专题09 数列解答题（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题09 数列解答题 等差等比数列的综合问题 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且. 2．（22-23高三上·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 3．（21-22高三上·北京密云·期末）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为的“等比子列”．已知等差数列，其各项与公差均不为零． (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为．当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”． 4．（21-22高三上·北京石景山·期末）记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”. (1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由； (2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围； (3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. 数列求和问题 5．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 6．（22-23高三上·北京·期末）已知数列满足，，数列的前项和记为. (1)写出的最大值和最小值； (2)若，求的值； (3)是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由. 分段数列问题 7．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为实数，数列满足. (1)当和时，分别写出数列的前5项； (2)证明：当时，存在正整数，使得； (3)当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由. 8．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知数列满足：，且.记集合. (1)若，写出集合的所有元素； (2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； (3)求集合的元素个数的最大值. 数列的单调性 9．（23-24高三上·北京石景山·期末）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. (1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； (2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； (3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 10．（21-22高三上·北京房山·期末）若数列 满足，则称为数列．记 ． (1)写出一个满足，且的数列； (2)若，证明数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由. 数列的最值问题 11．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 12．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. (1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表； (2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值. 数列与概率综合问题 13．（21-22高三上·北京西城·期末）玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个. (1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及； (2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为. ①求； ②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案） 数列与集合综合问题 14．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 15．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 ，中元素的最大值记为，最小值记为. (1)若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值； (2)若，求的最大值及最小值； (3)若，求的最小值. 【点睛】本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想。数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，建模思想等。做考查转化与化归思想题目时，要把题设中给的条件和性质进行分析，逐条分析， 数列与导数综合问题 16．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 数列与不等式综合问题 17．（23-24高三上·北京大兴·期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记. (1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； (2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项； (3)若是数列，证明：存在正整数，使得. 18．（21-22高三上·北京东城·期末）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. (1)若数列具有性质，求数列的前项和； (2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； (3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 19．（22-23高三上·北京丰台·期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列． (1)判断以下两个数列是否为数列： 数列：3，5，8，13，21； 数列：，，5，10． (2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． (3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值． 数列中的新定义问题 20．（21-22高三上·北京丰台·期末）若有穷数列且满足，则称为M数列． (1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由； ① 1，2，4，3． ② 4，2，8，1． (2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列； (3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值． 21．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． (1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，求证：； (3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 22．（22-23高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 23．（22-23高三上·北京东城·期末）已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其. (1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求； (2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由； (3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值. 24．（21-22高三上·北京通州·期末）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”． (1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和； (2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505； (3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值． 25．（21-22高三·北京·期末）已知数列：，其中，且． 若数列满足，当时，或，则称：为数列的“紧数列”． 