第09讲 等比数列及其前n项和（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第09讲 等比数列及其前n项和 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 重难点01等比数列的基本运算 【解题必备】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例1．已知为等比数列的前项和，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 因为，即，解得， 又因为，可得，解得， 所以. 故选：B. 例2．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)； (2)，； (3)或. 【详解】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得，所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. 【跟踪练习】 练习1．正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 【答案】C 【详解】正项等比数列的前项和为， 若，则，则. 又，则，即，即， 则，化简，解得都满足题意. 则或. 故选：C. 练习2．（多选）数列是公比为的等比数列，为其前项和，为其前项积．已知，，则（    ） A． B．当或4时，取得最大值 C．当时，取得最大值 D．当取得最小值时， 【答案】AB 【详解】由题意知，则． 若，则， 所以， 即，，无实数解； 若，则，所以， 即，又， 所以，故A正确； ，， 则，，，，，， 因此， 又当时，， 所以当时，， 又，，，，，， 所以当或时，取得最大值，故B正确； 当或时，取得最小值，故C，D错误． 故选：AB. 练习3．已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】或 【详解】当时，由，所以， 当时，由，即， 即，解得或. 故答案为：或． 练习4．已知数列是等比数列，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，可得，解得， 因为，可得， 即，化简得， 所以，解得． 故答案为：. 重难点02等比数列的判定与证明 【解题必备】一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 例3．（多选）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】BCD 【详解】设等比数列的公比为， A：当时，，故A错误； B：，所以，是等比数列，故B正确； C：，是等差数列，故C正确； D： ，是等差数列，故D正确. 故选：BCD. 例4．已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 【答案】(1)，， (2)是，理由见解析 (3) 【详解】（1）由条件可得， 将代入，得，而，所以， 将代入，得，所以， 又，从而，，. （2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下： 由条件可得，即， 又，所以是首项为2，公比为3的等比数列 （3）由（2）可得，所以. 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，. (1)求，； (2)求，并判断是否为等比数列. 【答案】(1) (2)，是等比数列 【详解】（1）， （2）因为，所以， 所以，，…，， 将以上各式相加得. 因为，所以， 又也满足，所以， 所以， 所以是等比数列，且首项、公比均为2. 练习2．已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【详解】因为 所以. 由，知， 从而. 所以. 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 所以，即. 练习3．在数列中，,对任意正整数 (1)记,证明：为等比数列； (2)求的通项公式及其前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）因为，且， 则， 可得， 且，可知， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得,所以， 所以， 又以为，则， 所以， 则， 所以 ． 练习4．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由数列的首项为，且满足， 可得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，可得， 所以数列的前项和. 重难点03等比数列项的性质应用 【解题必备】等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 例5．等比数列中，已知，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】因为数列是等比数列， 所以，，，成等比数列， 且公比为，所以． 故选：A 例6．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【答案】 【详解】由，可得， 又因为，所以， 又因为， 即，解得； 因为，， 所以， 所以， 因为当或时，取小值， 所以取最小值， 即的最小值为. 故答案为：2； 【跟踪练习】 练习1．已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 练习2．在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 练习3．在等比数列中，公比，则（    ） A．128 B． C．64 D． 【答案】A 【详解】由题得， 所以. 又因为， 所以， 所以， 解得或（舍去）， 则， 所以． 故选：A. 练习4．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 重难点04等比数列前n项和的性质 【解题必备】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 例7．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 【答案】 【详解】等比数列的前项和为，而，则成等比数列， 因此，即，所以. 故答案为： 例8．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）公比为，项数为. 【详解】（1）∵为等比数列，由知数列的公比不等于， 也成等比数列， ，则， ； （2）设等比数列的公比为，项数为． 记，， 则 ，则， 根据，得，解得. 此数列的公比为，项数为. 【跟踪练习】 练习1．设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【详解】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 练习2．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【详解】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 练习3．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 练习4．记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)60； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，所以， ，所以, 故，，成等比数列，且公比为， 所以， 整理得， 因为，故， 解得， 所以． （2）因为，所以，由（1）知，， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 又， 则 所以 重难点05等比数列的实际应用及数学文化 例9．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为，，，. 则， ， ， . 故选：D 例10．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【答案】 / 【详解】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为， 故答案为：；． 【跟踪练习】 练习1．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 练习2．如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 练习3．现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列， 则该等比数列的前项和. 由，得，得. 故选：B. 练习4．