专题02 不等式（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题02不等式 实数大小的性质 注：比较实数大小的方法：作差比较法 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 不等式的基本性质 加法法则 乘法法则 传递性 同向可加性 区间 集合表示 数轴表示 区间表示 一元二次方程不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或 判别式 方程的实数解的个数 2 1 0 二次函数的图像与轴的交点个数 2 1 0 二次函数的图像 二次函数的图像 方程的实数解 两个不等的实数解 两个相等的实数解 无实数解 一元二次不等式的解集 R R R 含绝对值的不等式 不等式 数轴表示 区间表示 题型一:比较两个实数的大小 例1 比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．以上均错误 变式训练 一、选择题 1 设，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2 如果且，那么，，，的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 3 若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 4 比较与的大小关系为（   ） A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定 5 已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 一、解答题 1 比较：与的大小. 2 设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与 题型二:不等式的性质 例2 下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练 一、选择题 1 已知，，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2 如果，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（    ） A．b<a B．a+c>b+c C． D． 4 若，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5 若，则下列式子中正确是（    ） A． B． C． D． 6 设，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 2 已知实数，则 ， (用>，<填空). 3 若，均为实数，且，则 .（用“”或“”填空） 4 若，则 .（用不等号填空） 5 不等式组的解集用区间表示为 . 三、解答题 1 己知a，b分别满足不等式和. (1)求实数a的取值范围； (2)求实数b的取值范围； (3)求的取值范围. 2 解不等式组 题型三:区间 例3 设集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练 一、选择题 1 ＝（   ） A． B． C． D． 2 集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 3 不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4 知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1 如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是 .    2 已知集合，，则= .（写成区间形式） 三、解答题 1 解不等式组的解集，并用区间表示. 2 已知区间，求． 题型四:一元二次不等式 例4 不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 变式训练 一、选择题 1 一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2 若方程无实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3 关于x的不等式的解集是，则等于（      ） A． B．7 C． D．5 4 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 5 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 1 已知集合，集合，． (1)求的值； (2)求． 2 若一元二次不等式的解集为，求实数范围． 3 若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 题型五:含绝对值的不等式 例5 不等式的解集是（    ） A．R B． C．或 D． 变式训练 一、选择题 1 不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3 不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 4 函数的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（    ）    A． B． C． D． 5 关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6 若不等式的解集为，则实数等于（    ） A．8 B．2 C． D． 三、解答题 1 解下列不等式： (1)； (2). 2 若不等式的解集是，求的值． 3 已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02不等式 实数大小的性质 注：比较实数大小的方法：作差比较法 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 不等式的基本性质 加法法则 乘法法则 传递性 同向可加性 区间 集合表示 数轴表示 区间表示 一元二次方程不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或 判别式 方程的实数解的个数 2 1 0 二次函数的图像与轴的交点个数 2 1 0 二次函数的图像 二次函数的图像 方程的实数解 两个不等的实数解 两个相等的实数解 无实数解 一元二次不等式的解集 R R R 含绝对值的不等式 不等式 数轴表示 区间表示 题型一:比较两个实数的大小 例1 比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．以上均错误 【答案】A 【分析】根据作差法比较大小即可. 【详解】已知两个实数与， 则， 所以. 故选：A. 变式训练 一、选择题 1 设，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果. 【详解】， 因为所以， 故选：A. 2 如果且，那么，，，的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件判断出，且即可比较大小. 【详解】因为且，所以且，所以，， 则，，，的大小关系为， 故选：. 3 若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性定义可判断结果. 【详解】由函数的单调性定义知， 若函数在给定的区间上是增函数，则与同号， 由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：C 4 比较与的大小关系为（   ） A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差比较法即可得解. 【详解】∵， ∴. 故选：B. 5 已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】用作差法即可比较大小. 【详解】， 则有， 故选：A 一、解答题 1 比较：与的大小. 【答案】 【分析】根据作差法判断大小即可. 【详解】因为， 即， 所以. 2 设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法即可比较两代数式的大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. 题型二:不等式的性质 例2 下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据赋值法，结合不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A，B令，则，故AB错误. 对C，由不等式左右两边同时加上一个数，不等号方向不变可得， ，则，故C正确. 对D，令，则，故D错误. 故选：C. 变式训练 一、选择题 1 已知，，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质证明或举出反例即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，由不等式的同向可加性，可知，故A选项正确. 对于B，当时，，符合题意，而，即，故B选项错误. 对于C，当时，，符合题意，而，即，故C选项错误. 对于D，当时，，符合题意，而，即，故D选项错误. 故选：A. 2 如果，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，， 所以. 故选：B. 3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（    ） A．b<a B．a+c>b+c C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可判断. 【详解】由不等式的基本性质可知，A，B正确； 当时，，故C不正确； 若时，；若，即时，由已知可得， 综上所述：，故D正确. 故选：C 4 若，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质即可得解. 【详解】选项,时不成立,故错误. 选项,若则,故错误. 选项,如果成立则即与矛盾,故错误. 选项,若，则,故正确. 故选:. 5 若，则下列式子中正确是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】A:因为，所以，所以A选项错误， B:当，时，，，此时，所以B选项错误， C:因为，所以，两边同时减一个相同的数不等号方向不变，即，所以C选项正确， D:当时，成立，同时为负数时不成立，所以D选项错误. 