第07讲 抛物线与方程（十二大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第07讲 抛物线与方程 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 4．必记结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于两点，如图： （1） （2）,即当时,弦长最短为 （3）为定值 （4）弦长(为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． （6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. 重难点01抛物线的定义与标准方程 【解题必备】若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 例1．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【答案】 【详解】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 例2．已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 【答案】D 【详解】 设，代入抛物线，解得：， 又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得： 化简得： 解得：或18. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 则，故焦点坐标为. 故选：C. 练习2．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 练习3．若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 【答案】5 【详解】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 练习4．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程. (1)焦点关于准线的对称点为； (2)关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12. 【答案】(1)标准方程为.焦点坐标，准线方程为 (2)标准方程为.焦点坐标，准线方程为 【详解】（1）由题意知，可设抛物线的标准方程为，准线方程为， 又∵焦点关于准线的对称点为， ∴，解得， ∴所求抛物线的标准方程为.焦点坐标，准线方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为， 直线与抛物线交于M，N两点，则， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得得， 故所求抛物线的标准方程为.焦点坐标，准线方程为. 重难点02抛物线的轨迹方程 【解题必备】求轨迹方程一般有两种方法:①直接法,根据题意直接列方程确定点的轨迹方程;②定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程 例3．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离， 则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为， 故选：B . 例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 练习2．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定圆的圆心，半径为2， 设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得， 所以， 化简得：． ∴动圆圆心轨迹方程为． 故选：D． 练习3．已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 【答案】，作图见解析 【详解】设M的坐标是，则根据题意可知， 化简得． 当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线， 且不包括端点， 当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线， 如图所示：    练习4．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为，         由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得， 则，又，则， 所以，，                 设点的坐标为，则，即，代入， 可得，又，故； 则点的轨迹方程为：. 重难点03与抛物线有关的距离和最值问题 【解题必备】解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 例5．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：D.    例6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 练习2．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 练习3．（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 练习4．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知焦点，，. 因为，直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 记关于直线的对称点为，则， 则当，，三点共线时，周长， 即周长的最小值为. 故答案为：. 重难点04焦半径问题 例7．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 例8．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 练习2．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可抛物线的焦点坐标为，准线方程为； 设，易知，解得， 代入抛物线方程可得，解得. 故选：D 练习3．抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 . 【答案】 【详解】如图： 不妨设点在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为. 则，又，所以，所以. 所以. 故答案为： 练习4．已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 【答案】 【详解】如图：    依题意知，设，， 因为为的重心，所以，即． 由抛物线的定义可知，所以边的中线长为， 同理可得边和边的中线长分别为，. 所以三边中线长之和为． 故答案为： 重难点05抛物线的几何性质 【解题必备】有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 例9．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 例10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则 . 【答案】0 【详解】依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，则有， 抛物线的焦点为，令直线BF的方程为， 由消去y并整理得：，设，则有，因此有， 而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得. 所以. 故答案为：0 【点睛】思路点睛：解答直线与圆锥曲线的题，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 【跟踪练习】 练习1．焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得， 则，所以的斜率为1，且的中点为， 则的垂直平分线方程为，即， 又的垂直平分线方程为， 又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点， 所以点的坐标为． 故选：B． 练习2．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 练习3．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 练习4．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    重难点06直线与抛物线的位置关系 【解题必备】将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，一般消元转化为y的方程，然后分和进行讨论 例11．已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 例12．当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【答案】答案见解析 【详解】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 【跟踪练习】 练习1．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为，即， ，整理得到，， ，解得，直线方程为. 综上所述：满足条件的直线有2条. 故选：C 练习2．直线与曲线和圆都相切，则 ． 【答案】 【详解】直线与曲线相切，则消去y得， 于是，而，解得， 则直线与圆相切，所以. 故答案为： 练习3．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点， 符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线， 故选：D 练习4．若直线与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合． 【答案】. 【解析】根据题中条件，得到方程组只有一组实数解，即方程仅有一个解，分别讨论，两种情况，即可得出结果. 【详解】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去，得，即①. （i）当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解， （ii）当，即时，方程①是关于的一元二次方程． 令，解得(舍去)或， 所以原方程组有唯一解； 综上，实数的取值集合是. 【点睛】思路点睛： 求解圆锥曲线与直线交点个数问题时，一般联立直线与曲线方程，根据判别式进行判断即可. 重难点07抛物线的焦点弦 【解题必备】解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. 例13．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 例14．已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°. 因为F到准线的距离为6， 所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 故选：B.    【跟踪练习】 练习1．过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（   ） A． B．14 C．15 D．16 【答案】D 【详解】记抛物线的焦点为，则.记切点为， 因为圆的圆心为， 所以，，所以， 由对称性，不妨设切点在第一象限，则直线AB的方程为. 设，，联立方程组得， 所以， 所以. 故选：D. 练习2．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形， 有，又，所以， 联立，得， 设，则， 由抛物线的定义，. 故选：B.    练习3．（多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 练习4．如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为 .    