高二数学期末模拟卷（沪教版2020上海专用，测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+平面解析几何）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．平行、相交、异面 2． 3． 4．/ 5．10 6．/ 7．充要 8．③ 9． 10．3π 11．1 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 D C D A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）圆，圆心为（1，1），半径为 圆，圆心为（0，0），半径为 （2分） 圆心距，故圆和相交. （6分） （2）由（1）可得圆和相交， 联立两圆方程，， （8分） 并上下相减可得圆和公共弦所在的直线方程为. （14分） 18．（1）依题意可知圆锥的底面半径，高， （2分） 所以圆锥的体积为. （6分） （2）连接，由于是的中点，所以， 由于是弧的中点，所以， 根据圆锥的几何性质可知， （8分） 所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角. （9分） 在中，，所以. 即直线CD与平面PAB所成角的大小为. （14分） 19．（1）由题意可得，，， ，， （2分） 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （6分） （2）设点，已知， 可得， （8分） 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. （14分） 20．（1）当时，， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （4分） （2）当时，这个数有1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则； （5分） 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，； （8分） 综上所述：， （10分） （3）时，， 当时，； 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， （14分） 当时，，当时，， 当时，， 由关于k单调递增， 故当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． （18分） 21．（1）解:由椭圆定义可得:, , 故得证; （4分） （2）由题知椭圆, 所以, 因为, 所以直线l的方程为: , 联立, 可得: , 解得: , 代入直线方程可得: ,, 因为, 所以, , , （7分） 所以, 分别取的中点为, 连接如图所示: 所以,,, ,, , 在及中分别由余弦定理可得: , 代入数值可得:, 解得:, （8分） 因为二面角为直二面角,, 所以平面, 因为分别是中点, 所以, 所以平面, 故, 所以, 在中,由余弦定理可得: , 因为分别是中点, 所以, 所以直线夹角即为异面直线和所成角, 因为异面直线和所成角的大小范围为, 所以异面直线和所成角大小为; （10分） （3）由椭圆定义可得: , 由题知,直线斜率存在, 设,, 因为C在第二象限, 所以或, 联立, 化简可得:, （11分） 由韦达定理可得: , , （12分） 过向做垂线,垂足为, 还原到平面直角坐标系上可知轴, 故, 所以 , 因为, 即, 化简可得, 两边平方可得, 解得或（舍去） 故, 因为或, 故. （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _______ _____________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+平面解析几何。 5．难度系数：0.66。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间中两条直线的位置关系有 ． 2．双曲线的渐近线方程为 ． 3．已知圆心且经过点圆的标准方程为 ． 4．直线与直线的夹角为 ． 5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ． 6．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为 ． 7．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 条件． 8．“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是 ． ①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32. 9．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围 ． 10．已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 15．如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则面 D．若，，则 16．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知圆和圆. (1)证明：圆和相交； (2)求圆和公共弦所在的直线方程. 18．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. (1)求该圆锥的体积； (2)求直线CD与平面PAB所成角的大小. 19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 20．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 21．已知椭圆的左､右焦点分别为和,经过点且斜率为k的直线l交椭圆于B,C两点,其中点C在第二象限.如图所示,将的上半部分（半椭圆）沿着长轴翻折使得点C翻折至点A且二面角为直二面角.设三角形和三角形的周长分别为和. (1)证明:； (2)若,求异面直线和所成角的大小； (3)若,求k的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+平面解析几何。 5．难度系数：0.66。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间中两条直线的位置关系有 ． 【答案】平行、相交、异面 【解析】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面. 故答案为：平行、相交、异面. 2．双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，，， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 3．已知圆心且经过点圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 4．直线与直线的夹角为 ． 【答案】/ 【解析】直线的斜率为，倾斜角为； 直线的斜率为，倾斜角为， 所以两条直线的夹角为. 故答案为： 5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ． 【答案】10 【解析】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，解得：. 故答案为：10 6．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为 ． 【答案】/ 【解析】将这5部书籍依次记为，其中《九章算术》为编号， 则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间，共有10个样本点， 其中抽到《九章算术》的样本点为，共有4个样本点， 所以所求概率. 故答案为： 7．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 条件． 【答案】充要 【解析】充分性，，，，由线面平行的性质得到； 必要性，，故， 又，，不在平面内，由线面平行的判定得， 所以，，则“”是“”的充要条件． 故答案为：充要 8．“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是 ． ①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32.    【答案】③ 【解析】由数据的茎叶图可知，最大为53，最小为17，,则极差为53-17=36，故①正确； 其中仅有数据34出现了两次，其余数据都只有1次，故众数为34，②正确； 把数据按从小到大的顺序排列，第五个和第六个数据分别为27和32，该组数据共有10个，由是整数， 故第50百分位数应该是第五个和第六个数据的平均数，即，而不是27，故③错误； 运用平均数公式可得平均数为，故④正确. 故答案为：③. 9．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围 ． 【答案】 【解析】设，，图像如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即， 解得：（舍），或 当直线过点时，可求得直线的斜率， 则利用图像得：实数的范围为 故答案为： 10．