专题02等腰三角形各考点及其综合（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题02 等腰三角形各考点及其综合（5题型） 轴对称的性质 1．（2023秋•鄞州区校级期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．（2023秋•柯桥区期末）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：A选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D选项是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2023秋•宁波期末）下列图形是轴对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：这五个图形都是轴对称图形． 故选：D． 4．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【分析】由轴对称的性质可得∠B＝∠B′＝110°，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 5．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 6．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点P1落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2恰巧落在ED上．若PE＝5，PD＝5.5，ED＝6.5，则线段P1P2的长为 　7　． 【分析】根据对称的性质计算． 【解答】解：根据题意，得P1D＝PD＝5.5，P2E＝PE＝5，ED＝EP2+P2D＝，6.5， 故P2D＝1.5， 故P1P＝P1D+P2D＝7， 故答案为：7． 7．（2023秋•台州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形； （2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN． 【分析】（1）分别作出点A、B关于直线MN的对称点，再与点C首尾顺次连接即可； （2）作点A关于直线MN的对称点A″，连接A″B，与直线MN的交点即为所求点P． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求； （2）如图所示，点P即为所求． 等腰（等边）三角形的性质 1．（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°， ∴相邻角为180°﹣80°＝100°， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴100°角为顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故答案为：A． 2．（2023秋•浦江县期末）已知等腰△ABC一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（　　） A．15 B．21 C．15或21 D．15或12 【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答即可． 【解答】解：， ∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为9， ∴有两种情况： ①3为底，9为腰，那么9﹣9＜3＜9+9， 则三角形的周长9+9+3＝21； ②9为底，3为腰，那么3+3＜9，不符合题意， ∴该三角形的周长是21． 故选：B． 3．（2023秋•温岭市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝69°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°， ∴∠ODC＝23°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°， ∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°， 故选：D． 4．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 【分析】只要证明70°＜∠BPC＜130°即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝55°， ∴∠A＝180°﹣110°＝70°， ∵∠BPC＝∠A+∠ACP， ∴∠BPC＞70°， ∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＜125°， ∴70°＜∠BPC＜125°， 故选：C． 5．（2023秋•柯桥区期末）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝　65°或80°或50°　． 【分析】分∠A是顶角，∠B是顶角，∠C是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【解答】解：已知等腰△ABC中，∠A＝50°， 若∠A是顶角，则∠B＝∠C， 所以∠B＝（180°﹣50°）＝65°； 若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝50°， 所以∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝50°． 故∠B为65°或80°或50°， 故答案为：65°或80°或50°． 6．（2023秋•滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 　70°或110°　． 【分析】根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答． 【解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图△ABC． ∵BD是△ABC的高线， ∴∠A+∠ABD＝90°． ∵∠ABD＝20°，∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A＝70°． 即当顶角是锐角时，顶角的度数是70°． （2）当顶角是钝角时，如图△EFG． ∵FH为△EFG的高线， ∴∠FHG＝90°． ∵∠HFE＝20°，∠FHG＝90°， ∴∠FEG＝∠HFE+∠FHG＝110°． 即当顶角是钝角时，顶角的度数是110°． 综上可知，等腰三角形的顶角为70°或110°． 故答案为：70°或110°． 7．（2023秋•舟山期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝36°，则∠EBC＝　36°　． 【分析】由题意求出∠ABC，根据∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA即可求解． 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴， ∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠A＝∠EBA＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝36°， 故答案为：36°． 8．（2023秋•北仑区期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为 　12或8　． 【分析】分两种情况，底边长是3或腰长是3，由三角形三边关系定理，“三倍三角形”的定义即可求解． 