专题01 集合与常用逻辑用语（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 1（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 2（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 3（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 5（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 集合间的基本关系 1（23-24高一上·广东梅州·期末）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 2（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 4（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 5（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 集合的基本运算 1（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 全称量词与存在量词 1（23-24高一上·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4（多选）（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选题）下列命题是假命题的有（    ） A． B． C． D．，方程恰有一解 充分条件与必要条件 1（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3（23-24高一上·天津红桥·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 容斥定理的应用 1（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 2（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 根据交并补混合运算确定集合或参数 1（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2（多选）（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 3（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 根据命题的真假求参数 1（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 根据充分必要条件结果求参数 1（多选）（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 2（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 3（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 集合新定义 1（23-24高一上·北京·期末）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 2（23-24高一上·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 集合的含义与表示 1（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 2（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 3（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 5（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】集合新定义 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 6（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】集合新定义、列举法表示集合 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 7（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【知识点】集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 集合间的基本关系 1（23-24高一上·广东梅州·期末）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 2（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，B对，ACD错. 故选：B． 3（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【知识点】集合新定义、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 4（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合包含关系求得的值，从而得解. 【详解】因为，，， 所以或，即或， 当时，；当时，，都符合题意. 故选：C. 5（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】由题意知，又，且， 故，即a的取值范围为． 故答案为： 集合的基本运算 1（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 【详解】因为， 所以，又 所以， 故选：B 2（23-24高一上·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可. 【详解】 ， ，. 故选：B． 4（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由解得或， 所以 . 故选：B. 全称量词与存在量词 1（23-24高一上·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 2（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故选：B 3（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断非命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】分别判断两个命题的真假即可. 【详解】当时，，故命题为假命题，命题为真命题； 当时，，故命题为真命题，命题为假命题； 故和都是真命题. 故选:B 4（多选）（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选题）下列命题是假命题的有（    ） A． B． C． D．，方程恰有一解 【答案】AD 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，代入数值，即可判断选项. 【详解】A.，，故A错误； B.，得，故B正确； C.当和2时，满足成立，故C正确； D.当时，方程为，无解，故D错误. 故选：AD 充分条件与必要条件 1（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】由集合的包含关系即可判断. 【详解】由可得， 显然， 所以“”是“必要不充分条件. 故选：B 2（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】甲：，乙：,根据不等式性质，知道甲可以推出乙，但是乙推不出甲. 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 3（23-24高一上·天津红桥·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】应用特殊值法结合既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】当时，,所以是的不充分条件； 当时，,所以是的不必要条件. 故选：D. 容斥定理的应用 1（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【知识点】容斥原理的应用 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 2（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 根据交并补混合运算确定集合或参数 1（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 2（多选）（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】AD 【知识点】补集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，集合，集合，则A， 若 ，则实数的取值范围是； 若 ，则实数的取值范围是， 故选：AD. 3（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 根据命题的真假求参数 1（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 2（23-24高一上·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 根据充分必要条件结果求参数 1（多选）（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 2（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 3（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 集合新定义 1（23-24高一上·北京·期末）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不存在；理由见解析 (3)8 【知识点】反证法证明、集合新定义、子集的概念 【分析】（1）根据的强子集的定义，即可容易求得； （2）利用反证法假设存在的强子集，设为正整数， ，则，代入化简得，与为正整数矛盾，证明不存在的强子集． （3）设， 若不是的弱子集，可有最多能包含中的一个元素以及中的元素，一共7个元素，令中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，得不是的弱子集，分类讨论当和时，不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【详解】（1）是的弱子集，不是的弱子集． 理由如下： 中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以是的弱子集． 中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱子集． （2）不存在的强子集． 理由如下： 假设存在的强子集，不妨设为正整数， ，则为正整数，， 则，代入中， 所以， 所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集． （3）设， 若不是的弱子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素，一共7个元素， 令中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱 子集，当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的弱子集， 当时，中至少有一个集合是的子集， 此时中一定存在两数之和为2的正整数幂， 即的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，所以的最小值为8． 【点睛】本题主要为集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法：反证法和分类讨论法. 2（23-24高一上·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 【答案】(1)2，1； (2)最大值为4个； (3)证明见解析． 【知识点】判断两个集合的包含关系、集合的应用、集合新定义 【分析】（1）直接根据定义计算； （2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明； （3）设，， ，，则且 ，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可． 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设， 令其中() 则，， ，则， 当，且()时， 由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数． 若是奇数时，则中等于1的个数为1或3， 所以 ， 且． 将上述集合中的元素分成如下四组： 经检验，每组中两个元素，均有， 所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素． 所以集合中元素的个数不超过4个． 当且时，或，所以 又集合满足条件． 所以集合中元素个数最大值为4个． （3）设， ， ， 则且 ， 从集合中任取个两两互不相同的元素， 若存在两个不同元素同时属于一个，则， 记， 所以，存在，使得； 若任意两个不同元素都不同时属于一个， 则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾． 综上，存在，使得． 【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$