专题01三角形与全等三角形（6题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题01 三角形与全等三角形（6题型） 三角形基础知识 1．（2023秋•瓯海区校级期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•浦江县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是 　 　． 3．（2023秋•台州期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2023秋•东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 　 　．（只填一个即可） 5．（2023秋•瓯海区校级期末）在△ABC中，若∠A＝22°，∠B＝68°，则该三角形是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（2023秋•新昌县期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 7．（2023秋•奉化区期末）如图，AB⊥CD于点O，点E、F分别是射线OA、OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M、N．若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则∠EFO为（　　） A．45°或30° B．30°或60° C．45°或60° D．67.5°或45° 8．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 全等三角形的性质 1．（2023秋•台州期末）如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．若BC＝4cm，BF＝6cm，则BE长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（2023秋•宁波期末）如图所示，△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，如果∠DAB＝50°，∠DBA＝40°，那么∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．10° D．5° 3．（2023秋•婺城区期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，β（α＞β），另一个三角形有一个角为70°，则α﹣β＝　 　°． 4．（2023秋•钱塘区期末）若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝60°，则∠C＝　 　度． 全等三角形的判定与性质的综合 1．（2023秋•婺城区期末）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90° 2．（2023秋•滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠A＝90°，∠B＝30° B．AB＝3，BC＝4 C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40° D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3 3．（2023秋•建昌县期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，∠AGE＝∠AGF，∠EAG＝∠FAG，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程． 5．（2023秋•海曙区期末）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 6．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB＝AE，∠B＝∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是（　　） A．AC＝AF B．∠AFC＝∠AFE C．EF＝BC D．∠FAB＝∠B 7．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 8．（2023秋•东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝41°，则∠ABE＝　 　． 9．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　 　． 10．（2023秋•海曙区校级期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 11．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ACD． （2）求证：BE⊥AC． （3）若BD＝4，CD＝3，求BE的长． 12．（2023秋•台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF． 13．（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 14．（2023秋•舟山期末）如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE与CD交于点F，BF＝CF，BD＝CE，并连接AF． （1）求证：AF平分∠BAC． （2）若BD＝4，DF＝3，求AB的长． 全等三角形的应用 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去 2．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（　　） A．BE B．AE C．DE D．DP 3．（2023秋•诸暨市期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 角平分线及其应用 1．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 2．（2023秋•台州期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，S△ABD＝3，则AB的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 3．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　 　． 4．（2024春•鄞州区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF+BE＝BC；③AE+AF＝2AH；④S四边形BEDC＝2S△IBC，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 线段垂直平分线及其应用 1．（2023秋•南浔区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 2．（2023秋•江北区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2023秋•宁波期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线交点 4．（2023秋•海曙区校级期末）如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A＝69°，则∠PBC的度数是（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 5．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 6．（2023春•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与AC、BC交于点F、G，，若△CGF的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．