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【详解】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 重难点06等差、等比数列的综合应用 例11．已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A．29 B．31 C．33 D．36 【答案】B 【详解】不妨设等比数列的公比为，由可得：，因，则① 又由与的等差中项为可得：，即② 将①代入②，可得：，回代入①，解得：，于是 故选：B. 例12．在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)3；5；9；13 (2) (3)存在， 【详解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，. （2）由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，. 当时，. 所以 （3）存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，，则 C．数列为等比数列 D．若，则数列的公比为2 【答案】ACD 【详解】对于A，令等差数列公差为，则，， 为常数，数列为等差数列，A正确； 对于B，等差数列中，成等差数列，则，解得，B错误； 对于C，令等比数列的公比为，则，为常数，数列为等比数列，C正确； 对于D，等比数列的公比为，由，得， 则，而，解得，D正确. 故选：ACD 练习2．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 【答案】189 【详解】  由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，得， 因为是和的等差中项，所以， 所以 故答案为：. 练习3．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 【答案】9 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 因为， 所以数列为递增数列， 因为，， 所以的最大值是9. 故答案为：9. 练习4．已知公差不为0的等差数列的前项和为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，且成等差数列，求出所有的正整数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，所以 又因为成等比数列，所以， 又因为，所以 所以 所以 （2）由题意可得， 所以 方法一： 整理可得 所以， 因为且，所以 方法二： ， 所以， 又，所以或， 当时，，与矛盾， 当时，，符合条件， 所以 重难点07等比数列的范围与恒成立问题 例13．已知数列满足单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 又单调递增，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，又单调递增， 所以对任意正整数恒成立， 所以，得， 故选：D. 例14．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，则，，解得， 则，即，所以， 即， 因为，所以， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，令， 则， 令， 则， 可知数列在当时为递增数列，则， 可知数列在当时为递增数列，则， 所以当，，不合题意； 故的取值范围为． 故答案为：． 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前n项和分别为，，若任取，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】已知数列的前n项和分别为，由题意， ①，②， 得，即， 因为，所以， 故是首项为，公比为的等比数列，， 故； 当n为奇数时，恒成立，， 因为随着n的增大而减小，所以时取最大值，故； 当n为偶数时，恒成立，只需， 显然随着n的增大而增大，所以时取最小值，故， 所以． 故答案为： 练习2．等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 即，所以， 所以， 所以， 因为是公比为的等比数列， 所以， 解得，故. 故答案为：. 练习3．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设数列的公比为， 则， 整理得， 当时，易知，符合题意； 但当时，， 解得，且, 则公比的取值范围是. 故答案为： 练习4．已知正项数列是等比数列，成等差数列，. (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为，， 因为， 化为， 解得或者（舍）， 又因为成等差数列， 所以， 即， 所以， 故. （2）不等式化为， ， 设， 则 所以单调递减， 故当时，最大，且最大值为， 又不等式恒成立， 故实数的取值范围为. 重难点08公共项与插项问题 例15．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列中的项为：2，4，8，16，32，64，128，256，， 经检验，数列中的奇数项都是数列中的项， 即2，8，32，128，可以写成的形式，观察归纳可得， 所以， 故选：C． 例16．（多选）已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则（   ） A． B．当时， C．当时，不是中的项 D．若是数列中的项，则 【答案】ABD 【详解】对A：易知，故A正确； 对B：当时，为等比数列，设公比为，且，，所以， 所以，所以，故B正确； 对C：当时，，所以是数列的第7项，故C错误； 对D：对数列，，，则公比， 所以，所以， 由是数列中的项，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 【跟踪练习】 练习1．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：， 即，所以． 练习2．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 练习3．已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等差数列， 所以有， 因为成等比数列， 所以， 所以； （2）由题意可知：在3和5之间插入2个3， 在5和7之间插入个， 在19和21之间插入个3， 此时共插入3的个数为：， 在21和23之间插入个3， 此时共插入3的个数为： ，因此， . 练习4．已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【详解】（1）由题可知，， 所以，，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以（常数）， 所以是等比数列， 所以，即． （2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，， 故． ． 重难点09奇偶递推不同问题 【解题必备】公共项问题：因为公共项是两个数列中的相同项，所以我们可以选取数列中的项增加“较快”的数列作为参照，假设该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的第n+1项、第n+2 项、…是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律。 插项问题：求解此类问题的关键是确定原数列有多少项,新数列有多少项. 例19．已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 【答案】B 【详解】由题意：， . 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以. 所以， . 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可. 例20．数列满足，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且为奇数时， 所以所有奇数项构成为首项，为公差的等差数列， 又因为且为偶数时，， 即所有偶数项构成为首项，为公比的等比数列， 所以 . 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足且． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前100项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得当时，，① ．② 将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 又因为， 所以，所以． 令，则，而，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以． 所以． （2） ． 练习2．