精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 3. 在中，和都是锐角，且，，则的形状是（    ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 4. 如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ） A. 2米 B. 6米 C. 米 D. 米 5. 已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（ ） A. 该函数图像在第二、四象限 B. 点在该函数图像上 C. 当时， D. y随x的增大而增大 6. 已知二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A. B. C. D. 8. 如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A. B. C. D. 9. 一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，，是边的中点，是边上一动点，设，，图②是关于的函数图象，图象中的最低点的坐标为，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中自变量x的取值范围是___________． 12. 点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为___________．（用“<”连接） 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，平行四边形的顶点A、B在x轴的正半轴上，顶点C在第一象限内，顶点D在y轴的正半轴上，对角线和相交于点E且，函数的图象经过点E．若平行四边形的面积为8，则k的值为___________． 14. 在中，，，，则为________． 15. 若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是___________． 16. 如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与轴交于点，与一次函数的图象交于，．下列结论正确的有___________．（填序号） ①； ②； ③使不等式成立的的取值范围是或； ④若关于的一元二次方程有实数根，则； 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，是的中线， ， ， ，求： （1）的长； （2）的值． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，自变量x的取值范围； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 20. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． （1）求二次函数的表达式 （2）将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； （3）在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 21. 图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 22. 操作与探究： （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 23. 云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界．某店购进一种水果，每盒进价为元，规定销售单价不低于成本．该水果月销售量（盒）与售价（元/盒）的变化情况部分数据如下表： 售价（元/盒） … 55 60 65 70 … 销售量（盒） … 1500 1400 1300 1200 … （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断是关于的哪种函数，并求出函数关系式； （2）若该种水果的每盒利润不超过进价的，设这种水果每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式 （2）点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标； （3）点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试 初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解． 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 3. 在中，和都是锐角，且，，则的形状是（    ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状． 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 4. 如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ） A. 2米 B. 6米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（ ） A. 该函数图像在第二、四象限 B. 点在该函数图像上 C. 当时， D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，先根据已知求得反比例函数解析式，再根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图像经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴该函数图像在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， 故选项A正确，不符合题意；选项D错误，符合题意； ∵当时，， ∴点在该函数图像上，故选项B正确，不符合题意； ∵反比例函数在第四象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，， 故选项C正确，不符合题意， 故选：D． 6. 已知二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．根据判别式结合二次项系数非零即可求出答案． 【详解】解：二次函数函数的图像与x轴有交点， ，即 解得：， 故选：C． 7. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 8. 如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：，， 平分， ，， ， 过点作， 平分， ， ，即：，解得：， ， 故选D． 9. 一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：，，， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴． 故选：B． 10. 如图①，在中，，，是边的中点，是边上一动点，设，，图②是关于的函数图象，图象中的最低点的坐标为，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形与函数图象的结合问题，熟练掌握等边三角形的性质与应用，能够从题干的图象中提取信息是解题的关键，根据题意先从图②的函数图象中得到，即可得到，的值，作关于直线的对称点，连接交于点，交于点，连接，由数学模型“将军饮马”可得到，进而得，故，，共线， 有最小值，由于，，点，关于对称，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，因此在中，可得的值，在中，，则，进而即可得到答案． 【详解】解：当点与点重合时，由图②知，， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于点，交于点，连接，如图， 则 ∴ 而，，共线，最小，即最小， ∵，， ∴， ∵点，关于对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：由题意，，且， 解得且， 故答案为：且． 12. 点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为___________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴在一、三象限，在每个象限，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，平行四边形的顶点A、B在x轴的正半轴上，顶点C在第一象限内，顶点D在y轴的正半轴上，对角线和相交于点E且，函数的图象经过点E．若平行四边形的面积为8，则k的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键． 过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得． 【详解】解：过点E作轴于点F， ∵平行四边形中，，且， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 在中，，，，则为________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题分两种情况：如图1，过作于，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理求出的值，从而得出，，在中，根据勾股定理得出，于是得到结果；如图2，过作交的延长线于，同理可得结果．本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻，． 【详解】解：如图1，过作于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， 在中，， ； 如图2，过作交的延长线于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， ∵ ∴ ∴， 故答案为：或 15. 