故选:C. 6 设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值，可排除A、B、C，根据不等式的基本性质，可判断D正确. 【详解】对A选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对B选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对C选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对D选项，根据不等式的基本性质：，故正确. 故选：D 二、填空题 1 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可． 【详解】由， 又函数是区间上的减函数， 所以． 故答案为：． 2 已知实数，则 ， (用>，<填空). 【答案】 【分析】运用不等式的性质和作差法，化简即可得到所求关系． 【详解】解：，，可得； ， 由，，，可得，可得． 故答案为：；． 【点睛】本题考查不等式的性质和作差法比较两式的大小，考查运算能力，属于基础题． 3 若，均为实数，且，则 .（用“”或“”填空） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质求解即可. 【详解】， ， . 故答案为：. 4 若，则 .（用不等号填空） 【答案】 【分析】根据不等式的性质比较大小即可. 【详解】已知，则， 由不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知， ， 故答案为：. 5 不等式组的解集用区间表示为 . 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可． 【详解】不等式组,化简为 即,解得,用区间表示为. 故答案为： 三、解答题 1 己知a，b分别满足不等式和. (1)求实数a的取值范围； (2)求实数b的取值范围； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据含绝对值不等式的解法求解； （3）分别求出、的范围，再根据不等式的基本性质求解. 【详解】（1）不等式可化为， 解得. 故实数a的取值范围为 （2）不等式可化为， 解得. 故实数b的取值范围为； （3）由（1）（2）知， ，， 故. 所以的取值范围为. 2 解不等式组 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，然后求出两个不等式解集的交集． 【详解】由①得：，解得； 由②得：，解得. 所以不等式组的解集为： . 题型三:区间 例3 设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用区间的运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 变式训练 一、选择题 1 ＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间的运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 2 集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间的表示方法即可得解. 【详解】集合用区间表示为. 故选：A. 3 不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元一次不等式组，结果用区间表示即可. 【详解】由不等式组，可得， 所以不等式组的解集是. 故选：A 4 知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算性质计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C． 二、填空题 1 如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是 .    【答案】 【分析】根据阴影区域表示的不等式进行区间表示. 【详解】由阴影区域可知表示的不等式为，因此所对应的区间为. 故答案为：. 2 已知集合，，则= .（写成区间形式） 【答案】 【分析】解一元二次不等式求并集即可解得. 【详解】，则, 解得或， 得到或， 又， 所以 ． 故答案为：. 三、解答题 1 解不等式组的解集，并用区间表示. 【答案】 【分析】利用一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】因为，可得， ，，即， 所以不等式组的解集为，区间表示为. 2 已知区间，求． 【答案】 【分析】根据交集和并集的概念，以及区间的含义，求解即可. 【详解】∵， ∴，． 题型四:一元二次不等式 例4 不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合一元二次不等式的解法即可解出不等式. 【详解】因为二次函数开口向上，两根为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 变式训练 一、选择题 1 一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】一元二次不等式，解得， 所以解集为， 故选：. 2 若方程无实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程无实数时判别式小于零，列式即可得解. 【详解】因为方程无实数解， 即，，解得， 可得的取值范围是. 故选：B. 3 关于x的不等式的解集是，则等于（      ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，结合根与系数的关系即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以当时，， 则， ， 所以， 故选：A 4 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次函数与二次不等式的关系分析求解即可. 【详解】由二次函数图像知时，， 当时，在和之间， 则有， 所以不等式的解集是. 故选：A. 5 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可. 【详解】已知的解集为，可知， 由可得， 所以，解得，. 所以不等式即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 二、解答题 1 已知集合，集合，． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组即可得解. （2）由（1）可知求出集合根据交集的定义即可得解. 【详解】（1）因为集合， 所以，解得， 所以，. （2）集合，，解得， 所以， 集合，，解得， 所以， 所以. 2 若一元二次不等式的解集为，求实数范围． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒大于零的条件且列式求解即可. 【详解】 即. 3 若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用韦达定理由一元二次不等式的解集求参数即可； （2）利用一元二次不等式的解法可解. 【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；. （2）不等式，可化为， 即，所以，解得：， 故不等式的解集． 题型五:含绝对值的不等式 例5 不等式的解集是（    ） A．R B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据解含绝对值不等式的基本解法即可求解. 【详解】由题意得，，则，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：B. 变式训练 一、选择题 1 不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以或， 解得或， 则不等式的解集为. 故选：C. 2 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可. 【详解】已知的解集为，可知， 由可得， 所以，解得，. 所以不等式即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 3 不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质判定，此绝对值的解集. 【详解】由可知，为任意实数，即. 故选：B. 4 函数的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的基本解法，得到的解集，再分别求得各选项的解集，即可求解. 【详解】根据函数图像可知，的解集为. 选项A中，可化为，则解集为，故正确. 选项B中，可化为，则解集为，故错误. 选项C中，的解集为，故错误. 选项D中，中，因为分母不为零，则，且，或者且， 且时，空集. 且时，得到. 综上，解集为，故错误. 故选：A. 5 关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质以及空集的概念求解即可. 【详解】因为， 所以若要使不等式的解集为空集，则， 所以. 故选：D. 6 若不等式的解集为，则实数等于（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式等价转化为一次不等式，对a分类讨论，结合已知可求解． 【详解】不等式可化为，即. ①当时，解集为，不符合题意； ②当时，则， 故，方程组无解； ③当时，则， 故，解得. 综上所述， 故选：C 三、解答题 1 解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法即可求得. （2）利用一元二次不等式的解法即可求得. 【详解】（1）因为，所以或， 解得或；所以不等式的解集为或. （2）因为二次函数开口向上，两根为， 所以不等式的解集为. 2 若不等式的解集是，求的值． 【答案】 【分析】先解含参数的绝对值不等式，再根据不等式的解集得到参数的值，即可求解. 【详解】∵可化为，即. 因为的解集是． 所以且， 故，即． 3 已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由绝对值不等式的解法可构造方程组求得结果； （2）利用（1）中结论整理化简一次不等式，解之即可得解. 【详解】（1）有解，， 由，得，又的解集为， ，解得，则. （2）由（1）知，可化为， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$