例如，数列：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8． (1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”； (2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为； (3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．（用关于N的代数式表示） 26．（23-24高三上·北京东城·期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. (1)若数列具有性质，求的值； (2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； (3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 27．（23-24高三上·北京西城·期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 28．（23-24高三上·北京通州·期末）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 29．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． (1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② (2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； (3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 1．（23-24高三上·北京房山·期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. (1)若具有性质“”，且，，，求； (2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； (3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 2．（22-23高三上·北京西城·期末）已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． (1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; (2)若具有性质,证明:; (3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 3．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这s个数中最大的数． (1)若数列的前4项为1，2，2，4，写出的值； (2)证明：对任意的，均有； (3)证明：存在正整数，当时，． 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数. (1)对以下两个数表，，写出，，，的值； (2)若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：； (3)当时，求的最小值. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数列解答题 等差等比数列的综合问题 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且. 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可； （2）通过集合新定义结合等差数列性质求出，然后利用反证法结合数列的单调性求得，利用等差数列定义求解通项公式即可； （3）先利用集合性质得数列是递增数列，然后利用反证法结合数列的单调性证明，由集合新定义及集合相等证明． 【详解】（1）因为，所以， 则，所以，， 又，所以，，所以； （2）由题可知，所以，所以. 若，则，，所以，，与是等差数列矛盾. 所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以. 假设存在使得.设，由得. 由得，，与是等差数列矛盾. 所以对任意都有.所以数列是等差数列，. （3）因为对于，，所以. 所以，即数列是递增数列. 先证明.假设，设正整数. 由于，故存在正整数使得，所以. 因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，. 所以，. 又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以. 再证明.由题可知. 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得.令. 若，则，即，所以.所以，所以. 若，则，所以. 所以，所以. 因为，所以.所以. 综上，且. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 2．（22-23高三上·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 【答案】(1)8 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）正整数的个正约数构成等比数列，则满足题意，即； （2）由题意可知，结合可推出是完全平方数，进而可得，由此可知为，即可求得； （3）由题意知，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论. 【详解】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列， 比如为8的所有正约数，即. 于是的一个值为8. （2）由题意可知， 因为，依题意可知，所以， 化简可得，所以， 因为，所以， 因此可知是完全平方数. 由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以， 所以为， 所以. （3）证明：由题意知， 所以， 因为， 所以 ，因为，所以， 所以，即. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，考查数列的性质，善于利用放缩法，裂项求和法. 3．（21-22高三上·北京密云·期末）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为的“等比子列”．已知等差数列，其各项与公差均不为零． (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为．当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”． 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】(1)“等比子列”可能为：；；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； (2)要使公比q最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； (3)要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题可设， ①n＝3时，“等比子列”仅可能为：则，无解； ②n＝4时，“等比子列”可能为：；；， 经验证：“等比子列”为时无解； “等比子列”为时，前4项为：2，4，6，8，通项为； “等比子列”为时，前4项为：－8，－6，－4，－2，通项为； （2）由题可知， ∵，∴为递增的等差数列，要使公比q最小，则， 即，∴，∴， 又，∴，解得； （3）由有，即. ∵，， ∴， 即，解得或. ∵，∴. 要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项， 用数学归纳法证明： ①由以上推理及题设知的前三项满足，即时结论成立. ②假设当时，结论成立，即存在使. 当时， . 即是的第项. 故时，结论成立. 由①②可知，总有是中的某一项. 综上所述，数列为数列的“等比子列”. 4．（21-22高三上·北京石景山·期末）记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”. (1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由； (2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围； (3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. 【答案】(1)、为“趋势递减数列”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由的通项公式知：是单调递减且，结合“趋势递减数列”的定义判断并说明是否为“趋势递减数列”. （2）讨论公比的范围，结合“趋势递减数列”的性质判断不同的取值下是否满足要求，即可确定范围. （3）应用充要条件的定义，由反证法结合“趋势递减数列”的性质证明的项中没有，再证的项中没有时是否为“趋势递减数列”，即可证结论. 【详解】（1）数列是“趋势递减数列”. 由通项公式知：公差为，故是单调递减数列， ∴，且，故数列是“趋势递减数列”. 数列是“趋势递减数列”. 