【解答】解：如果底边长是3， 若两腰的和是3的三倍，即为9，满足三角形三边关系定理，则△ABC的周长是9+3＝12， 若腰与底边的和是腰长的三倍，求出腰长是1.5，不满足三角形三边关系定理； 如果腰长是3， 若两腰的和是底边的三倍，底边长是2，满足三角形三边关系定理，则△ABC的周长是3+3+2＝8， 若腰与底边的和是腰长的三倍，求出底边长是6，不满足三角形三边关系定理， ∴△ABC的周长为12或8． 故答案为：12或8． 9．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是25cm． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为7cm，求这个等腰三角形其余两边的长． 【分析】（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据“周长是25cm”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为7cm与底为7cm两种情况分别求出其他两边即可． 【解答】解：（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm， 由题意得：2x+2x+x＝25， 解得：x＝5 ∴2x＝10，这个等腰三角形的底边长为5cm，腰长分别为10cm，10cm， 即各边长分别是10cm，10cm，5cm； （2）当腰为7cm时，底边长为：25﹣7×2＝11（cm）， ∴其余两边分别为7cm，11cm，此时能构成三角形； 当底为7cm时，腰长为：， ∴其余两边分别为9cm，9cm，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为7cm与11cm，或9cm与9cm． 10．（2023秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由勾股定理可得出AM＝4，即可求出答案； （2）解法一：过点B作BN⊥AC于点N，利用面积法求出BN＝，由勾股定理可得出AN＝，即可求出答案； 解法二：过点B作BN⊥AC于点N，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴M是BC的中点， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM＝＝＝4， ∴△ABC的面积＝BC•AM＝×6×4＝12； （2）解法一：过点B作BN⊥AC于点N， ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， ∵△ABC的面积＝AC•BN＝×5•BN＝12； ∴BN＝， AN＝＝， ∴AD＝2AN＝． 解法二：过点B作BN⊥AC于点N， ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， 设AN＝x，则CN＝5﹣x， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2， ∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2， ∴x＝， ∴AD＝2AN＝． 等腰（等边）三角形的判定与性质的综合 1．（2023秋•开化县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据尺规作图对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，由尺规作图可知：AB＝AD， ∴△ABD为等腰三角形， 故选项A的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项B，由尺规作图可知：点D在线段AB的垂直平分线上， ∴AB＝BD，则△ABD为等腰三角形， 故选项B的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项C，由尺规作图可知：点D是线段AB的中点， ∵△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴AD＝BD＝CD，则△ABD为等腰三角形， 故选项C的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项D，由尺规作图可知：BD是∠ABC的平分线， 只有当AB＝BC时，△ABD是等腰三角形， 故选项D的作法不能使△ABD为等腰三角形，符合题意． 故选：D． 2．（2023秋•海曙区校级期末）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在x轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【分析】分三种情形，AB＝AC，BA＝BC，CA＝CB，分别画图即可． 【解答】解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外）， 当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外）， 当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 综上所述：符合条件的点C的个数有4个， 故选：B． 3．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，推出∠IGH＝∠GIH，即可判断选项D符合题意． 【解答】解：如图， ∵CE是高线， ∴∠AEC＝90°， 若△ACE为等腰三角形，则EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA＝45°， 而题设中∠BAC并不一定是45°， 故选项A不符合题意； ∵AB＝AC＞BC， 若△ABF 为等腰三角形，则FA＝FB， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠1， ∵角平分线BF， ∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB＝2∠1， ∴5∠1＝180°， ∴∠1＝36°＝∠BAC， 而题设中∠BAC并不一定是36°， 故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意； ∵AB＝AC，中线AD， ∴AD⊥BC， ∵角平分线BF，CE是高线， ∴∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GIH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1， 即∠IGH＝∠GIH， ∴IH＝HG， ∴△GHI一定为等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 4．（2023春•宁波期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　2　． 【分析】过E点作EH⊥BF，设DE＝x，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD＝4，得到EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，求得CH＝2，表示出BH＝2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF＝8，得到BH＝FH＝4，即可求得线段DE的长． 【解答】解：过E点作EH⊥BF， 设DE＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵BD＝4， ∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°， 在Rt△CHE中， ∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4， ∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴， ∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x， ∵EB＝EF， ∴△EBF是等腰三角形， ∵EH⊥BF，BF＝8， ∴BH＝FH＝4， ∴2+x＝4， ∴x＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长． 