已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】3π 【解析】构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体， 此四面体各棱为， 而此四面体的外接球即为正方体的外接球． 此球的直径为正方体的体对角线，即， 所以该球表面积S=4πR2=． 故答案为3π． 11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】1 【解析】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 【答案】 【解析】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故A错误； 对于B，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故B错误； 对于C，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故C错误； 对于D，若向量，，共面，则，即，解得，所以向量，，共面，故D正确. 故选：D. 14．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 15．如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则面 D．若，，则 【答案】D 【解析】    如图所示，对于选项A，易知，底面，底面， 所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，故A正确； 对于选项B，易知，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 显然平面即平面，故B正确；    如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面，平面，所以平面， 显然平面， 所以平面平面， 由平面可得平面，故C正确； 对于D项，显然时，与不平行，故D不正确. 故选：D 16．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 【答案】A 【解析】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段， 由，得，， 而，当且仅当或时取等号， 即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方， 因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内， 直线交轴分别于点，， 所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；    命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然， 即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部， 曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍， 显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1， 曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1， 因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题. 故选：A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知圆和圆. (1)证明：圆和相交； (2)求圆和公共弦所在的直线方程. 【解析】（1）圆，圆心为（1，1），半径为 圆，圆心为（0，0），半径为 圆心距，故圆和相交. （2）由（1）可得圆和相交， 联立两圆方程，， 并上下相减可得圆和公共弦所在的直线方程为. 18．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. (1)求该圆锥的体积； (2)求直线CD与平面PAB所成角的大小. 【解析】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积为. （2）连接，由于是的中点，所以， 由于是弧的中点，所以， 根据圆锥的几何性质可知， 所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角. 在中，，所以. 即直线CD与平面PAB所成角的大小为. 19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【解析】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 20．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 【解析】（1）当时，， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）时，， 当时，； 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于k单调递增， 故当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 21．已知椭圆的左､右焦点分别为和,经过点且斜率为k的直线l交椭圆于B,C两点,其中点C在第二象限.如图所示,将的上半部分（半椭圆）沿着长轴翻折使得点C翻折至点A且二面角为直二面角.设三角形和三角形的周长分别为和. (1)证明:; (2)若,求异面直线和所成角的大小; (3)若,求k的值. 【解析】（1）解:由椭圆定义可得:, , 故得证; （2）由题知椭圆, 所以, 因为, 所以直线l的方程为: , 联立, 可得: , 解得: , 代入直线方程可得: ,, 因为, 所以, , , 所以, 分别取的中点为, 连接如图所示: 所以,,, ,, , 在及中分别由余弦定理可得: , 代入数值可得:, 解得:, 因为二面角为直二面角,, 所以平面, 因为分别是中点, 所以, 所以平面, 故, 所以, 在中,由余弦定理可得: , 因为分别是中点, 所以, 所以直线夹角即为异面直线和所成角, 因为异面直线和所成角的大小范围为, 所以异面直线和所成角大小为; （3）由椭圆定义可得: , 由题知,直线斜率存在, 设,, 因为C在第二象限, 所以或, 联立, 化简可得:, 由韦达定理可得: , , 过向做垂线,垂足为, 还原到平面直角坐标系上可知轴,故, 所以 , 因为, 即, 化简可得, 两边平方可得, 解得或（舍去） 故, 因为或, 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+平面解析几何。 5．难度系数：0.66。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间中两条直线的位置关系有 ． 2．双曲线的渐近线方程为 ． 3．已知圆心且经过点圆的标准方程为 ． 4．直线与直线的夹角为 ． 5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ． 6．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为 ． 7．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 条件． 8．“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是 ． ①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32. 9．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围 ． 10．已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 15．如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则面 D．若，，则 16．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知圆和圆. (1)证明：圆和相交； (2)求圆和公共弦所在的直线方程. 18．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点. (1)求该圆锥的体积； (2)求直线CD与平面PAB所成角的大小. 19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 20．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 21．已知椭圆的左､右焦点分别为和,经过点且斜率为k的直线l交椭圆于B,C两点,其中点C在第二象限.如图所示,将的上半部分（半椭圆）沿着长轴翻折使得点C翻折至点A且二面角为直二面角.设三角形和三角形的周长分别为和. (1)证明:； (2)若,求异面直线和所成角的大小； (3)若,求k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$