【答案】 【详解】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点， 设，则， 由抛物线的定义得，， 所以在中，， 在中，，所以， 又， 则，解得，所以，，， 由，得，即，解得， 所以抛物线方程为. 故答案为：.    重难点08抛物线的实际应用 【解题必备】抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 例15．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 例16．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴， 且，，米，， 所以，设抛物线的解析式为， 代入得解得，所以， 当时，解得，所以， 所以（米）， 所以杠杆AB的长度为米； （2）由（1）米，，设，且， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得， 因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B， 所以，， 所以，解得， 经检验，是分式方程的根，符合题意， 所以，由勾股定理得米， 因为A，B分别是PS和QR的中点，所以米， 所以米， 即等腰梯形的周长为米. 【跟踪练习】 练习1．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 练习2．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 练习3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 练习4．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）设，由题意，，即， 又，联立解得或（舍），当时， ， 故的坐标为. （2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即； 令可得或（舍），即； 所以， 所以航天器降落点与观测点A之间的距离为3. 重难点09抛物线中的三角形、四边形面积问题 【解题必备】点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由求斜率,再由点斜式求解; 例17．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，，则， 所以，可得， 又，故线段中点的横坐标为4. 故选：B 例18．已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. (1)求的方程； (2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）是上一点， ，则， 由抛物线的定义，知， ，则， 的方程为. （2）由（1），知. 设直线，即， 代入，整理得， ， ， 又点到的距离为， ， 即，解得或（舍去）， 直线的方程为，即. 【跟踪练习】 练习1．如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 练习2．抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 【答案】 【详解】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为， 由抛物线定义可得, 所以可得点坐标横坐标为，代入抛物线可得点纵坐标为， 又因的面积为，所以可得， 所以可求得，则抛物线方程为. 故答案为： 练习3．已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，直线斜率为， 由题可知：点，则直线的斜率为：； 因为直线斜率与直线的斜率之积为， 则，解得， 又因为点，过点的直线与抛物线交于两点， 故直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为，则， 整理可得，即，解得. （2）由题可知，直线垂直平分线段，    设线段的中点为，直线的斜率为， 由（1）知，则，即， 且，所以直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 可得， 设，则， 所以， 且点到直线的距离为， 所以的面积为. 练习4．已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． （2）由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 重难点10抛物线的中点弦问题 例17．已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】 由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点， 则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，， 如图所示． 则，当直线AB过焦点时取等号，此时． 设、，直线AB的斜率为k， 由，两式相减，得，所以， 即，得，所以，又，所以． 故选：B． 例18．已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 练习1．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设， 则两式相减，可得， 所以，即， 所以，所以， 代入直线，得， 所以，所以，解得. 故选：B 练习2．已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：抛物线，即，其焦点坐标为，A正确； 对于B：，即①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得 代入①得，B正确； 对于C：设的中点为，则， 由，得，其在抛物线内部， 即，可得，C错误； 对于D：直线的方程为， 令得，因为，所以，D正确； 故选：ABD . 练习3．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【答案】 【详解】设，，因为为的中点， 所以，， ，两式作差得：， 所以 所以，则，因为直线过， 代入得：. 故答案为： 练习4．已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意,解得, 所以抛物线的方程为. （2）设,,则, 所以, 即：, 所以, 抛物线方程为,准线方程为 重难点11抛物线的定点问题 【解题必备】直线过定点的解题步骤： （1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； （2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； （3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； （4）由所得等式恒成立可整理得到定点. 例21．已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，， 所以直线l一定过定点. 故选：A． 例22．已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【详解】（1）将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 （2）∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 【跟踪练习】 练习1．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，， 因为的斜率不为，设方程为，， 由，化简的， 所以， 又由，得， 所以方程为，即； （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：， 又因为， 所以，， 所以直线经过原点. 练习2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 练习3．已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． (1)若，P在抛物线上，求的最小值； (2)若．求证：直线AB必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 设， ∵P在抛物线上，∴． ∴． ∴当，即时，的最小值为． （2） 显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，， 如图： 联立得， 有两个交点故． ∴，． ∵， ∴． ∴，得， ∴或（舍）． ∴直线AB过定点． 练习4．已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4. (1)求抛物线的方程. (2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义可知， ， 抛物线的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，,，,， 联立方程，消去得， ，， 抛物线的准线方程为，， 直线的斜率为，直线的方程为， 令得，， 同理可得， ， ， 直线的方程为， 故直线恒过定点． 重难点12抛物线的定值问题 【解题必备】求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例23．已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 例24．已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)，； (2)为定值，理由见解析. 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的p一样，在抛物线上， 故抛物线方程为.故为椭圆上的点， 则， 椭圆方程； （2）是定值，理由如下： 设，则 由韦达定理：，又因为， 所以，同理 所以为定值. 【跟踪练习】 练习1．设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.    (1)求抛物线的方程； (2)如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）因为点的横坐标为2，即，解得， 故点的坐标为， 由题意可知，直线，不与轴平行，设，， 设直线：，即， 代入抛物线的方程得，即， 则，故， 所以， 即 设直线：，即， 同理可得，则， 即 直线的斜率， 所以直线的斜率为定值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线与的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点的坐标. 练习2．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【答案】(1)，或 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：， 由， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以：， 即为定值1. 练习3．已知抛物线焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足分别为，四边形的面积为18． (1)求抛物线的方程； (2)已知经过定点的直线交抛物线于，则是否为定值？若是，求出定值并证明，若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)定值，且定值为9，证明见解析 【详解】（1）如图， 因为，所以，又， 四边形的面积为， 抛物线的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，所以令直线 联立得， 又， 令， 所以， ， 是定值，且定值为9． 练习4．已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【详解】（1）由O为坐标原点,且，得直线的方程为， 代入圆的方程，得， 解得或，则， 将点P的坐标代入的方程，得，则， 故C1的方程为 （2）由（1）可知，，，    因为直线不与坐标轴平行，所以直线斜率存在且不为， 设直线l的方程为， 联立， 整理得，. 