第23讲 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（2大考点+题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第23讲 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 课程标准 学习目标 1 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的相互关系，能从函数图象角度解释方程的解和不等式的解集。 2 掌握运用一次函数图象求解一元一次方程和一元一次不等式的方法，以及利用方程和不等式的知识辅助分析函数问题。 3 培养学生综合运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题的能力，体会数学知识的内在联系和在实际生活中的广泛应用。 1. 清晰认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式在概念和表达式上的关联。 2. 会灵活运用三者关系进行解题，如通过函数图象求解方程和不等式，或用方程、不等式辅助分析函数性质。 3. 体会数学知识系统性和连贯性带来的精妙之处，激发深入探究数学知识融合应用的热情。 知识点一、一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型01 通过直线与坐标轴交点解方程 1．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 【分析】首先利用待定系数法把（2，3）（0，1）代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b＝0的解即可． 【解答】解：∵y＝kx+b经过（2，3）（0，1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， x+1＝0， 解得：x＝﹣1， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式． 2．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　　． 【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【解答】解：∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 3．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是 　　． 【分析】根据图象：得到当y＝0时，x＝3，由此可以求得方程kx+b＝0的解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（3，0） ∴当y＝0时，x＝3， 即方程kx+b＝0的解是x＝3． 故答案为：x＝3． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 题型02 一次函数与一元一次不等式 1．如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 【分析】根据图象求出P的坐标，根据图象可以看出当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方，即可得出答案． 【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1）， 当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方， 即kx+b＞ax， 故选：D． 【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当x＜2时kx+b＞ax是解此题的关键． 2．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．无法确定 【分析】求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上边的自变量的取值范围． 【解答】解：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上边时的自变量的取值范围是x＜﹣1． 故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x＜﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键． 3．一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 【分析】根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，结合一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），得到一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0），根据不等式写出解集即可． 【解答】解：根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b， ∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0）， ∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0）， ∵k＜0， ∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＜3， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键． 4．一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的部分自变量和对应函数值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y1 … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 … y2 … 1 2 3 4 5 … 则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是 　 　． 【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断． 【解答】解：根据表可得y1＝kx+b中y随x的增大而减小； y2＝mx+n中y随x的增大而增大．且两个函数的交点坐标是（﹣1，2）． 则当x＜﹣1时，kx+b＞mx+n． 故答案为：x＜﹣1． 【点评】本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键． 1．已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质得到k＞0，而k＜﹣b，则﹣k+b＜0，所以一次函数y＝kx﹣k+b的图象经过第一、三、四象限． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0． ∵k＜﹣b， ∴b＜0． ∴﹣k+b＜0． ∴一次函数y＝kx﹣k+b的图象经过第一、三、四象限． 当y＝0时，kx﹣k+b＝0，此时x＝11． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 2．若点（﹣3，m）、（2，n）都在直线y＝﹣4x+1图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 【分析】由题意k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣3＜2，即可得出m＞n． 【解答】解：∵k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣3＜2， ∴m＞n． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1 【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，然后解关于x的不等式即可． 【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得，﹣k+b＝0， 解得b＝k， 则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0， 即k（x﹣2+1）＞0， 而k＞0， 所以x﹣2+1＞0， 解得x＞1． 故选：D． 