专题5.1 走进几何世界（3大知识点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.1 走进几何世界（3大知识点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】观察 抽象 1. 各部分不在同一平面内的几何图形，叫立体图形，也叫几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2.常见的立体图形及分类： 3.柱体特征及分类 （1）柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. （2）棱柱的特征： ①棱柱所有的侧棱长都相等；②棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；③侧面的形状都是平行四边形. （3）棱柱的分类 ①人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱.②棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 4.从不同方向看 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图． 【知识点2】运动 想象 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 【知识点3】转化 表达 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【要点提示】 (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 知识点与题型目录 【考点一】观察 抽象 【题型1】常见的几何体..............................................................3 【题型2】组合几何体的构成..........................................................4 【题型3】立体图形的分类............................................................5 【题型4】几何体中的点、棱、面......................................................6 【题型5】从不同方向看几何体........................................................9 【考点二】运动 想象 【题型6】点、线、面、体四者之间的关系.............................................11 【题型7】平面图形旋转后所得的立体图形.............................................12 【题型8】平面图形形状的识别.......................................................14 【题型9】用七巧板拼图形...........................................................16 【考点三】转化 表达 【题型10】几何体展开图的认识......................................................18 【题型11】由展开图计算几何体的表面积与体积........................................19 【题型12】正方体几种展开图的识别..................................................22 【题型13】正方体相对两面上的字....................................................24 【题型14】含图案的正方体的展开图..................................................25 【题型15】补一个面使图形围成正方体................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】常见的几何体 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 【分析】本题主要考查了认识立体图形和对同学们从实物中抽象出立体图形的能力的考查，解决本题的关键是熟练掌握长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点． 根据长方体、圆锥、圆柱、球体、正方体等立体图形的形状和特点，从实物中抽象出立体图形进行连线即可． 解：如图所示： 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 【答案】粉笔盒、三棱镜、书本 【分析】本题考查了棱柱的特征，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键； 棱柱所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． 解：粉笔盒、三棱镜、书本可以看成棱柱，乒乓球是球体，易拉罐瓶是圆柱； 故答案为：粉笔盒、三棱镜、书本 【题型2】组合几何体的构成 【例2】（23-24六年级上·全国·单元测试）分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 【变式1】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【题型3】立体图形的分类 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【答案】（1）（2）（3），（5），（4） 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5） 球体属于单独的一类，球有（4）． 故答案为：（1）（2）（3），（5），（4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其余三个不属于同一类立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的认识．根据立体图形的特征判断即可． 解：A，C，D选项都是柱体，B是圆锥， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧ 【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可． 解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧， 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧． 【题型4】几何体中的点、棱、面 【例4】（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）下列说法中，不正确的有（   ） ①数字8不是整式； ②三棱锥有4个面，6条棱； ③一个有理数不是整数就是分数； ④柱体的两个底面一样大； ⑤单项式 的系数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念，三棱锥的性质，有理数的概念，柱体的性质，单项式有关的概念，分别根据查整式的概念，三棱锥的性质，有理数的概念，柱体的性质，单项式概念一一进行判断即可． 解：①数字8是单项式也是整式，故①不正确； ②三棱锥有4个面，6条棱，故②正确； ③一个有理数不是整数就是分数，③正确； ④柱体的两个底面一样大，④正确； ⑤单项式 的系数是 ，故⑤不正确． 综上，不正确的有①⑤，共2个． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，需要剪开条棱展成一个平面图形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查棱柱结构，代数式求值，根据棱柱结果特征，由一个棱柱共有20个顶点，得到棱柱是十棱柱，从而利用棱柱有个面、个顶点、条棱及剪开一个棱柱需要上下两个底面剪开，再剪开一条侧棱即可得到答案，熟记棱柱结构特征是解决问题的关键． 解：一个棱柱共有20个顶点， 棱柱是十棱柱， ，， ， 故答案为：． 【题型5】从不同方向看几何体 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，使几何体从正面、上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)，，表示的数字分别是________，________，________； (2)这个几何体最少是由几个小立方块搭成的？最多呢？ (3)当，时，画出从左面看这个几何体得到的形状图． 【答案】(1)，， (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，，明确从不同方向看得到的形状图与原图的关系及画图方法是解题的关键． （1）由从正面看得到的图形可知，第二列小立方体的个数均为，第列小正方体的个数为，那么，，； （2）所用的小立方块个数最少，则，，三处位置有一处放置个，其余两处各放置个，所用的小立方块个数最多，则，，三处位置都放置2个； （3）由从左面看得到的形状图有列，每列小正方形数目分别为，，，画图即可； 解：（1）解：；； （2）解：若所用的小立方块个数最少，则，，三处位置有一处放置个，其余两处各放置个， 故这个几何体最少由个小立方块搭成． 若所用的小立方块个数最多，则，，三处位置都放置2个， 故该几何体最多由个小立方块搭成． （3）从左面看到的形状图，如图所示． