第七章 统计案例（期末复习课件）高二数学上学期北师大版

高二数学上学期·期末复习大串讲 专题07 统计案例 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 5大常考点：知识梳理、思维导图 8个题型典例剖析+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.直线拟合 1．散点图 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 2．曲线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合． 3．直线拟合 若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条________附近波动，此时就可以用一条________来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 直线 直线 考点透视 考点2. 一元线性回归方程 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．由直线方程Y＝a＋bX计算出来的值a＋bxi(x＝1，2，…n)，与实际观测值yi的差异尽可能小．换句话说，a，b的取值使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a2＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．线性回归方程 直线方程Y＝________称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线，，是这个线性回归方程的系数．其中 ＋X 考点透视 考点3.相关系数 1．样本(线性)相关系数：一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数，为了计算的方便，再给出如下式子：r＝ 考点透视 考点3.相关系数 2．样本相关系数与相关程度 样本(线性)相关系数r的取值范围是[－1，1]. |r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越强； |r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越弱． 当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量______相关； 当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量______相关； 当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． 1 0 正 负 考点透视 考点4.2×2列联表 　 1.2×2列联表给出了成对分类变量数据的 . 2.定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 交叉分类频数 考点透视 考点5.独立性检验的基本思想 1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立性的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．公式：χ2＝. 3．判断方法 (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.一元线性回归方程的特性 　 【例题2】已知x，y的取值如下表： 由所给数据在散点图上的位置分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.95x＋，则＝(　　) A．1.45　　　B．1.55　　　C．1.65　　　D．1.80 x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 解析：由题意，得＝＝4，＝＝5.25.∵y与x线性相关，且＝0.95x＋，∴5.25＝0.95×4＋，解得＝1.45.故选A. 答案：A 题型剖析 题型2.求线性回归方程 【例题2】某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利润y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间有如下一组数据： 已知＝280，＝45 309，＝3 487. (1)求； (2)求纯利润y与每天销售件数x的线性回归方程； (3)估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元？ x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 题型剖析 题型2.求线性回归方程 解析：(1)＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， ＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86. (2)设线性回归方程为＝x＋，则＝＝≈4.75 ＝－＝79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求线性回归方程为＝4.75x＋51.36. (3)当x＝10时，y∧＝98.86，估计每天销售10件这种服装时，可获纯利润为98.86元． 题型剖析 题型3.线性回归分析 【例题3】某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表： 但其中数据污损不清，经查证＝9.32，＝40.17，＝0.55. (1)求y关于t的线性回归方程(系数精确到0.01)； (2)公司经营期间的广告宣传费xi＝(单位：万元)(i＝1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．(毛利润等于销售金额减去广告宣传费) 参考公式及数据：≈1.414，≈2.646. 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y(万件) y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 题型剖析 题型3.线性回归分析 解析：(1)由题中和附注中的参考数据，得 ＝4，＝28, ＝0.55， ＝＝40.17－4×9.32＝2.89， 又＝≈1.331， ∴＝＝≈0.103， ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92， 所以y关于t的线性回归方程为＝0.10t＋0.92. (2)当t＝8时，代入线性回归方程，得＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)， 所以第8个月的毛利润为z＝10×1.72－＝17.2－2×1.414＝14.372(万元)． 因为14.372<15，所以预测第8个月的毛利润不能突破15万元． 题型剖析 题型4. 相关关系的判断 【例题4】(多选题)如图所示的两个变量不具有相关关系的是(　　) 解析：A是确定的函数关系；B中的点大都分布在一条曲线周围；C中的点大都分布在一条直线周围；D中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．故选AD. 答案：AD　 题型剖析 题型5.线性相关程度的判断 【例题5】某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 求水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱． 相关系数及线性回归直线方程系数公式： 题型剖析 题型5.线性相关程度的判断 解析：由已知数据计算可知，＝30，≈399.3， ∴相关系数r＝≈0.97 由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强． 题型剖析 题型6.