9 B．10 C．13 D．1 1．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•北仑区期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 5．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，中线AD，CE交于点O，连接DE，若△DOE的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 6．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．40° 7．（2023秋•台州期末）下列数据不能确定△ABC形状和大小的是（　　） A．AB＝6，∠C＝60°，∠B＝40° B．AB＝5，BC＝3，∠C＝90° C．∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50° D．AB＝7，BC＝5，AC＝10 8．（2023秋•台州期末）P是△ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 9．（2023秋•义乌市期末）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 10．（2023秋•桐乡市期末）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝11，AC＝5，则BE的长（　　） A．3 B．2 C．5 D．4 11．（2023秋•海曙区校级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为（　　） A．5.5cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4.5cm2 12．（2023秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE＝5cm，BE＝8cm，则AC的长为 　 　cm． 13．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED＝DF，连结BF． （1）求证：△BDF≌△CDE． （2）当AD⊥BC，∠BAC＝130°时，求∠DBF的度数． 14．（2023秋•滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 　 　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形与全等三角形（6题型） 三角形基础知识 1．（2023秋•瓯海区校级期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC的高． 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 2．（2023秋•浦江县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是 　1：2　． 【分析】根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出△ABD和△ACD的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB＝2AC， ∴， 即2AC•DE＝AC•DF， ∴2DE＝DF， ∴DE：DF＝1：2， 即DE与DF的长度之比是1：2， 故答案为：1：2． 3．（2023秋•台州期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后根据取值范围即可解答． 【解答】解：∵三角形两边的长分别是3和5， ∴第三边的取值范围为：5﹣3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8， ∴A符合题意． 故选：A． 4．（2023秋•东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 　10　．（只填一个即可） 【分析】根据三角形的三边关系定理可得7﹣5＜x＜7+5，再解即可． 【解答】解：设第三边长为x，由题意得： 7﹣5＜x＜7+5， 则2＜x＜12， 故答案为：10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）． 5．（2023秋•瓯海区校级期末）在△ABC中，若∠A＝22°，∠B＝68°，则该三角形是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， 又∵∠A＝22°，∠B＝68°， ∴∠C＝180°﹣22°﹣68°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：A． 6．（2023秋•新昌县期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【分析】先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 7．（2023秋•奉化区期末）如图，AB⊥CD于点O，点E、F分别是射线OA、OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M、N．若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则∠EFO为（　　） A．45°或30° B．30°或60° C．45°或60° D．67.5°或45° 【分析】先根据角平分线和平角的定义可得：∠MEN＝90°，分4种情况讨论，①当∠MEN＝3∠M时，②当∠MEN＝3∠N时，③当∠N＝3∠M时，④当∠M＝3∠N时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【解答】解：∵EM平分∠FEB，EN平分∠BEG， ∴∠MEB＝∠FEM，∠NEB＝∠NEG， ∴∠MEB+∠NEB＝（∠FEB+∠BEG）＝90°， ∴∠MEN＝90°； ①当∠MEN＝3∠M时 ∴∠M＝∠MEN＝30°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOB＝45°， ∴∠MEO＝45°﹣30°＝15°， ∴∠FEO＝30°， ∴∠EFO＝90°﹣30°＝60°； ②当∠MEN＝3∠N时， ∴∠N＝∠MEN＝30°， ∴∠M＝90°﹣30°＝60°＞45°， 此种情况不成立； ③当∠N＝3∠M时， 设∠M＝x°， ∴x+3x＝90， x＝22.5， ∴∠MEO＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠FEO＝45°， ∴∠EFO＝90°﹣45°＝45°； ④当∠M＝3∠N时， 设∠N＝y°， ∴y+3y＝90， y＝22.5， ∴∠M＝67.5°＞45° 此种情况不成立； 综上所述，∠EFO的度数为60°或45°； 故选：C． 8．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数． 【分析】根据题意易得∠CBD＝24°，∠BEF＝90°，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用∠AFB＝∠BEF+∠CBD求解即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝48°， ∴， ∵AE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEF+∠CBD＝90°+24°＝114°． 全等三角形的性质 1．（2023秋•台州期末）如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．若BC＝4cm，BF＝6cm，则BE长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】由全等三角形的性质可知EF＝BC，然后问题可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝4cm， ∴BE＝BF﹣EF＝6﹣4＝2（cm）， 故选：B． 2．