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体， 能够根据不同方向看到的图形还原几何体是解题的关键． 根据从正面看到的图形可以判断上下层数，根据从上面看到的图形可以判断底层有多少小正方体，根据从左面看到的图形可以判断前后层数，综合以上信息即可得到答案． 解：根据从三个方向看到的形状图可得， 从前面看可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意； 从左面看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层， 从上面看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个由小立方块摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，请你判断一下：最少可以用 个小立方块，最多可以用 个小立方块．    【答案】 5 13 【分析】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟悉常见几何体的三视图． 根据主视图和左视图画出小正方体最少和最多时几何体的俯视图，从而确定最少和最多小正方体的个数． 解： 解：画出小正方体最少和最多时几何体的俯视图，    所以这个几何体最多可以用5个小正方体，最少可以用13个小正方体． 故答案为：；． 【题型6】点、线、面、体四者之间的关系 【例6】（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱；面； (2)． 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据圆柱的特征，以及点、线、面、体的关系，即可解答； （2）利用圆柱的体积公式进行计算，即可解答． 解：（1）解：每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这体现了面动成体， 故答案为：圆柱；面； （2）解：由题意得：， ∴每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积． 【变式1】（20-21七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意； C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意； D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了 ，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为 ，与此原理相同的例子还有 ． （2）宾馆里旋转的大门给我们以 的形象． 【答案】 点动成线 线动成面 车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可） 面动成体 【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． （1）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可； （2）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可． 解：（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了点动成线，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为线动成面，与此原理相同的例子还有车轮旋转时看起来像一个完整的圆面； 故答案为：点动成线，线动成面，车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可）； （2）宾馆里旋转的大门给我们以面动成体的形象， 故答案为：面动成体． 【题型7】平面图形旋转后所得的立体图形 【例7】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱，2，1 (2)或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，进而可得出平面和曲面的个数； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 解：（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，有2个平面，1个曲面， 故答案为：圆柱，2，1； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，关键是同学们要注意观察，培养自己的空间想象能力．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 解：将如图所示的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体，里面是空的圆锥体 故选：B． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案． 解：直线为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， 因此面积为：， 故答案为：18． 【题型8】平面图形形状的识别 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，可将多边形分割成若干个小三角形，以四边形为例，图①给出了具体的分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形． (1)请按照上述分割方法，将图②的五边形进行分割； (2)如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成___________、___________、___________个小三角形．（用含n的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)见解析 (2)；；n 【分析】本题考查了多边形的对角线，得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合图形分割即可得解； （2）根据（1）的解答，从特殊到一般总结即可得解． 解：（1）解：将图②的五边形进行分割如图所示： ； （2）解：结合题干所给图形可得： 如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成、、n个小三角形． 【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】过正方形的两边中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线，即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分．此题考查了图形的拆拼，正方形是一个中心对称图形，过中心点的任意一条直线都可以把正方形分成完全一样的两部分． 解：如图所示，在图形中下一行的直线有无数条，只要过中心点就可以． 过正方形的两个对边的中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分，故有无数种分法． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是 边形． 【答案】三、四、五 【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 解：设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 故答案为：三、四、五． 【题型9】用七巧板拼图形 【例9】（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查七巧板，理解七巧板的分割方法以及分割的七个部分的图形性质以及相互关系是正确解答的关键． （1）根据“七巧板”的分割方法得到第⑥部分是平行四边形，根据平行四边形的性质可得答案； （2）取“七巧板”中的若干块，拼成等腰梯形即可． 解：（1）∵⑥是平行四边形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）取③④⑤⑥按照如图所示的方式可以拼成一个等腰梯形． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 解：如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 【答案】 【分析】本题考查割补法求面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键； 根据题意利用割补法求面积即可求解； 解：从七巧板知正方形面积等于平方厘米， 按下图分割可知，长方形等于个正方形的面积， 平方厘米 故答案为： 【题型10】几何体展开图的认识 【例10】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列选项中，左边的平面图形经过折叠能够围成右边的几何体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理． 解：A．正方体展开图错误，故本选项不符合题意； B．展开图多一个底面，错误，故本选项不符合题意； C．圆柱的展开图正确，故本选项符合题意． D．