精品解析：吉林省辽源市田家炳高级中学校2025届高三上学期第三次质量检测（12月）数学试卷

田家炳高中高三上学期第三次质量检测数学试卷 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】，或， 所以，“”“”，但“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知复数，则（ ） A B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故选：D 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模． 【详解】由得，， 又，则． 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6. 已知函数是定义在上偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A. 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式及通项公式求解即可. 【详解】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列， 设这个数列为，前项和为， 则，解得， 所以， 即该人第三天走的路程为48里. 故选：C. 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 二、多选题（共3小题） 9. 已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 是方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的概念、运算法则、几何意义一一判定选项即可. 【详解】因为，所以， 则的虚部为，故A错误； 由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确； 由于，故C错误； 方程可化为，方程的根为，故D正确． 故选:BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD （2023·广州模拟） 11. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于对称 C. 为偶函数 D. 是周期为4的函数 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用为的对称中心，利用奇函数的定义判断出为奇函数； 对于B：判断出的图象不关于对称； 对于C：利用奇函数的定义判断出为奇函数，即可判断； 对于D：利用周期函数的定义即可判断出是周期为4的函数. 【详解】因为，所以关于x=1对称. 因为，所以，所以关于对称. 对于A：由点关于x=1的对称点为，为的对称中心，且关于x=1对称，所以为的对称中心，即，所以为奇函数.故A正确； 对于B：因为，所以，所以的图象不关于对称.故B错误； 对于C：因为，令x+2代换x，得到①. 对于，令x+1代换x，得到②. 由①②得：，令-x代换x，得到， 与②结合得：， 所以为奇函数.故C错误； 对于D：对于，令x-1代换x，得到， 又因为，所以， 令2-x代换x，得到， 令x-2代换x，得到， 所以， 令x+2代换x，得到，即是周期为4的函数.故D正确. 故选：AD 三、填空题（共3小题） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知，，，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用两个向量平行的坐标运算，从而解得的值． 【详解】向量，， ． ， ，解得， 故答案为： 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题（共5小题） 15. 已知函数在处取到极小值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解； （2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可 【小问1详解】 因为， 则， 即， 当时，，时，， 时，，故在处取到极小值， 所以满足题意. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 故切线方程为：， 即. 16. 已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题设条件，列出方程求得，即可求得数列的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，结合“乘公比错位相减法”，即可求解. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 由，，成等比数列，可得，即， 解得或（舍），所以数列的通项公式. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以， 可得， 两式相减得 所以. 【点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法： （1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和； （2）注意事项： ①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为的等比数列求和. 17. 已知分别为内角的对边，且． （1）求角A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合，利用同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求的值． （2）由已知利用余弦定理可得：，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）． 由正弦定理可得：， ， ，即， ， ． （2），，， 由余弦定理， 可得：，可得：， 解得：或（负值舍去）， ． 18. 已知数列满足，. （1）若数列满足，求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即，即可得证； （2）由（1）可得，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，所以，又，，所以，即，，所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 解：由（1）可得，即，所以 所以 19. 已知函数，. （1）求函数的单调递减区间； （2）若函数在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为;（2）. 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得，根据正弦函数的性质求的递减区间； （2）由题设知，恒成立，令并根据正弦函数的性质作出的图象，应用数形结合求的取值范围. 【详解】（1） 令，解得. 故的单调递减区间为 （2）由在恒成立，即，恒成立， ∵，则，作出草图， 由图知：当， ∴，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 田家炳高中高三上学期第三次质量检测数学试卷 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）． A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 是方程的一个根 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 （2023·广州模拟） 11. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于对称 C. 为偶函数 D. 是周期为4的函数 三、填空题（共3小题） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 已知，，，则实数的值为__________. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题（共5小题） 15. 已知函数处取到极小值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和. 17. 已知分别为内角对边，且． （1）求角A； （2）若，，求的面积． 18. 已知数列满足，. （1）若数列满足，求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调递减区间； （2）若函数在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$