由为奇数，为偶数，则， ∴，且，故数列是“趋势递减数列”. （2）当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意； 当时，数列为常数列，不满足题意； 当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意； 当时，此时，且，满足题意； 当时，此时，且，不满足题意； 综上，的取值范围为. （3）先证必要性： 假设存在正整数≥使得，令. 因为，为正实数，且， ∴≥，故≥，则数列从开始以后的各项为， 当≥时，，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，的项中没有. 再证明充分性： 得：， 由的项中没有，故对于任意正整数，， ∴，即. 当时，， 当时，， ∴为“趋势递减数列”. 综上：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. 【点睛】关键点点睛：第三问，分别从充分性、必要性两个方面证明结论，注意反证法的应用：假设为“趋势递减数列”存在推出矛盾. 数列求和问题 5．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值. （2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可. （3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和. 【详解】（1）由题设，，又， 所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，； 综上，. （2）证明充分性：当时，可得； 证明必要性：当时，用反证法， 假设，则矛盾. 从而； 所以的充分必要条件是，得证. （3）当时，由（2）知：，反之亦然. 当时，有中不同取值方式， 其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种， 因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次， 从而所有指数和之和为 . 【点睛】关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和. 6．（22-23高三上·北京·期末）已知数列满足，，数列的前项和记为. (1)写出的最大值和最小值； (2)若，求的值； (3)是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)，； (2)0； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据递推关系求即可； （2）由（1）及递推关系结合求出即可得解； （3）由递推关系可得出项与的关系，据此可分析得解. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 所以或或， 所以最大值为，最小值为. （2）当时，，则或，此时由知，不满足，舍去； 当时，，则或，满足，不满足，舍去； 当时，由，得或，由知满足题意，当时，不满足题意， 综上， 或，或， 所以或或， 故. （3）由，可得为整数，， 所以， 则， 所以， 若存在数列，使得，则， 又为整数，所以方程无解， 故不存在数列，使得. 分段数列问题 7．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为实数，数列满足. (1)当和时，分别写出数列的前5项； (2)证明：当时，存在正整数，使得； (3)当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当时， 当时， (2)证明见解析； (3)存在，与， 【分析】（1）利用递推公式，依次求出的值. （2）当时，，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的，根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在 （3）将分成三类，求得的表达式，，，使得，不存在实数，使得，，，使得. 【详解】（1）当时， 当时， （2）当时，， 在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列 即 当足够大时，总可以找到，则存在正整数，使得 （i）若，令，则存在正整数，使得 （ii）若，，则 令，则存在正整数，使得 综上所述，则存在正整数，使得. （3）①当时， 当时， 当时， 令，而此时为奇数，成立，又不成立，所以存在正整数，使得. ②当时， 所以数列的周期为， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得 ③当时， ，当时， 综上所述，当与，时，. 【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的通项公式，考查递推数列求和，考查分类讨论的数学思想方法，属于较难题目. 8．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知数列满足：，且.记集合. (1)若，写出集合的所有元素； (2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； (3)求集合的元素个数的最大值. 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据递推关系可求的所有元素； （2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明； （3）利用列举法可求的元素个数的最大值 【详解】（1）若，则，，， ，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故. （2）设， 若，则，因互质，故为3的倍数； 若，则即，因互质， 故为3的倍数， 依次类推，有均为3的倍数. 当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数. 当时，若，则，故为3的倍数； 若，则，故为3的倍数， 设当时，是3的倍数即为3的倍数， 若，则，故为3的倍数； 若，则，因为3的倍数，故为3的倍数， 故当时，是3的倍数也成立， 由数学归纳法可得是3的倍数成立， 综上，的所有元素都是3的倍数. （3）当，则，，，，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为1； 当时，的元素个数不超过为5， 综上，的元素个数的最大值为5. 【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决. 数列的单调性 9．（23-24高三上·北京石景山·期末）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. (1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； (2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； (3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列； （2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论； （3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论. 【详解】（1）由题意， 各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为： ，，， （2）由题意， 假设不存在使得成立， 根据数列定义可知，， 所以，则， 即， 所以，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在使得， 则存在使得成立． （3）由题意， 必要性： ，，， 则． 因为为单调递增数列， 所以对所有的，或， 否则． 因此，所有的同号或为，即， 所以为单调递增数列． 充分性： 因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以同号或为， 所以对所有的，或， 所以． 所以，即为单调递增数列． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性. 10．（21-22高三上·北京房山·期末）若数列 满足，则称为数列．记 ． (1)写出一个满足，且的数列； (2)若，证明数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)（或 ） (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据与和可考虑写出交替的数列. (2)先证必要性，根据数列是递减数列，可得，进而求得.再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可. (3)设,则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可. 【详解】（1）（或 ） （2）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以； 充分性：由于，，…，， 所以，即， 因为，所以， 所以数列是递减数列. 综上，结论得证． （3）令， 则． 因为，，……,， 所以 因为，所以为偶数， 所以为偶数． 所以要使，必须使为偶数，即整除， 亦即或． 当时， 数列的项满足，，时， 有，； 当时， 数列的项满足，，，时， 有，． 当，时，不能被整除， 所以对任意给定的整数,不存在数列使得，． 