设，则， 所以点M的横坐标为, 所以，则， 所以，故T是定值,且定值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第07讲 抛物线与方程 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 4．必记结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于两点，如图： （1） （2）,即当时,弦长最短为 （3）为定值 （4）弦长(为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． （6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. 重难点01抛物线的定义与标准方程 【解题必备】若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 例1．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 例2．已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 【跟踪练习】 练习1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 练习2．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 练习3．若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 练习4．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程. (1)焦点关于准线的对称点为； (2)关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12. 重难点02抛物线的轨迹方程 【解题必备】求轨迹方程一般有两种方法:①直接法,根据题意直接列方程确定点的轨迹方程;②定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程 例3．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【跟踪练习】 练习1．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 练习2．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 练习4．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 重难点03与抛物线有关的距离和最值问题 【解题必备】解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 例5．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪练习】 练习1．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 练习3．（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 练习4．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 重难点04焦半径问题 例7．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 例8．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 练习2．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 练习3．抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 . 练习4．已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为 ． 重难点05抛物线的几何性质 【解题必备】有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 例9．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 例10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则 . 【跟踪练习】 练习1．焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 练习3．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 练习4．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 重难点06直线与抛物线的位置关系 【解题必备】将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，一般消元转化为y的方程，然后分和进行讨论 例11．已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【跟踪练习】 练习1．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 练习2．直线与曲线和圆都相切，则 ． 练习3．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习4．若直线与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合． 重难点07抛物线的焦点弦 【解题必备】解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. 例13．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 例14．已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【跟踪练习】 练习1．过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（   ） A． B．14 C．15 D．16 练习2．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 练习3．（多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 练习4．如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为 .    重难点08抛物线的实际应用 【解题必备】抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 例15．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 例16．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 【跟踪练习】 练习1．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 练习2．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 练习3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 练习4．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点的坐标； (2)求航天器降落点与观测点A之间的距离. 重难点09抛物线中的三角形、四边形面积问题 【解题必备】点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由求斜率,再由点斜式求解; 例17．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例18．已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. (1)求的方程； (2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 【跟踪练习】 练习1．如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 练习2．抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 练习3．已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 练习4．已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 重难点10抛物线的中点弦问题 例17．已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 例18．已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 练习1．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 练习3．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 练习4．已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 重难点11抛物线的定点问题 【解题必备】直线过定点的解题步骤： （1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； （2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； （3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； （4）由所得等式恒成立可整理得到定点. 例21．已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 例22．已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【跟踪练习】 练习1．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 练习2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 练习3．已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． (1)若，P在抛物线上，求的最小值； (2)若．求证：直线AB必过定点． 练习4．已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4. (1)求抛物线的方程. (2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点. 重难点12抛物线的定值问题 【解题必备】求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例23．已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 例24．已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由. 【跟踪练习】 练习1．设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.    (1)求抛物线的方程； (2)如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值. 练习2．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 练习3．已知抛物线焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足分别为，四边形的面积为18． (1)求抛物线的方程； (2)已知经过定点的直线交抛物线于，则是否为定值？若是，求出定值并证明，若否，请说明理由． 练习4．已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$