对独立性检验思想的理解 【例题6】为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：   未发病 发病 合计 未接种疫苗 20 60 80 接种疫苗 80 40 120 合计 100 100 200 则下列说法正确的是(　　) A.至少有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关” B.至多有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关” C.至多有99%的把握认为“发病与未接种疫苗无关” D.“发病与未接种疫苗有关”的错误率至少有0.01% 答案：A 题型剖析 题型6.对独立性检验思想的理解 解析：χ2＝＝>6.635 所以至少有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关”，故选A. 题型剖析 题型7.独立性检验的应用 【例题7】某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．是否有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？ 题型剖析 题型7.独立性检验的应用 解析：根据题目所给数据得如下2×2列联表： 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝≈13.097>6.635. 所以有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关．   合格品 次品 合计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场 493 17 510 合计 1 475 25 1 500 题型剖析 题型8.独立性检验的综合应用 【例题8】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的频率分布直方图． 题型剖析 题型8.独立性检验的综合应用 (1)若频率分布直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数． (2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1 000名的学生进行了调查，得到下列2×2列联表，试问能否认为视力与学习成绩有关？ 视力 学习成绩 合计 名次在1～50名 名次在951～1 000名 近视 41 32 73 不近视 9 18 27 合计 50 50 100 (3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年级名次在1～50名的概率． 题型剖析 题型8.独立性检验的综合应用 解析：(1)由图可知第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人． 因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，公差小于0， 所以后四组的频数依次为27，24，21，18. 所以视力在5.0以下的人数为3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×＝820. (2)由公式计算得χ2＝≈4.110>3.841 所以有95%的把握认为视力与学习成绩有关． (3)依题意得，6人中年级名次在1～50名的有2人， 年级名次在951～1 000名的有4人， 则从6人中任取2人的情况有 ＝8种，所以所求概率为. 押题预测 03 PART 题型剖析 1．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是(　　)   y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d A.ad－bc越小，说明X和Y关系越弱 B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强 C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强 D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强 答案：C 题型剖析 解析：列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度， 由χ2＝ 当(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X与Y的关系越强． (ad－bc)2越接近0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大． 题型剖析 2．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x(百件)与单位成本y(元)满足回归直线方程＝100.36－14.2x，则以下说法正确的是(　　) A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 解析：＝－14.2<0表示产量每增加100件，单位成本约下降14.2元，故选A. 答案：A 题型剖析 3．已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是(　　) A．y＝x2－1 B．y＝－x2＋1 C．y＝x－1 D．y＝－x＋1 解析：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于B，y＝－x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于C，y＝x－1，当x增大时，y的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；对于D，y＝－x＋1，当x增大时，y的值一定减小，两个变量负相关，符合题意；故选D. 答案：D 题型剖析 4．对两个变量x，y的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是(　　) x 10 9 8 7 6 5 y 2 3 3.5 4 4.8 5 A.负相关 B．正相关 C．先正后负相关 D．先负后正相关 解析：根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关． 答案：A 题型剖析 5．某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如下表： 根据上表可得回归直线方程为＝1.3x＋，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为________万元． 使用年限x(单位：年) 2 3 4 5 6 维修费用y(单位：万元) 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 解析：＝＝4，＝＝5， 则中心点为(4，5)，代入回归直线方程可得＝5－1.3×4＝－0.2，＝1.3x－0.2. 当x＝14时，＝1.3×14－0.2＝18(万元)， 即估计使用14年时，维修费用是18万元． 答案：18 题型剖析 6.在研究某种药物对“H7N9”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据，对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对照组150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表． (2)试问该种药物对治疗“H7N9”病毒是否有效？ 题型剖析 解析：(1)2×2列联表如下： (2)由(1)知χ2＝≈7.317>6.635. 故我们有99%的把握认为该种药物对“H7N9”病毒有治疗效果．     存活数 死亡数 合计 服用药物 132 18 150 未服药物 114 36 150 合计 246 54 300 $$