【点睛】在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明. 数列的最值问题 11．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 【答案】(1)1，2，1或3，1； (2)7； (3)511566. 【分析】(1)由题意可直接列举出数列； (2)由题意可得，分、和分别求的最小值即可得答案； (3)由题意可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，所以，再利用二次函数的性质求的最大值即可. 【详解】（1）解：当时，存在一组，满足， 又因为的各项均为正整数，且， 所以，即，且， 当时，满足条件的数列只能是：3,1； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列只有1，2，1； 当时，满足条件的数列不存在； 所以数列： 1，2，1或3,1； （2）解：由题意可知，所以， ①当时，应有数列中各项均不相同，此时有； ②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有. 若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合， 所以； ③当时，同②可得； 综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，， 所以的最小值为7； （3）解：①存在大于1的项，否则此时有； ②,否则将拆分成个1后变大； ③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有， 否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大； ④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为； ⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有， 从而有， 由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566. 【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前项和及满足集合中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论. 12．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. (1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表； (2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值. 【答案】(1)B不是典型表，C是典型表； (2)不存在； (3)为偶数时 ，为奇数时. 【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可. （2）根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在. （3）结合（2）的分析，讨论为偶数、奇数情况下的最小值. 【详解】（1）对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表； 对于数表C，当时总有成立，故数表C是典型表. （2）由题设知：当要存在典型表A使得，则需. ∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又时总有， ∴让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小. ∴如典型表，有. ∴不存在典型表A使得. （3）要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少， 当为偶数时，由（2）知：； 当为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加个“1”，即可满足典型数列，此时； 【点睛】关键点点睛：第二问，通过，结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问情况归纳为偶数时，进而推广到为奇数时. 数列与概率综合问题 13．（21-22高三上·北京西城·期末）玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个. (1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及； (2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为. ①求； ②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案） 【答案】(1),； (2)①，②24000. 【分析】（1）由古典概型的概率公式可以直接解出； （2）依题意可得，即可得到是一个等比数列，从而求出，用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知服从二项分布，即可计算出结果. 【详解】（1）由题意， . （2）①由题意可知： ②当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以 因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次， 所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时， 可以看作n趋向无穷大，由样本估计总体可知： 购买甲系列盲盒的概率近似于， 假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数， 则， 所以，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400， 所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个. 估计利润为：（元）. 数列与集合综合问题 14．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)8 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 15．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 ，中元素的最大值记为，最小值记为. (1)若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值； (2)若，求的最大值及最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)， (2)最小值为6，的最大值为6063 (3)6069 【分析】（1）根据的定义即可求解， （2）根据，即可求解， （3）根据任意相邻的6项的和，求解，即可. 【详解】（1）当时，中的元素为中的三项相加，故最大元素，最小元素. （2）最小值为6，的最大值6063. 证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列， 若，则中的每一个元素为 ，， 由题意 ，， 那么，对于任意的，总有. 同理，由题意 ， 那么，对于任意的，总有， 当时，满足：，. （3）的最小值为6069. 由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列， 中的每一个元素为 ，， 由题意 ，， 对于任意的，都有 ， 即，. 构造数列：，，， 对于数列，设任意相邻6项的和为，则 ，或 若，则 ， 若，则 ， 所以，即对这样的数列，， 又，所以的最小值为6069. 【点睛】本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想。数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，建模思想等。做考查转化与化归思想题目时，要把题设中给的条件和性质进行分析，逐条分析， 验证，运算，使得问题转化成常见的数学知识，充分利用化归思想将问题化难为简，本题的关键是将问题转化成数列的知识进行求解. 数列与导数综合问题 16．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】(1)根据新定义的理解即可得出结果； (2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围； (3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）. （2）由题意，， 即   ，则. 又数列符合题意，所以的最大值为3. （3）设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立. 当时，有； 当时，，即； 当时，有恒成立， 即当时，. 令当时，， 所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减， 即4时，. 则，即. 令，当时，， 所以在上单调递减. 又由于， 所以，存在(6，7)，使得， 所以的最大值为6． 