专题02 等式与不等式（6大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题02 等式与不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 2（23-24高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 3（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 不等式及其性质 1（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4（多选）（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 由不等式求值或取值范围 1（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 2（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 3（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 比较大小 1（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 2（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 不含参数一元二次不等式的解法 1（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 6（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 均值不等式及其应用 1（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 4（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 5（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6（23-24高二下·北京海淀·期末）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 7（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 含参数一元二次不等式的解法 1（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 4（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 5（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 6（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数，当时，；当，. (1)求，的值； (2)解关于的不等式：且. 一元二次方程根的分布问题 1（23-24高一上·北京海淀·期中）关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2（23-24高一上·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 3（23-24高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 4（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 【答案】6 【分析】直接解方程求解答案即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：6 2（23-24高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案. 【详解】一元二次方程的两个实根分别为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 3（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为：． 不等式及其性质 1（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 2（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 3（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 4（多选）（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 由不等式求值或取值范围 1（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 2（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以，解得， 于是. 又，， 所以，即. 故答案为：. 3（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 比较大小 1（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 2（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【详解】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 3（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 4（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B、D. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为， 所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 不含参数一元二次不等式的解法 1（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 2（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 3（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 4（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 5（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， ， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：AD. 6（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 均值不等式及其应用 1（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 2（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 3（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为. 故选：B． 4（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 5（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 6（23-24高二下·北京海淀·期末）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 7（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，，， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为. 故选：A 含参数一元二次不等式的解法 1（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 2（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 3（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 4（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围. 【详解】①当时，解得，不符合题意； 故，关于的不等式，即， ②当时，不等式即，解得或， 即它的解集为，不满足题意； ③当时，不等式即， 由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，， 由题意，即，解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为： 5（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式解集可得是的两个根，利用根与系数关系求参数值； （2）由题意有，讨论、、求不等式解集. 【详解】（1）由题设的解集为，即是的两个根， 所以. （2）由题意， 当时，解得或，故解集为； 当时，解得，故解集为； 当时，解得或，故解集为； 6（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数，当时，；当，. (1)求，的值； (2)解关于的不等式：且. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系，其中二次不等式解集的端点就是对应二次方程的根，由韦达定理即可求出和的值； （2）解含参二次不等式，可以根据二次函数的图象解不等式. 【详解】（1）由题意可知：的两根为， 故，即得 ， 所以； （2）由（1）可知：， 即， 解方程，即， 解得：， 当 时，即， 所以解集为. 一元二次方程根的分布问题 1（23-24高一上·北京海淀·期中）关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 【详解】解：方程有两个实数根，△， ， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴 所以， 可得， 或， ， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键． 2（23-24高一上·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 3（23-24高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 4（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【详解】（1）由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. （2）由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. （3），所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$