（2023秋•宁波期末）如图所示，△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，如果∠DAB＝50°，∠DBA＝40°，那么∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．10° D．5° 【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝40°，根据角与角间的和差关系计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，∠DBA＝40°， ∴∠DBA＝∠CAB＝40°， ∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝50°﹣40°＝10°． 故选：C． 3．（2023秋•婺城区期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，β（α＞β），另一个三角形有一个角为70°，则α﹣β＝　10　°． 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，β（α＞β），另一个三角形有一个角为70°， ∴α＝70°或β＝70°， 当α＝70°，β＝80°， ∵α＞β， ∴这种情况不存在， 当β＝70°，α＝80°， ∴α﹣β＝80°﹣70°＝10°， 故答案为：10． 4．（2023秋•钱塘区期末）若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝60°，则∠C＝　50　度． 【分析】由全等三角形的性质得到∠B＝∠E＝60°，又∠A＝70°，由三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠E＝60°， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 故答案为：50． 全等三角形的判定与性质的综合 1．（2023秋•婺城区期末）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90° 【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能． 【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC， 故A选项不符合题意； B、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC， 故B选项符合题意； C、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC， 故C选项不符合题意； D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC， 故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（2023秋•滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠A＝90°，∠B＝30° B．AB＝3，BC＝4 C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40° D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：A、C中的条件没有边的长度，不能画出唯一的△ABC，故A、C不符合题意； B、只是知道两边的长度，还缺少两边的夹角或第三边的长度，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意； D、已知两角和这两角的夹边，由ASA判定能画出唯一的△ABC，故D符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•建昌县期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，∠AGE＝∠AGF，∠EAG＝∠FAG，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（ASA）， 故选：B． 4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程． 【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：选一个条件；②AB＝DE（答案不唯一），理由如下： ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC≌△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 5．（2023秋•海曙区期末）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【分析】由SSS即可判断△ODE≌△OCE． 【解答】解：∵点C、D处的刻度相同， ∴EC＝ED， ∵OE＝OE，OC＝OD， ∴由SSS判定△ODE≌△OCE． 故选：B． 6．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB＝AE，∠B＝∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是（　　） A．AC＝AF B．∠AFC＝∠AFE C．EF＝BC D．∠FAB＝∠B 【分析】由全等三角形的性质即可判断． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AB＝AE，AC＝AF，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠AFE，∠CAB＝∠FAE， ∴∠AFC＝∠AFE， 故选：D． 7．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DC＝DF， ∵△ACD的面积为12， ∴×CD×6＝12， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：C． 8．（2023秋•东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝41°，则∠ABE＝　131°　． 【分析】如图，证明△CGD≌△BHE（SAS），得到∠GCD＝∠HBE，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【解答】解：如图， 由图可知：GD＝EH＝1，CG＝BH＝4，∠CGD＝∠BHE＝90°， ∴△CGD≌△BHE（SAS）， ∴∠GCD＝∠HBE， ∵CG∥BD， ∴∠CAB＝∠ABD， ∵∠CFB＝∠CAB+∠GCD＝41°， ∴∠ABD+∠HBE＝41°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBH+∠HBE＝90°+41°＝131°； 故答案为：131°． 9．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　12　． 【分析】在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK．证明△AEG≌△DCK（SAS），由全等三角形的性质得出DK＝AG，∠AGE＝∠DKC，证出∠B＝∠DKB，得出DB＝DK，则可得出答案． 【解答】解：在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK． ∵EF⊥AB， ∴EB＝EG， ∴∠B＝∠EGB， ∵∠EGB＝∠BAE+∠AEG，∠B＝∠BAE+∠BCD， ∴∠AEG＝∠BCD， ∵AE＝CD，EG＝CK， ∴△AEG≌△DCK（SAS）， ∴DK＝AG，∠AGE＝∠DKC， ∴∠EGB＝∠DKB， ∴∠B＝∠DKB， ∴DB＝DK， ∴BD＝AG， ∴AD＝BG， ∵BG＝2BF＝12， ∴AD＝12， 故答案为：12． 10．（2023秋•海曙区校级期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△CDE； （2）由全等三角形的性质可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°． ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． （2）解：∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∴∠AED＝37°+45°＝82°． 11．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ACD． （2）求证：BE⊥AC． （3）若BD＝4，CD＝3，求BE的长． 【分析】（1）利用HL证明Rt△ADC≌△Rt△BDF，即可； （2）利用Rt△ADC≌Rt△BDF，得∠C＝∠BFD，从而证得∠C+∠DBF＝90°，即可得出结论； （3）利用Rt△ADC≌Rt△BDF得AD＝BD＝4，从而求得BC＝BD+CD＝7，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADC≌△Rt△BDF（HL）． （2）证明：∵Rt△ADC≌Rt△BDF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD＝90°， ∴∠C+∠DBF＝90°， ∴BE⊥AC． （3）解：∵Rt△ADC≌△Rt△BDF， ∴AD＝BD＝4， ∵CD＝3，BD＝4， ∴BC＝BD+CD＝7，， ∵ ∴， ∴． 12．（2023秋•台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF． 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFD＝∠BCA，然后根据线段的和差得到AC＝DF． 【解答】解：∵AF＝CD， ∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF， 又∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF． 13．（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据ASA证明三角形全等即可． 【解答】（1）证明：∵F是高AD和高BE的交点， ∴∠1+∠C＝∠2+∠C＝90°， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴BD＝AD， 在△BFD与△CAD中， ， ∴△BFD≌△CAD（ASA）． 14．（2023秋•舟山期末）如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE与CD交于点F，BF＝CF，BD＝CE，并连接AF． （1）求证：AF平分∠BAC． （2）若BD＝4，DF＝3，求AB的长． 【分析】（1）证△BEC≌△CDB得CD＝BE，根据可得△ABC是等腰三角形，再由“三线合一”可得AF平分∠BAC； （2）证△ADF≌△AEF得AD＝AE，根据AB2＝BE2+AE2即可求解． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， 在Rt△BEC和Rt△CDB中， ， ∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）， ∴CD＝BE， ∵， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， ∵点F是△ABC两条高CD，BE的交点， ∴根据“三线合一”可得AF平分∠BAC； （2）解：∵AF平分∠BAC， ∴DF＝EF＝3， ∵BD＝4， ∴， ∴BE＝BF+EF＝8， 在Rt△ADF和Rt△AEF中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）， ∴AD＝AE， ∵AB2＝BE2+AE2， ∴（4+AD）2＝82+AD2， 解得：AD＝6， ∴AB＝4+6＝10． 全等三角形的应用 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解答】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 故选：A． 2．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（　　） A．BE B．AE C．DE D．DP 【分析】根据平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AP平分∠BAC． ∴∠EAD＝∠FAD， 在△ADE与△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）， ∴DF＝DE， 即所换长度应与DF的长度相等， 故选：C． 3．（2023秋•诸暨市期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等． 【解答】证明：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， 故选：B． 角平分线及其应用 1．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式求解即可． 【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴， ∴， 解得DE＝4cm， 故选：A． 2．（2023秋•台州期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，S△ABD＝3，则AB的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得DE＝DF＝2，根据三角形的面积公式计算AB即可． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DE＝2， ∴DF＝2， ∵S△ABD＝3， ∴＝3， ∴， 解得AB＝3． 故选：D． 3．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　15　． 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D， ∴OD＝OE＝5， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：15． 4．（2024春•鄞州区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF+BE＝BC；③AE+AF＝2AH；④S四边形BEDC＝2S△IBC，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠BIC＝135°，再求出∠CID＝45°，然后求出∠DIF＝45°，判断出①正确；延长FI交BC于G，利用“角边角”证明△CIG和△CIF全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝CF，再求出∠BIE＝∠BIG＝45°，然后利用“角边角”证明△BIG和△BIE全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再根据CG+BG＝BC等量代换即可得到CF+BE＝BC，判断出②正确；过点G作GM⊥AB于M，连接EF、EG，根据全等三角形对应边相等可得IE＝IG，然后求出∠IEG＝45°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EG＝EF，再求出∠EGM＝∠AEF，然后利用“角角边”证明△AEF和△MGE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝ME，再根据AM＝AE+EM等量代换，IH⊥AB整理，判断出③正确；求出EF∥BD，根据平行线间的距离相等，利用等底等高的三角形的面积相等可得S△IED＝S△IFD，然后求出S△CDE＝S△CID+S△IED，再求出S△BIE+S△CED＝S△IBC，然后求出S四边形BEDC＝2S△IBC，判断出④正确． 