【点睛】对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等. 数列与不等式综合问题 17．（23-24高三上·北京大兴·期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记. (1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； (2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项； (3)若是数列，证明：存在正整数，使得. 【答案】(1)是数列，不是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入定义计算即可得； （2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得； （3）由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可证明. 【详解】（1）是数列，不是数列，理由如下： 当时，，， 则，故是数列； 当时，，， 则，故不是数列； （2）若是数列，则且， 此时数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，当时，则总存在正整数，使， 与矛盾，故恒成立，， 有，， 即，，有， 则， 由随的增大而增大， 故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项； （3）由（2）得，故， 即 ， 则 ，由随的增大而增大， 且时，， 故对任意的，总存在正整数使， 即总存在正整数，使得. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式. 18．（21-22高三上·北京东城·期末）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. (1)若数列具有性质，求数列的前项和； (2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； (3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论. 【详解】（1）由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和； （2）由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： （3）要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以， 所以，所以成立 【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高. 19．（22-23高三上·北京丰台·期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列． (1)判断以下两个数列是否为数列： 数列：3，5，8，13，21； 数列：，，5，10． (2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． (3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值． 【答案】(1)数列是，数列不是； (2)不存在，理由见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断； （2）假设存在，则由已知可推得. 当时，，这与假设矛盾，所以不存在； （3）根据已知推出，进而推出，， ，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值. 【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有， 即恒成立. 对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列； 对于数列，因为不满足，所以数列不是数列. （2）不存在正实数，使得数列是数列. 说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列， 则，都有，即恒成立. 因为， 所以， 当时，，这与假设矛盾. 所以，不存在正实数，使得数列是数列. （3）因为数列是数列，所以. 所以， 所以，，，，，， 所以， 即，所以. 所以， 因为数列是整数列，所以的最小值不小于30. 假设，必有，解得， 因为，所以可取9，10，11，12. 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，，，. 以上都是的充分条件. 所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，. 数列中的新定义问题 20．（21-22高三上·北京丰台·期末）若有穷数列且满足，则称为M数列． (1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由； ① 1，2，4，3． ② 4，2，8，1． (2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列； (3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值． 【答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析 (2)证明见解析 (3)的所有取值为4或5 【分析】（1）直接根据条件检验即可； （2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列； （3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①； ②；③． 当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案. 【详解】（1）①因为，所以该数列不是M数列； ②因为，所以该数列是M数列． （2）必要性： 若数列是等差数列，设公差为， 则． 所以数列是常数列． 充分性： 若数列是常数列， 则，即． 所以或． 因为数列的各项互不相同， 所以． 所以数列是等差数列． （3）当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为．此时，符合题意； 当时，数列为．此时，符合题意； 下证当时，不存在满足题意． 令， 则，且， 所以有以下三种可能： ①； ②； ③． 当时，因为， 由（2）知：是公差为1（或−1）的等差数列． 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾． 当公差为−1时，同理得出与已知矛盾． 所以当时，不存在满足题意． 其它情况同理可得． 综上可知，的所有取值为4或5． 【点睛】方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题. 21．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． (1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，求证：； (3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 【答案】(1)数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中定义判断即可得出结论； （2）推导出，设且，分析可知为数列中的项，根据不等式的性质可得出，可得出，，，，利用累乘法可证得结论成立； （3）分析可知当时，、、成等比数列；根据（1）可知满足题意；讨论当时，由（2）可知，，当时，根据题中定义以及不等式的性质推导出，结合等比数列的定义可知不成立，从而可得出的值. 【详解】（1）解：对于数列、、、，因为，， 所以，数列、、、不具有性质； 对于数列、、、，当时，，， 所以，数列、、、不具有性质. （2）证明：因为， 因为，则为数列中的项，所以，， 设且，因为，则不是数列中的项， 所以，为数列中的项， 因为， 所以，，，，， 上述等式全部相乘可得，因此，. （3）解：当时，由（2）可知， 由题意可得，这与数列是等比数列矛盾； 当时，由（1）可知，数列、、、具有性质； 当时，由（2）可知，，① 当时，，所以，不是数列中的项， 因为，， 所以，，，，，所以，， 因为，所以，，， 所以，，，所以，，② 由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题的关键在于根据题中的定义结合不等式的性质进行推导，在求解第3问时，要充分利用题中定义结合不等式的基本性质进行推导，进而求解. 22．（22-23高三上·北京房山·期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 【答案】(1)受制约，不受制约，理由见解析 (2)且. (3)是的充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据数列新定义，判断、且是否有成立即可判断； （2）由题设可得，利用等差数列的定义写出的通项公式； （3）由新定义判断、的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论. 【详解】（1）由、且，则，而， 显然，则，故受制约， 由、且， 当，即，故； 当，即，故. 故不受制约. 