方法二： 一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移2个单位得y＝k（x﹣2）+b， ∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）， ∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＞0）的图象过点（1，0）， 由图象可知，当x＞1时，函数y＝k（x﹣2）+b＞0， ∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＞1， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键． 4．如图，表示阴影区域的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，yx三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案． 【解答】解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线yx右上方的部分， 故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答． 5．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 【分析】观察函数图象，写出直线y1＝k1x+b在x轴上方和直线y2＝k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝k1x+b＝0，则x＞﹣1时，y1＝k1x+b＞0， 当x＝3时，y2＝k2x+b＝0，则x＜3时，y2＝k2x+b＞0， 所以当﹣1＜x＜3时，k1x+b＞0，k2x+b＞0， 即不等式组的解集为﹣1＜x＜3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 　x＞﹣2　． 【分析】根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集． 【解答】解：由题意及图象得：不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2 【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键． 7．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为　x＜1　． 【分析】根据y＝x+1确定a的值，进而可得P点坐标，由图象可得在直线x＝1的左边x+1＜kx+b，进而可得不等式解集． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+1过点P（a，2）， ∴2＝a+1， 解得：a＝1， 则不等式x+1＜kx+b的解集为x＜1， 故答案为：x＜1． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确确定a的值． 8．如图，根据图象回答问题：当x 　＞0　时，y＜﹣1． 【分析】根据图象，得出该函数的增减性，即可进行解答． 【解答】解：由图可知，该函数经过（0，﹣1），y随x的增大而减小， ∴当x＞0时，y＜﹣1， 故答案为：＞0． 【点评】本题主要考查了一次函数和不等式，解题的关键是根据图形，得出自变量的取值范围． 9．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为 　x＞﹣1　． 【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集． 【解答】解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方， 所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1． 故答案为x＞﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　2　． 【分析】只有过正方形对角线交点的直线，才能把正方形分成面积相等的两部分．点B的坐标为（4，4），则y＝mx﹣2经过点（2，2），代入直线解析式得m＝2． 【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分 ∴直线必经过正方形的中心 ∵点B的坐标为（4，4） ∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2 【点评】本题用到的知识点为：过平行四边形对角线交点的直线，把平行四边形分成面积相等的两部分． 11．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3）． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+b≤2的解集． 【分析】（1）将A、B两点代入一次函数，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出函数值小于等于2的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3）， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 故答案为：． （2）观察图像可知：kx+b≤2时，x≥﹣2， 故答案为：x≥﹣2． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是：y＝﹣x+6； （2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6， S△OAC6×4＝12； （3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2， 解得：m， 则直线的解析式是：yx， ∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时， ∴当M的横坐标是4＝1， 在yx中，当x＝1时，y，则M的坐标是（1，）； 在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）． 则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）． 当M的横坐标是：﹣1， 在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）； 综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出是解题关键． 13．已知一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APB为直角三角形？ （2）当t为何值时，△APB为等腰三角形？ 【分析】（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，分两种情况：①当∠APB＝90°时，②当∠ABP＝90°时，分别求解即可； （2）分三种情况：①当AP＝BP时，②当AP＝AB时，③当AB＝PB时，利用等腰三角形的性质求出即可． 【解答】解：（1）∵一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B， 当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0），B（0，4）， ∴OA＝5，OB＝4， ∴AB， △APB为直角三角形，分两种情况： ①当∠APB＝90°时，点P与点O重合， ∴AP＝OA＝5， ∵点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． ∴当t的值为5时，△APB为直角三角形； ②当∠ABP＝90°时，设P（a，0）， ∴BP，AP＝5﹣a， ∵S△ABPAP•OBAB•PB， ∴4（5﹣a），解得a， ∴AP＝5﹣a， ∴当t的值为时，△APB为直角三角形； 综上，当t的值为5或时，△APB为直角三角形； （2）由题意得AP＝t， ①当AP＝BP时，AP＝BP＝t， OP＝OA﹣AP＝5﹣t， 在Rt△OBP中，BP2＝OB2+OP2， ∴t2＝42+（5﹣t）2， ∴t， ∴当t的值为时，△APB为等腰三角形； ②当AP＝AB时，AP＝AB， ∴当t的值为时，△APB为等腰三角形； ③当AB＝PB时， ∵AB＝PB，OB⊥AP， ∴OP＝OA＝5， ∴AP＝10， ∴当t的值为10时，△APB为等腰三角形； 综上，当t的值为或或10时，△APB为等腰三角形． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想与分类思想思考问题． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3 不能围成三角形，直接写出k的值． 