【解答】解：∵∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CID＝45°， ∵IF⊥IC， ∴∠DIF＝45°，故①正确； 延长FI交BC于G， 在△CIG和△CIF中， ∠ACE＝∠BCE，CI＝CI，∠CIF＝∠CIG＝90°， ∴△CIG≌△CIF（ASA）， ∴CG＝CF， ∵∠BIE＝∠CID＝45°，∠BIG＝∠DIF＝45°， ∴∠BIE＝∠BIG＝45°， 在△BIG和△BIE中， ∠BIE＝∠BIG，BI＝BI，∠ABD＝∠CBD， ∴△BIG≌△BIE（ASA）， ∴BG＝BE， ∵CG+BG＝BC， ∴CF+BE＝BC，故②正确； 过点G作GM⊥AB于M，连接EF、EG， ∵△BIG≌△BIE， ∴IE＝IG， ∴∠IEG＝45°， ∵CE垂直平分FG， ∴EG＝EF， ∵∠FEG＝∠IEG+∠IEF＝45°+45°＝90°， ∴∠EGM+∠MEG＝∠AEF+∠MEG＝90°， ∴∠EGM＝∠AEF， 在△AEF和△MGE中， ∠EGM＝∠AEF，∠A＝∠EMG＝90°，EG＝EF， ∴△AEF≌△MGE（AAS）， ∴AF＝ME， ∵AM＝AE+EM， ∵IG＝IF，IH⊥AB， ∴AM＝2AH， ∴AE+AF＝2AH，故③正确； ∵∠IEF＝∠BIE＝45°， ∴EF∥BD， ∴S△IED＝S△IFD， ∴S△CDE＝S△CID+S△IED， ∴S△BIE+S△CED＝S△IBC， ∴S四边形BEDC＝2S△IBC，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 线段垂直平分线及其应用 1．（2023秋•南浔区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，进而得出∠PAC＝∠C＝50°，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， 根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C＝50°， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝95°﹣50°＝45°， 故选：C． 2．（2023秋•江北区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5， ∴EB＝EA＝5， ∴BC＝EB+EC＝5+2＝7． 故选：B． 3．（2023秋•宁波期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线交点 【分析】根据角平分线性质推出即可． 【解答】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF， 连接PA、PB、PC， ∵PD＝PE， ∴PB是∠ABC的角平分线， 同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线， 故P是△ABC角平分线交点， 故选：B． 4．（2023秋•海曙区校级期末）如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A＝69°，则∠PBC的度数是（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 【分析】连接AP，由MP为线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AP＝BP，同理可得AP＝CP，等量代换可得AP＝BP＝CP，然后根据等边对等角可得∠ABP＝∠BAP，∠PAC＝∠ACP及∠PBC＝∠PCB，由已知的∠BAC的度数求出∠BAP+∠CAP的度数，等量代换可得∠ABP+∠ACP的度数，同时根据三角形的内角和定理可得∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP，进而得到∠PBC+∠PCB的度数，再根据两角相等，即可求出所求角的度数． 【解答】解：连接AP，如图所示： ∵MP为线段AB的垂直平分线， ∴AP＝BP， ∴∠ABP＝∠BAP， ∵PN为线段AC的垂直平分线， ∴AP＝CP， ∴∠PAC＝∠ACP，BP＝CP， ∴∠PBC＝∠PCB， 又∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝69°， ∴∠ABP+∠ACP＝69°， ∵∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝180°﹣∠BAC＝111°， ∴∠PBC+∠PCB＝111°﹣69°＝42°， 则∠PBC＝∠PCB＝21°． 故选：C． 5．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　26　cm． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD＝DA，求出△ABC的周长即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BD＝DA，AB＝2AE＝10（cm） ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+（AD+AC+CD）＝10+16＝26（cm）， 故答案为：26． 6．（2023春•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与AC、BC交于点F、G，，若△CGF的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．9 B．10 C．13 D．18 【分析】连接AE，AG，由线段的垂直平分线的定义得到AD＝BD，FA＝FC，根据三角形的面积计算即可得到答案． 【解答】解：连接AE，AG， ∵AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与AC、BC交于点F、G， ∴AD＝BD，FA＝FC， ∴S△AFG＝S△CFG＝3， ∴S△ACG＝2S△CFG＝6， ∵EG＝BE＝CG， ∴S△AEG＝S△ACG＝4，S△ABE＝S△ACG＝8， ∴S△ABC＝S△ABE+S△AEG+S△ACG＝18． 故选：D． 1．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论． 【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 即点P为AC的垂直平分线与BC的交点． 故选：D． 2．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α＝∠ACB＝45°，不符合题意； B．此选项是作CA＝CD，由∠ACB＝90°知∠CAD＝∠CDA＝∠α＝45°，不符合题意； C．此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB＜90°知∠α＝∠ACB＜45°，符合题意； D．此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α＝∠DAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，不符合题意； 故选：C． 3．（2023秋•北仑区期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，作图正确的有②③， 故选：C． 4．（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断． 【解答】解：③∵BE＝CF， ∴BC＝EF． A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF； B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF； 故选：D． 5．（2023秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，中线AD，CE交于点O，连接DE，若△DOE的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 【分析】根据题意得到O为三角形三条中线的交点，进而得到CO＝2OE，AO＝2OD，进而求出△ACD的面积，再根据中线平分面积，得到△ABC的面积即可． 【解答】解：∵在△ABC中，中线AD，CE交于点O， ∴CO＝2OE，AO＝2OD， ∴S△COD＝2S△EOD＝4，S△AOC＝2S△COD＝8（同高三角形的面积比等于底边的比）， ∴S△ACD＝S△AOC+S△COD＝12， ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD＝24； 故选：B． 