综上，受制约，不受制约. （2）由、且，有， 所以，又，， 故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列， 当且，则， 当且，则， 综上，且. （3）结论：是的充分不必要条件，证明如下： 为真：受集合制约，由、且， 当，有成立，则，进而可得：①； 当，有成立，结合①有； 此时，受集合制约； 为真：受集合制约，由、且，有； 而，不一定有成立（反例：且，显然，有）， 故不一定受区间制约； 所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约； 综上，是的充分不必要条件. 23．（22-23高三上·北京东城·期末）已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其. (1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求； (2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由； (3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值. 【答案】(1)子列为：1，0，0；1，1，0；； (2)，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据的定义结合条件即得； （2）若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列，得，同理，得，同理； （3）令，得数列中不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，即可解决. 【详解】（1）由的定义以及， 可得：的长度为3的子列为：，有2个， 又的长度为的子列有个，的长度为的子列有个， 所以； （2） 理由如下： 若是的一个子列， 则为的一个子列. 若与是的两个不同子列， 则与也是的两个不同子列. 所以； 同理， 所以. 同理 所以有 （3）由已知可得，数列中恰有个1，个0. 令， 下证：. 由于， 所以的子列中含有个0，个1的子列有且仅有1 个， 设为：. 因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个， 所以. 数列中， 不含有0的子列有个， 含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有个，， 含有个0的子列有个， 所以. 所以的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 24．（21-22高三上·北京通州·期末）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”． (1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和； (2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505； (3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值． 【答案】(1)，其和为55（答案不唯一） (2)证明过程见解析 (3)505 【分析】（1）列举出一个即可；（2）根据数列的总和为5050进行证明；（3）反证法进行证明，结合第二问结论进行求解. 【详解】（1），各项和为（答案不唯一）； （2）令，取，则，即，所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505； （3）假设，即对于任意的，存在，使得，考察数列：，其中各项满足，，，于是有：，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，结合第二问结论可知：的最大值为505. 【点睛】针对于定义新数列的题目，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法，反证法等方法. 25．（21-22高三·北京·期末）已知数列：，其中，且． 若数列满足，当时，或，则称：为数列的“紧数列”． 例如，数列：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8． (1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”； (2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为； (3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．（用关于N的代数式表示） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“紧数列”的定义写出即可； （2）先证明数列从第2项开始到第项是连续正整数，再把问题转化成求满足要求的的个数为即可； （3）根据“强紧数列”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据“紧数列”的定义得 ；；；． （2）解：∵ 对任意，有或，或， 数列A的所有“紧数列”均为递增数列， ∴ ；； ；④． ∵ 数列为递增数列， 显然成立， ， ∴ ③也成立， 对④，，也即， 又， ， ∴ 数列从第2项到第项为连续正整数． ， ， ， ， ∴ 满足条件的有个， 即所有符合条件的数列A的个数为． （3）解：记，依题意，， 对，有或， ， ， 若，则，即， 若，则，即， ， 不能成立， 记， ， 则且， 若存在且，即，则， 否则，若，则，不符合题意， 因此，集合有下列三种情形， ，， 对，有， 则， 当且仅当取等号； ，其中， 对，有，对，有， ； ， 对，有， ， 综上，的最小值为． 【点睛】本题注意“夹逼思想”在数列问题中的运用；第3问中求的最小值用到了“累加法”，解题关键是对集合分类讨论． 26．（23-24高三上·北京东城·期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. (1)若数列具有性质，求的值； (2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； (3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 【答案】(1)2；2；4 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）由数列具有性质的定义可得； （2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得. （3）分、和三种情况讨论即得. 【详解】（1）由已知可得数列共有5项，所以， 当时，有， 当时，有，所以， 当时，有，所以， （2）数列A具有性质，且为奇数，令， 可得， 设， 由于当时，存在正整数，使得， 所以这项均为数列A中的项， 且， 因此一定有 即， 这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质， 以及可得，数列A为等差数列； （3）当时， 设A：，，， ，， 由于数列具有性质，且满足， 由和，得， 当时，不妨设，此时：，，此时结论成立， 当时，同理可证，所以结论成立. 当时，不妨设，反例如下： 当时，不妨设，反例如下： 综上所述，符合题意. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 27．（23-24高三上·北京西城·期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 【答案】(1)或 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）利用列举法求得正确答案. （2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得. （3）先证明，然后利用累加法求得. 【详解】（1）依题意，当，时有： 或. （2）当时， 因为与不同时在数对序列中， 所以，所以每个数至多出现次， 又因为， 所以只有对应的数可以出现次， 所以. （3）当为奇数时，先证明. 因为与不同时在数对序列中， 所以， 当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为. 对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为， 那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： ， ， …… ， ， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中， 所以， 其次，对每个不大于的偶数， 将如下个数对并为一组： ， 共得到组，将这组对数以及， 按如下方式补充到的后面， 即 . 此时恰有项，所以. 综上，当为奇数时， . 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 28．