【分析】（1）将点C坐标代入次函数yx+m可得m的值，设l2的表达式为：y＝nx，由点C（2，4），即可求解； （2）设M（a，a+5），根据S△AOM＝2S△BOC，即可求解； （3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即可求解． 【解答】解：（1）一次函数yx+m的图象l1与l2交于点C（2，4）， 将点C坐标代入yx+m得：42+m，解得：m＝5， 设l2的表达式为：y＝nx， 将点C（2，4）代入上式得：4＝2n，解得：n＝2， 故：l2的表达式为：y＝2x； （2）点M是直线yx+m上的一个动点， 由（1）得m＝5， ∴yx+5， ∴A（10，0），B（0，5）， ∵C（2，4）， ∴S△BOC5×2＝5， 设M（a，a+5）， S△AOM＝2S△BOC＝10， ∴S△AOM10×|a+5|＝10，解得：a＝6或14， ∴点M的坐标为（6，2）或（14，﹣2）； （3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形， 即k或k＝2， 当l3过点C（2，4）时，l1，l2，l3不能围成三角形， 将点C坐标代入y＝kx+2并解得：k＝1； 故当l3的表达式为：yx+2或y＝2x+2或y＝x+2． 故k或2或1． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+1分别交y轴，x轴于点A，B，直线l2：yx+t分别交x轴，直线l1于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接AC，若AC＝BC，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝90°，求t的值． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令x＝0和y＝0时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出AC，根据AC＝BC，即可求得t的值； （3）过点D作DH⊥x轴于H，设P（m，0），则可证明△PAO≌△DPH（AAS），即可得出AO＝PH＝1＝|6﹣6t﹣m|，OP＝DH＝|3﹣2t|＝|m|，分情况讨论m的值，求解即可． 【解答】解：（1）∵直线l1：yx+1分别交y轴，x轴于点A，B， 令x＝0，则y＝1， 故点A的坐标为（0，1）， 令y＝0，则x＝﹣3， 故点B的坐标为（﹣3，0）， ∵直线l2：yx+t分别交x轴，直线l1于点C，D， 令y＝0，则x+t＝0， 解得：x＝﹣2t， ∴点C的坐标为（﹣2t，0）， ∵直线l2：yx+t与直线l1交于点D， ∴， 解得， 故点D的坐标为（6﹣6t，3﹣2t）； 综上，A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0），D点坐标为（6﹣6t，3﹣2t）； （2）连接AC， ∵A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0）， ∴BC＝﹣2t﹣（﹣3）＝3﹣2t，AC， ∵AC＝BC， ∴3﹣2t， 解得：t； （3）过点D作DH⊥x轴于H， 设P（m，0）， ∵∠APD＝90°， ∴∠APO+∠DPH＝90°，∠APO+∠PAO＝90°， ∴∠DPH＝∠PAO， ∵∠AOP＝∠PHD＝90°，AP＝PD， ∴△PAO≌△DPH（AAS）， ∴AO＝PH＝1＝|6﹣6t﹣m|，OP＝DH＝|3﹣2t|＝|m|， 当m＝3﹣2t时，|6﹣6t﹣3+2t|＝|3﹣4t|＝1， 解得t或t＝1（A，D重合舍去）， 故t， 当m＝﹣（3﹣2t）时，|6﹣6t+3﹣2t|＝|9﹣8t|＝1， 解得t或t＝1（舍）， 故 t， 综上，t或t． 【点评】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 课程标准 学习目标 1 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的相互关系，能从函数图象角度解释方程的解和不等式的解集。 2 掌握运用一次函数图象求解一元一次方程和一元一次不等式的方法，以及利用方程和不等式的知识辅助分析函数问题。 3 培养学生综合运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题的能力，体会数学知识的内在联系和在实际生活中的广泛应用。 1. 清晰认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式在概念和表达式上的关联。 2. 会灵活运用三者关系进行解题，如通过函数图象求解方程和不等式，或用方程、不等式辅助分析函数性质。 3. 体会数学知识系统性和连贯性带来的精妙之处，激发深入探究数学知识融合应用的热情。 知识点一、一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型01 通过直线与坐标轴交点解方程 1．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 2．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　　． 3．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是 　　． 题型02 一次函数与一元一次不等式 1．如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 2．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．无法确定 3．一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 4．一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的部分自变量和对应函数值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y1 … 5 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 … y2 … 1 2 3 4 5 … 则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是 　 　． 1．已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 2．若点（﹣3，m）、（2，n）都在直线y＝﹣4x+1图象上，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 3．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1 4．如图，表示阴影区域的不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 6．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 　 　． 7．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1＜kx+b的解集为　 　． 8．如图，根据图象回答问题：当x 　 　时，y＜﹣1． 9．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　 　． 11．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3）． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+b≤2的解集． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 13．已知一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APB为直角三角形？ （2）当t为何值时，△APB为等腰三角形？ 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3 不能围成三角形，直接写出k的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+1分别交y轴，x轴于点A，B，直线l2：yx+t分别交x轴，直线l1于点C，D． （1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； （2）连接AC，若AC＝BC，求t的值； （3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝90°，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$