高二数学期末模拟卷（上海专用，测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．（白球）（答案不唯一） 3． 4．平行或异面 5．75 6．1 7．90 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A B C A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， (2分) 所以， 即数列的通项公式为. (6分) （2）由， . (9分) 因为时，，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. (14分) 18．（1）在四面体中，由，是的中点， 得， (2分) 而平面， 所以平面. (6分) （2）由（1）知，是二面角的平面角， (7分) 在等腰中，，，则， (9分) 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. (14分) 19．（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以， 得， (2分) （2）各区间的中点值为55、65、75、85、95 对应的频数分别为10、20、45、20、5 这100名大一新生每天阅读时间的平均数为 所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. (6分) （3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为 10人、20人、20人， 因此中抽取1人，记为a, 中抽取2人，记为b,c， 中抽取2人，记为d,e， 再从中任选2人进行调查， 样本空间共10个样本点， (9分) 设事件A为“恰好有1人每天阅读时间位于”， 共6个样本点， (12分) 故其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率为 . (14分) 20．（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， (2分) 设，则， ，所以. (4分) （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， （6分) 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. (10分) （3）， 设， 设平面的法向量为， 则，故可设， (11分) 设直线与平面所成角为， 则， (13分) 由于， 所以， 所以. (18分) 21．（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， (2分) 则而且，解得 (4分) （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， (6分) 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； (10分) （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， (12分) 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， (18分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _______ _____________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。 5．难度系数：0.62。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用符号表示平面经过直线： ． 2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 3．设，，是空间中的三个向量，且共面，则 ． 4．若直线平面，直线在平面上，则直线与的位置关系是 ． 5．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 ． 6．已知为等差数列，，，则 ． 7．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ． 8．已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为 ． 9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为 ． 10．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 11．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ． 12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件 C． D． 16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（    ） A．① B．②③ C．①④ D．②④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 18．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率． 20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。 5．难度系数：0.62。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用符号表示平面经过直线： ． 2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 3．设，，是空间中的三个向量，且共面，则 ． 4．若直线平面，直线在平面上，则直线与的位置关系是 ． 5．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 ． 6．已知为等差数列，，，则 ． 7．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ． 8．已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为 ． 9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为 ． 10．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 11．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ． 12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件 C． D． 16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（    ） A．① B．②③ C．①④ D．②④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 18．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率． 20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。 5．难度系数：0.7。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用符号表示平面经过直线： ． 【答案】 【解析】用符号表示平面经过直线为：. 2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 【答案】（白球）（答案不唯一） 【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球）， 故答案为：（白球）（答案不唯一） 3．设，，是空间中的三个向量，且共面，则 ． 【答案】 【解析】由向量，，是空间中的三个向量， 因为共面，则存在实数使得成立， 可得，可得. 故答案为：. 4．若直线平面，直线在平面上，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或异面 【解析】由直线平面得直线与平面没有公共点， 由直线在平面上可知直线与直线没有公共点，故直线与直线的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面. 5．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 ． 【答案】75 【解析】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即. 故答案为：75. 6．已知为等差数列，，，则 ． 【答案】1 【解析】设的公差为d，首项为，根据题意得 ，∴， ∴， 故答案为1 7．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ． 【答案】90 【解析】∵样本中产品净重小于100克的频率为 (0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本容量为＝120. ∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 故答案为：90 8．已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为 ． 【答案】 【解析】圆台的体积为. 故答案为：. 9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为 ．    【答案】 【解析】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高， 其高的关系是这样的：平面图中的高是直观图长度的倍， 在直观图中，易得的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高的长度是直观图中梯形高的倍， 故其面积是梯形面积的倍，因为梯形的面积为， 所以原梯形的面积是.    故答案为： 10．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 【答案】 【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 11．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】由于，故点在以为球心，半径为的球面上， 设到平面的距离为，则由等体积法可得, 而,所以, 故， 因此点到平面的距离的最大值为， 故答案为： 12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以或， 设， 则数列中相邻两项的差最大为， 要保证， 则数列的项有增有减， 假如中有个，增量最大为，则有项是减少的， 则必有，所以，则或， 取，取最大值，按最大连续增量计算， 有，即中有最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 14．某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 【答案】B 【解析】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为. 故选：B 15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件， 事件的基本事件有件，事件的基本事件有件， 事件的基本事件有件，事件的基本事件有件， 所以， 故，， 所以与不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确. 故选：C. 16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（    ） A．① B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【解析】①当点与重合时，，，且，所以平面， 因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②只有平面，即平面时， 才能满足对于任意给定的点，存在点，使得， 因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误； ③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误； ④只有当平面时，④才正确， 所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误． 故选：A． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由， . 因为时，，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. 18．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【解析】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率． 【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以， 得， （2）各区间的中点值为55、65、75、85、95 对应的频数分别为10、20、45、20、5 这100名大一新生每天阅读时间的平均数为 所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. （3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为10人、20人、20人， 因此中抽取1人，记为a, 中抽取2人，记为b,c， 中抽取2人，记为d,e， 再从中任选2人进行调查， 样本空间共10个样本点， 设事件A为“恰好有1人每天阅读时间位于”， 共6个样本点， 故其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率为 . 20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. （3），设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， 由于， 所以， 所以. 21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$