展开图少一个底面，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 解：因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两直线，且有公共点， 故选：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】此题考查了展开图折叠成长方体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 由平面图形的折叠及展开图解题． 解：解∶①和②可以折叠成，③和④有重叠的面不可以折成， 故答案为：③④． 【题型11】由展开图计算几何体的表面积与体积 【例11】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) (4) 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的表面积计算公式求解即可； （4）利用长方体的体积计算公式求解即可． 解：（1）解：几何体的展开图共有6个面， 且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形， 最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体， 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴截面形状可能是①②③④． （3）解：， ∴表面积是． （4）解：， ∴体积是． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握由展开图计算几何体体积的方法是解题的关键． 由甲乙两位同学的展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积，然后进行比较即可． 解：如图①， 纸盒底面的四边形是正方形， ， 长方体纸盒的高为：， 则甲同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； 如图②， 设，则， 由题意可得：， 解得：， ， 长方体纸盒的高为：， 则乙同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； ， 故答案为：． 【题型12】正方体几种展开图的识别 【例12】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）（1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 【答案】（1）见解析；（2）见解析（画出一种即可） 【分析】本题考查了从不同方向看几何体以及正方体的平面展开图，熟知正方形的几种平面展开图是解本题的关键． （1）根据正面看，左面看的图形，根据各行、各列对应的立方体的个数进行画图． （2）结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【变式1】（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图．解决问题的关键是观察图形发现画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上． 从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．据此选出符合这一特征的展开图就可以了． 解：从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上． 选项A中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，但平行线位置不符合，故不符合上述特征； 选项B中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，且符合视图，符合上述特征； 选项C中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 选项D中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟知正方体11种展开图是解题的关键． 解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体； 正方形B与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形C与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形D与实线部分的五个正方形符合“33”型，能围成正方体； ∴能拼成正方体的位置有3个， 故答案为：3． 【题型13】正方体相对两面上的字 【例13】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)____________，____________，____________； (2)求的值． 【答案】(1)8，2，3 (2) 【分析】本题考查正方体的展开图，代数式求值． （1）根据正方体的表面展开图相对的面在一行时间隔一个进行判断即可； （2）求出x、y、z的值，再代入计算即可． 解：（1）由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “”与“x”是对面， “y”与“”是对面， “”与“z”是对面， 由于正方体相对面上所标的两个数互为相反数， 所以，，， 故答案为：8，2，3； （2）∵，，， ∴， 答：的值为． 【变式1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字，代数式求值，由图可得，的对面是，的对面是，的对面是，根据相对面上的两个数的和都为，列式求出的值，再代入代数式计算即可求解，求出的值是解题的关键． 解：由图可得，的对面是，的对面是，的对面是， ∵相对面上的两个数的和都为， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的相对面、相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键； 根据正方体的相对面得到关于、的方程，解方程求出、的值，即可求解． 解：的对面是，的对立面是， 故，， 解得：，， ； 故答案为： 【题型14】含图案的正方体的展开图 【例14】（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开． (1)你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图． (2)在你选择的展开图中标出“O”的位置． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别： （1）沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个图形的四个侧面成为四个正方形，并且这四个正方形在一条直线上，写有“O”的正方形，也就是底面是另一行，且不在两端，据此可得答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，即为沿图中粗线将正方体剪开后的示意图， 故答案为：③； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，可以动手进行具体折纸、翻转活动也可以． 解：通过实际动手操作可知正确的为B． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 【题型15】补一个面使图形围成正方体 【例15】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图． (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体； (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． （1）根据正方体的展开与折叠解答即可； （2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值． 解：（1）如图所示．（答案不唯一，任选两种即可） （2）根据题意，得，即， 因为， 所以． 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 解：如图所示： 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 走进几何世界（3大知识点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】观察 抽象 1. 各部分不在同一平面内的几何图形，叫立体图形，也叫几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2.常见的立体图形及分类： 3.柱体特征及分类 （1）柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. （2）棱柱的特征： ①棱柱所有的侧棱长都相等；②棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；③侧面的形状都是平行四边形. （3）棱柱的分类 ①人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱.②棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 4.从不同方向看 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图． 【知识点2】运动 想象 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 【知识点3】转化 表达 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【要点提示】 (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 知识点与题型目录 【考点一】观察 抽象 【题型1】常见的几何体..............................................................3 【题型2】组合几何体的构成..........................................................3 【题型3】立体图形的分类............................................................4 【题型4】几何体中的点、棱、面......................................................4 【题型5】从不同方向看几何体........................................................5 【考点二】运动 想象 【题型6】点、线、面、体四者之间的关系..............................................6 【题型7】平面图形旋转后所得的立体图形..............................................7 【题型8】平面图形形状的识别........................................................7 【题型9】用七巧板拼图形............................................................8 【考点三】转化 表达 【题型10】几何体展开图的认识.......................................................9 【题型11】由展开图计算几何体的表面积与体积........................................10 【题型12】正方体几种展开图的识别..................................................10 【题型13】正方体相对两面上的字....................................................11 【题型14】含图案的正方体的展开图..................................................12 【题型15】补一个面使图形围成正方体................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】常见的几何体 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列物体与哪种立体图形相类似？把相应的物体和图形连接起来． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）对于粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐、书本这些生活中的物品，其形状类似于棱柱的有 ． 【题型2】组合几何体的构成 【例2】（23-24六年级上·全国·单元测试）分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【变式1】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【题型3】立体图形的分类 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其余三个不属于同一类立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【题型4】几何体中的点、棱、面 【例4】（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）下列说法中，不正确的有（   ） ①数字8不是整式； ②三棱锥有4个面，6条棱； ③一个有理数不是整数就是分数； ④柱体的两个底面一样大； ⑤单项式 的系数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，需要剪开条棱展成一个平面图形，则 ． 【题型5】从不同方向看几何体 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，使几何体从正面、上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)，，表示的数字分别是________，________，________； (2)这个几何体最少是由几个小立方块搭成的？最多呢？ (3)当，时，画出从左面看这个几何体得到的形状图． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一个由小立方块摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，请你判断一下：最少可以用 个小立方块，最多可以用 个小立方块．    【题型6】点、线、面、体四者之间的关系 【例6】（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【变式1】（20-21七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（   ） A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了 ，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为 ，与此原理相同的例子还有 ． （2）宾馆里旋转的大门给我们以 的形象． 【题型7】平面图形旋转后所得的立体图形 【例7】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲面； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留π）． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 【题型8】平面图形形状的识别 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，可将多边形分割成若干个小三角形，以四边形为例，图①给出了具体的分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形． (1)请按照上述分割方法，将图②的五边形进行分割； (2)如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成___________、___________、___________个小三角形．（用含n的代数式写出结论即可，不必画图） 【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 【变式2】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是 边形． 【题型9】用七巧板拼图形 【例9】（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 【题型10】几何体展开图的认识 【例10】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列选项中，左边的平面图形经过折叠能够围成右边的几何体的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是 ．（请填写序号） 【题型11】由展开图计算几何体的表面积与体积 【例11】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 【题型12】正方体几种展开图的识别 【例12】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）（1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 【变式1】（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有 个． 【题型13】正方体相对两面上的字 【例13】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)____________，____________，____________； (2)求的值． 【变式1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【题型14】含图案的正方体的展开图 【例14】（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开． (1)你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图． (2)在你选择的展开图中标出“O”的位置． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【题型15】补一个面使图形围成正方体 【例15】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图． (1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体； (2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值． 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$