已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【详解】由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 故答案为：. 练习3．已知数到满足，，记，则 ；数列的通项公式为 ． 【答案】 11 【详解】因为，， 所以，，， ，，因此； 由于，又， 即，所以， 因此数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 则，即． 故答案为：①11；②． 【点睛】关键点点睛：解题发关键点是由递推关系得到数列是等比数列，考查了学生的推理能力. 练习4．已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第09讲 等比数列及其前n项和 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 重难点01等比数列的基本运算 【解题必备】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例1．已知为等比数列的前项和，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【跟踪练习】 练习1．正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 练习2．（多选）数列是公比为的等比数列，为其前项和，为其前项积．已知，，则（    ） A． B．当或4时，取得最大值 C．当时，取得最大值 D．当取得最小值时， 练习3．已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 练习4．已知数列是等比数列，，若，则 ． 重难点02等比数列的判定与证明 【解题必备】一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 例3．（多选）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 例4．已知数列满足，，设. (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，. (1)求，； (2)求，并判断是否为等比数列. 练习2．已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 练习3．在数列中，,对任意正整数 (1)记,证明：为等比数列； (2)求的通项公式及其前项和． 练习4．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 重难点03等比数列项的性质应用 【解题必备】等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 例5．等比数列中，已知，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 例6．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【跟踪练习】 练习1．已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 练习2．在等比数列中，，且，则的值为 . 练习3．在等比数列中，公比，则（    ） A．128 B． C．64 D． 练习4．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 重难点04等比数列前n项和的性质 【解题必备】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 例7．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 例8．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【跟踪练习】 练习1．设是等比数列的前项和，若，则 . 练习2．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 练习3．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 练习4．记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 重难点05等比数列的实际应用及数学文化 例9．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（   ） A． B． C． D． 例10．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【跟踪练习】 练习1．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 练习2．如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 练习3．现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 练习4．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 重难点06等差、等比数列的综合应用 例11．已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A．29 B．31 C．33 D．36 例12．在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，，则 C．数列为等比数列 D．若，则数列的公比为2 练习2．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 练习3．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 练习4．已知公差不为0的等差数列的前项和为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，且成等差数列，求出所有的正整数. 重难点07等比数列的范围与恒成立问题 例13．已知数列满足单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例14．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前n项和分别为，，若任取，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 练习2．等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 练习3．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是 ． 练习4．已知正项数列是等比数列，成等差数列，. (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 重难点08公共项与插项问题 例15．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 例16．（多选）已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则（   ） A． B．当时， C．当时，不是中的项 D．若是数列中的项，则 【跟踪练习】 练习1．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 练习2．设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 练习3．已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 练习4．已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 重难点09奇偶递推不同问题 【解题必备】公共项问题：因为公共项是两个数列中的相同项，所以我们可以选取数列中的项增加“较快”的数列作为参照，假设该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的第n+1项、第n+2 项、…是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律。 插项问题：求解此类问题的关键是确定原数列有多少项,新数列有多少项. 例19．已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 例20．数列满足，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足且． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前100项和． 练习2．已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 练习3．已知数到满足，，记，则 ；数列的通项公式为 ． 练习4．已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$