若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，代数式求值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，求出抛物线经过的定点是解题的关键． 由，可知抛物线经过定点，再将代入，可得，从而可求得代数式的值． 【详解】解：， 抛物线必经过定点， 一次函数也经过点， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与轴交于点，与一次函数的图象交于，．下列结论正确的有___________．（填序号） ①； ②； ③使不等式成立的的取值范围是或； ④若关于的一元二次方程有实数根，则； 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口方程，对称轴，与轴的交点，不等式的性质等知识的综合运用是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线可得，可判定①②；根据二次函数与一次函数图象的交点可判定③；根据二次函数与轴的交点，可得二次函数交点式，由可得，根据方程有实数根可得，把代入，根据不等式的性质计算可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴，， ∴， ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∴，故②错误； ∵二次函数与一次函数交于，， ∴当时，或，故③正确； ∵二次函数对称轴为直线，与轴交于点， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴二次函数的顶点式为， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ，整理得，， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有③④， 故答案为：③④ ． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． （1）代入特殊角的三角函数值进行化简，然后进行计算，即可得到答案； （2）代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂、零次幂进行化简，然后进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，是的中线， ， ， ，求： （1）的长； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用． （1）过点作于点，根据求出求出根据求出的长即可； （2）根据是的中线，求出的长，得到的长，再根据的长可得，的度数． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， ∴， 在中， ， ∴， 在中， 即 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，自变量x的取值范围； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数为； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）首先得到，然后求出，然后得到，进而求解即可． 【小问1详解】 将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； 【小问2详解】 由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为：或； 【小问3详解】 设一次函数与x轴的交点为D 由题意可知， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或． 20. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． （1）求二次函数的表达式 （2）将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； （3）在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意设二次函数解析式为，再代入一个其图象经过点，求出的值即可求得二次函数的表达式； （2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m 的值； （3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为时，的值，根据二次函数图像性质，可知的取值在左侧或在右侧，根据分别讨论两种情况即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数解析式为：， 二次函数图象经过点，， ， 解得：， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：将二次函数的图象向右平移个单位后， 二次函数解析式为， 平移后二次函数图象经过点， ， 解得：，（舍去）， 的值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为， 当函数取值为时，则有， 解得：，， 当时，函数的最小值为， 的取值为或， ①当的取值为时， 则有， 解得：， ②当的取值为时， 则有， 解得：， 的值为或． 21. 图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和锐角三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据题意可得，即，在由平角可得，即可求得，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，即可求出的值，从而求出的长，再根据，可得的长，即可根据，求得吊车的吊臂顶端点距地面的高度的米数． 【详解】解：如图，由题可知，，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米． 22. 操作与探究： （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 【答案】（1） 图象如图所示： （2）①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）按照列表，描点，连线的步骤即可画出函数图象； （2）根据画出的函数图象，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意列出表格如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 【小问2详解】 解：由图可知： ①当函数值时，自变量x的取值范围是； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围． 23. 云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界．某店购进一种水果，每盒进价为元，规定销售单价不低于成本．该水果月销售量（盒）与售价（元/盒）的变化情况部分数据如下表： 售价（元/盒） … 55 60 65 70 … 销售量（盒） … 1500 1400 1300 1200 … （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断是关于的哪种函数，并求出函数关系式； （2）若该种水果的每盒利润不超过进价的，设这种水果每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与是一次函数，解析式为： （2）售价为元时可获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用， （1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，每件的利润为，由此可得，可得，由数量关系列式的，根据二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格信息，设售价（元/盒）与销售量（盒）的解析式为：，且， ∴， 解得，， ∴函数解析式为：， 当时，；当时，；符合题意， ∴与是一次函数，解析式为：； 【小问2详解】 解：售价为（元/盒），进价为（元/盒）， ∴单件利润为：元/盒， ∴， ∵每盒利润不超过进价的， ∴， 解得，， ∵，开口向下，且对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ∴当时，利润取得最大值，且（元）， ∴售价为元时可获得最大利润，最大利润为元． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式 （2）点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标； （3）点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、垂线段最短等知识，综合性很强，难度适宜． （1）将点和点的坐标代入抛物线解析式，求解得函数关系式， （2）过点作轴的平行线，交于点，设点P的坐标为，则点D的坐标为，再求解即可； （3）作，垂足为点E，先证得为等腰直角三角形． 可得．． 当点A，N，E共线时，有最小值．最小值n为线段的长． 再求解即可． 【小问1详解】 解：将坐标代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为：， 【小问2详解】 解：令，得， 则， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 如图，过点P作轴，交于点D． 设点P的坐标为，则点D的坐标为． ∴． 由，得． 解得，． ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为点E． ， ， ， 为等腰直角三角形． ∴． ∴． 当点A，N，E共线时，有最小值． 最小值n为线段的长． 为等腰直角三角形． ， ， 为等腰直角三角形． ， 为等腰直角三角形． ∴，即点N 的坐标为． ∴． ∴n的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $