； 对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确． 故选：BD 3（23-24高一上·江西上饶·期末）某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图； (2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位） 【答案】(1)，频率直方图见解析 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得频率，补全频率分布直方图，可得答案； （2）先根据平均数的计算公式求平均数，然后利用中位数的定义列方程求解即可. 【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第八组的频率为：， 则第八组对应矩形的高为，补全频率分布直方图如图所示： （2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； 因为，， 所以中位数在内， 设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分. 事件之间的关系与运算 1（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 故选：B 2（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴ ． 故选：C 3（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 4（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 古典概型 1（23-24高一上·山东威海·期末）甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式即可得解. 【详解】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名， 共有这6种情况， 选出的名教师来自不同学校共有这4种情况， 所以所求概率为. 故选：C. 2（23-24高一上·江西上饶·期末）若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能， 其中满足的数对有，共5种可能， 所以点在直线上的概率是. 故选：C. 3（23-24高一上·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题判断出严格增或严格减，然后根据定义域和值域得出答案. 【详解】，即且或且，即严格增或严格减； 因为定义域及值域均为，所以有3种情况，有2种情况，有1种情况，共有种情况， 其中严格增的有1种，即，严格减的有1种， 所以答案为， 故选：B. 4（23-24高一上·河南焦作·期末），，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接正六边形的性质，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】任意连接6个点中的2个可得到15条线段， 其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或， 所以所得线段长度小于2的概率为. 故选：A 5（多选）（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案. 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 故选：AB 6（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2．下面说法正确的是 ． （1）  （2） （3） 【答案】（3） 【分析】根据对应事件求概率，即可比较. 【详解】掷一枚骰子共6种情况，偶数点有2，4，6，大于2的点有3，4，5，6， 则，，，故（1）错误； 表示既为偶数又是小于等于2的点，只有2，所以， 表示既为奇数又是大于2的点，有3，5，所以，，故(2)错误； 表示既为偶数又是大于2的点，有4，6，所以， 表示既是奇数又是小于等于2的点，有1，所以，，故（3）正确. 故答案为：（3） 随机事件的独立性 1（23-24高一上·江西南昌·期末）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件 B．若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立 C．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A的真假；根据独立事件的判定方法判断B的真假；根据相关数据的平均数和方差的关系判断C的真假；根据方差的概念判断D的真假. 【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确； 对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确； 对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误； 对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确. 该题要选出不正确的说法. 故选：C 2（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD. 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为， 故D不正确． 故选：D. 3（多选）（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 【答案】ABC 【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可. 【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，A正确； B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种， ，，，， 所以与不相互独立，B正确； C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情 况，，，，， 所以与相互独立，C正确； D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，D错误. 故选：ABC 4（多选）（23-24高一上·河南焦作·期末）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（   ） A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件 B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件 C．“摸出的球颜色相同”的概率为 D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立 【答案】ABC 【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足. 【详解】2个红球为，3个白球为，则任意摸出2个球有，共10种， “摸到2个红球”有，“摸到2个白球”有，“至少摸到1个红球”有， “摸出的球颜色相同”有，“摸出的球中有白球” 有，“摸出的球颜色不相同”有， A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确； C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确； D：设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知 ，，，显然，故，不相互独立，故D错误. 故选：ABC 5（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式， 所以系统能正常工作的概率为. 故答案为： 6（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解； （2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解. 【详解】（1）设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. （2）设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 统计与概率的应用 1（23-24高一上·江西南昌·期末）某新鲜蛋糕供应商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本为8元，售价为20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半卖半送，每斤损失4元，根据历史资料，得到该小蛋糕的每日需求量的频率分布直方图，如图所示． (1)求出a的值，并根据频率分布直方图估计该小蛋糕的每日平均需求量的平均数； (2)若蛋糕供应商每天准备100斤这种小蛋糕，根据频率分布直方图，估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率． 【答案】(1)， (2)0.55 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数，再求平均数即可. （2）求出对应情况的每日需求量，再求概率即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 该小蛋糕的每日平均需求量的平均数为 ． （2）设每日销售这种小蛋糕x斤，所获利润为y元， 则，当时，， 这种蛋糕每日利润不少于1000元，即每日需求量不少于87.5斤， 所以概率为， 所以估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率为0.55． 2（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 【答案】(1)0.01； (2) 【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可； （2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可. 【详解】（1）由题意， 得：， 设今年该中学高考数学成绩的中位数为， 则，解得. 故该中学今年高考数学成绩的中位数约为. （2）由题意可知分数在的频率为， 同理分数在的频率为， 所以分数在的抽取人数为：，记为， 分数在的抽取人数为：，记为， 从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为： ， 所以基本事件的总数为：. 设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”， 则， 事件包含的基本事件数为：. 由古典概型概率的计算公式得：. 故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为. 3（23-24高一上·江西萍乡·期末）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4． (1)求第七组的频率； (2)估计该校800名男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求． 【答案】(1)0.06 (2)174.5cm (3) 【分析】（1）由频率和（即小矩形的面积和）为，求得结果即可； （2）频率分布直方图中的中位数两侧矩形的面积和（频率）各占； （3）由古典概型的计算公式分别计算基本事件总数和事件E包含的基本事件个数，求解即可. 【详解】（1）第六组的频率为， 则第七组的频率为； （2）由图知，身高在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由，得， 所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm； （3）样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 在第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况， 所以． 有关数据数字特征的逻辑推理 1（23-24高一上·北京·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，方差为3.1； B．中位数为3，方差为1.6； C．中位数为3，众数为2； D．平均数为3，中位数为2. 【答案】A 【分析】利用反证法即可证得选项A判断正确；利用举反例法即可证得选项BCD判断错误. 【详解】对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差， 故平均数为2，方差为3.1，一定没有出现点数6，故A正确. 对于B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时， 满足中位数为3，方差为： ， 此时出现点数为6，故B错误； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时， 满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时， 满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误. 故选：A 2（23-24高一上·江西抚州·期末）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 故选：C. 3（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．众数为1且中位数为4 B．平均数为3且极差小于或等于2 C．标准差为且平均数为2 D．平均数为2且中位数为3 【答案】BCD 【分析】根据题意，举出反例可得A错误，由平均数、极差的性质分析B，由标准差、平均数的公式分析C，由中位数、平均数的定义分析D，综合可得答案． 【详解】根据题意，设7天数据中，最小值为a,最大值为b, 依次分析选项： 对于A，数据1、1、1、4、5、6、7，满足众数为1且中位数为4，但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”，不符合题意； 对于B，若数据的平均数为3，其数据的最小值，又由极差小于或等于2，故数据中的最大值，符合题意； 对于C，标准差为，则其方差为2，假设，则方差的最小值为，与标准差为矛盾，故必有，符合题意； 对于D，假设设，由于其中位数为3，则平均数的最小值为 ，与平均数为2矛盾，故必有，符合题意． 故选：BCD． 创新开放性题型 1（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【答案】(1)人 (2) (3) 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可； （2）利用平均数公式求解即可； （3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可. 【详解】（1）成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； （2）由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； （3）根据频率分布直方图可知： 的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在， 可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得， 故估计入围复赛的成绩为分. 2（23-24高一上·山东潍坊·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率； (3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由， 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据平均数公式，即可求解； （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解； （3）根据频率分布直方图，计算损失费用与的关系式，即可比较后，判断选择的方案. 【详解】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和， 从中任取两件，样本空间可记为 共包含15个样本点， 记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点， 所以． （3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元）， ， 所以当时，； 当时，； 当时，， 综上，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 3（23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)0，2，4 (2) (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知样本容量，且只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$