6．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．40° 【分析】先求出∠BAC，∠DAC的度数，根据平分线平分角求出∠CAE，再利用∠DAC﹣∠CAE进行求解即可． 【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线， ∴∠ADC＝90°，， ∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝50°﹣40°＝10°； 故选：A． 7．（2023秋•台州期末）下列数据不能确定△ABC形状和大小的是（　　） A．AB＝6，∠C＝60°，∠B＝40° B．AB＝5，BC＝3，∠C＝90° C．∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50° D．AB＝7，BC＝5，AC＝10 【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定方法，可以解答本题． 【解答】解：当AB＝6，∠C＝60°，∠B＝40°时，根据AAS，可以得到△ABC是确定的，故选项A不符合题意； 当AB＝5，BC＝3，∠C＝90°时，根据HL，可以得到△ABC是确定的，故选项B不符合题意； 当∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50°时，无法确定△ABC，故选项C符合题意； 当AB＝7，BC＝5，AC＝10°时，根据SSS，可以得到△ABC是确定的，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．（2023秋•台州期末）P是△ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【分析】根据角平分线性质推出即可． 【解答】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF， 连接PA、PB、PC， ∵PD＝PE， ∴PB是∠ABC的角平分线， 同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线， 故P是△ABC角平分线交点， 故选：B． 9．（2023秋•义乌市期末）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【分析】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，由此即可判断． 【解答】解：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 此时△ABC和△ABD不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：A． 10．（2023秋•桐乡市期末）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝11，AC＝5，则BE的长（　　） A．3 B．2 C．5 D．4 【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE， ∴AE＝AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中，， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE， ∵AB＝11，AC＝5， ∴BE＝（11﹣5）＝3． 故选：A． 11．（2023秋•海曙区校级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为（　　） A．5.5cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4.5cm2 【分析】延长AP交BC于M，由角平分线定义得到∠ABP＝∠MBP，由垂直的定义得到∠APB＝∠BPM＝90°，由三角形内角和定理推出∠BAP＝∠BMP，得到AB＝BM，由等腰三角形的性质推出AP＝MP，得到△MPB的面积＝△APB的面积，△CPM的面积＝△CAP的面积，推出△PBC的面积＝×△ABC的面积＝×10＝5（cm2）． 【解答】解：延长AP交BC于M， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠MBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠BPM＝90°， ∴∠BAP＝∠BMP， ∴AB＝BM， ∵AP⊥BP， ∴AP＝MP， ∴△MPB的面积＝△APB的面积，△CPM的面积＝△CAP的面积， ∴△MPB的面积+△CPM的面积＝△APB的面积+△CAP的面积， ∴△PBC的面积＝×△ABC的面积＝×10＝5（cm2）． 故选：C． 12．（2023秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE＝5cm，BE＝8cm，则AC的长为 　13　cm． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB＝8cm，再根据线段的和差即可求出AC的长． 【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝8cm， 又∵CE＝5cm， ∴AC＝CE+AE＝13（cm）． 故答案为：13． 13．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点，延长ED至点F，使ED＝DF，连结BF． （1）求证：△BDF≌△CDE． （2）当AD⊥BC，∠BAC＝130°时，求∠DBF的度数． 【分析】（1）由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论； （2）根据垂直平分线的性质可得AC＝AB，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）； （2）解：∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB， ∵∠BAC＝130°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣130°）＝25°， ∵△BDF≌△CDE， ∴∠DBF＝∠C＝25°． 14．（2023秋•滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 　BC　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性． 【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB， （2）由ASA证明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB， （3）由ASA证明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB， ∴河宽AB的长度就是线段BC的长度． 故答案为：BC； （2）第二小组的方案可行，理由如下： ∵O是BE中点， ∴OB＝OE， ∵AB⊥BE，EF⊥BE， ∴∠ABO＝∠FEO＝90°， 在△ABO和△FEO中， ， ∴△ABO≌△FEO（ASA）， ∴EF＝AB， ∴河宽AB的长度就是线段EF的长度． （3）见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D， 测量示意图 只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下： ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠DBC＝90°， 在△ABC和△DBC中， ， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴BD＝AB， ∴河宽AB的长等于线段BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$