（23-24高三上·北京通州·期末）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 【答案】(1)数列和数列3，1 (2)证明见解析 (3)的最大值为512072 【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案； （2）根据存在的6减数列，可得，即，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有，即可证明结论； （3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则或， 故所有4的1减数列有数列和数列3，1. （2）因为对于，使得的正整数对有个， 且存在的6减数列，所以，得. ①当时，因为存在的6减数列， 所以数列中各项均不相同，所以. ②当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以. ③当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 综上所述，若存在的6减数列，则. （3）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大， 所以此时不是最大值，所以. 当时，若，交换的顺序后变为， 所以此时不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大， 所以此时不是最大值，所以. 若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2， 将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为， 所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式. 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2024的减数列，所以， 所以， 所以，当且仅当时，取最大值为512072. 所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072. 【点睛】难点点睛：本题考查数列新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解. 29．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． (1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② (2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； (3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 【答案】(1)、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由周期数列的定义求解即可； （2）由“同根数列”的定义求解即可； （3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件． 【详解】（1）、均是周期数列，理由如下： 因为， 所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）． 因为， 所以． 所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）． （2）假设不成立，则有，即对于，都有． 因为，，所以． 又因为，，所以． 所以， 所以，与的最小值是3矛盾． 所以． （3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件． 假设，即对于，都有． 因为， 所以， 即，及． 又时，， 所以，与的最小值是矛盾． 其次证明存在数列满足条件． 取 及， 对于，都有． 当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件． 假设，即对于，都有． 因为， 所以， 即，及． 又时，， 所以，与的最小值是矛盾． 其次证明时存在数列满足条件． 取 及， 对于，都有． 综上，当是奇数时，的最大值为； 当是偶数时，的最大值为． 【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件． 1．（23-24高三上·北京房山·期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. (1)若具有性质“”，且，，，求； (2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； (3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 【答案】(1) (2)不具有性质“”，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由具有性质“”，可得当时，，结合题意计算即可得； （2）由题意计算出通项公式后，检验是否恒等于即可得； （3）借助既具有性质“”，又具有性质“”，则当时，有，，则有，，通过运算得到，从而可验证对任意的时，是否有即可得. 【详解】（1）由具有性质“”，则当时，， 故，，，又，， 故， 即； （2）不具有性质“”，理由如下： 设，，由，， 即有，解得，故，， 则，有， 则，不恒等于，故不具有性质“”； （3）由既具有性质“”，又具有性质“”， 即当时，有，， 则有，， 由，故， 故，即，由，，则， 当，即时，有， 即对任意的时，有，即具有性质“”. 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到，，并由此得到，，从而得出. 2．（22-23高三上·北京西城·期末）已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． (1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; (2)若具有性质,证明:; (3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】(1)不具有性质,具有性质, (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【详解】（1）解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; （2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3）设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 3．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这s个数中最大的数． (1)若数列的前4项为1，2，2，4，写出的值； (2)证明：对任意的，均有； (3)证明：存在正整数，当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接写出的值即可； （2）根据题意设，则当时，，然后根据时，，即可得到证明； （3）根据题意令，然后结合（2）中的结论，设，为中最小的正数，则，然后结合条件即可得到证明. 【详解】（1） （2）对任意，存在，使得， 若或， 则或又可以写成数列中某两项的和，如 依次类推，存在，使得， 其中， 所以存在，使得， 且， 设，则当时，， 当时， 所以，对任意，均有，即. （3）令，其中，由（2）知， 由 得 所以，当时， 由（2）知 若，则，此时，当时， 若不全为， 设，为中最小的正数，则， 当某个时，必有，否则，则， 设不超过的最大整数为， 则能表示的不同值的个数不超过， 所以，对每一个，只能取有限多个值， 令，则当时，，即， 故 【点睛】本题考查了新定义求解问题，证明不等式，等式问题，综合性较强，是难题. 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数. (1)对以下两个数表，，写出，，，的值； (2)若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1)，；， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可. （2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可. （3）因为，分情况讨论①若或时；②若或；③若，进行求解. 【详解】（1），；，. 由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变.因为为奇数，，所以，均不为0. （2）当或时，不妨设，即，. 若，结论显然成立； 若，不妨设，，则，，. 所以，结论成立. 当且时，不妨设，，，， 则当时，；当时，. 因为当，时，，， 所以. 所以. 同理可得：，，. 所以. （3）当时，的最小值为.对于如下的数表，. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下面证明：. 设中恰有个正数，中恰有个正数，. ①若或，不妨设，即，. 所以当时，. 由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则，且 ，. 所以. ②由①设且.若或，不妨设，则由（2）中结论知：. 因为， 所以. ③由①②设且. 若，则由（2）中结论知：. 因为， 所以. 若，，不妨设，，，且，由（2）中结论知：.所以. 若数表中存在为1，将其替换为后得到数表. 因为，， 所以. 所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小. 所以不妨设. 因为，， 所以，故的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$