【分析】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D＝∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形； （2）根据勾股定理计算EF的长． 【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D， 又∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠D＝∠AFD， ∴△ADF 是等腰三角形； （2）∵F为AB的中点， ∴AF＝BF， ∵△ADF是等腰三角形， BF＝AF＝AD＝13， ∵DE⊥BC， ∴EF＝＝12， 答：EF的长为12． 6．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠BOE的大小； （2）求证：DE＝DC． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形外角的性质得到∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°， ∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线， ∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°， ∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°； （2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°， ∴∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC， ∵AD⊥CE， ∴DE＝DC． 7．（2023秋•南浔区期末）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC 交AB于点D， （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE＝ABC＝25°，由（1）知∠BED＝∠DBE＝25°． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE＝ABC＝25°， 由（1）知∠BED＝∠DBE＝25°． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高． （1）若点D是AB的中点，求证：∠A＝60°； （2）若AD＝2DB，BC＝6，求AC的长． 【分析】（1）若点D是AB的中点，则CD垂直平分AB，AC＝BC，可得AC＝BC＝AB，则△ABC是等边三角形，即可得∠A＝60°； （2）设DB＝x，则AD＝2DB＝2x，可得AB＝AC＝3x，利用勾股定理求出CD＝＝x，在Rt△DBC中，BD2+CD2＝BC2，即x2+（x）2＝62，解方程求出x，即可得AC的长． 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，CD是AB边上的高． ∴CD垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∵AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°； （2）解：设DB＝x，则AD＝2DB＝2x， ∴AB＝AC＝3x， ∵CD是AB边上的高， ∴CD＝＝x， 在Rt△DBC中，BD2+CD2＝BC2， 即x2+（x）2＝62， 解得x＝或﹣（舍去）， ∴AC＝3x＝3． 等腰三角形的存在性问题 1．（2023秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C＝30°，AB＝4，点D是线段BC上一动点，连结AD． （1）当△ABD为等腰三角形时，直接写出∠DAC的度数． （2）当点D是BC的中点时，求∠DAC的度数． （3）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别点E，F，求连结EF，求EF的最小值． 【分析】（1）分为①AB为底时，②AD为底时，③BD为底时，分别求解即可； （2）延长BA，过点C作CP⊥BA交BA的延长线于点P，连结CP，根据∠B＝30°，∠ACB＝15°，求出∠CAP＝45°，∠PCA＝45°，∠PCB＝60°，CP＝AP，再根据D是BC的中点，得出PD＝DC，即可证明△PDC是等边三角形，结合PA＝PD，∠DPA＝30°，即可求解； （3）如图，连结AD，取AD的中点O，连结OE，OF，根据DE⊥AB，DF⊥AC，得出，求出∠EDF＝45°，△EOF是等腰直角三角形，，当AD最小时，EF最小，即当AD⊥BC时，即可求解． 【解答】解：（1）当△ABD为等腰三角形时，分三种情况： ①AB为底时，DA＝DB． ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠B＝2∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣15°＝135°， ∴∠DAC＝135°﹣30°＝105°； ②AD为底时，BA＝BD． ∴， ∴∠DAC＝135°﹣75°＝60°； ③BD为底时，AB＝AD． ∴∠B＝∠BDA＝30°， ∴∠BAD＝180°﹣2×30°＝120°， ∴∠DAC＝135°﹣120°＝15°． 综上，∠DAC的度数为15°，60°，105°； （2）如图1，延长BA，过点C作CP⊥BA交BA的延长线于点P，连结CP， ∵∠B＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠CAP＝45°，∠PCA＝45° ∴∠PCB＝60°，CP＝AP． ∵D是BC的中点， ∴PD＝DC， ∴△PDC是等边三角形，即∠DPC＝60°， ∴PA＝PD，∠DPA＝30°， ∴∠DAP＝75°， ∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°． （3）如图2，连结AD，取AD的中点O，连结OE，OF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴， ∵∠BAC＝135°， ∴∠EDF＝45°， ∴∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形． ∴． ∴当AD最小时，EF最小，即当AD⊥BC时，此时AD＝2． ∴EF的最小值是． 2．（2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0）．若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． （1）点D的坐标为 　（6，4）　； （2）若点P是y轴上一动点，若△PAC的面积等于△CAD的面积，请求出点P的坐标； （3）若点E为x轴上一动点，若△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据坐标的平移规律即可解答； （2）设点P（0，a），先求出△CAD的面积，再表示出△PAC的面积即可得到方程，解方程即可解答； （3）分情况讨论，AC分别为腰和底时，利用等腰三角形的性质即可求出点E的坐标． 【解答】解：（1）∵B（﹣4，0），将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ∴D的坐标为（﹣4+10，0+4）即D的坐标为：（6，4）； 故答案为：（6，4）； （2）设点P（0，a）， △CAD的面积为4×6﹣×3×6﹣×2×4﹣×4×3＝11， △PAC的面积为×|a﹣3|×4＝2|a﹣3|， ∵△PAC的面积等于△CAD的面积， ∴2|a﹣3|＝11， 解得a＝或﹣， ∴P的坐标为（0，）或（0，﹣）； （3）△EAC为等腰三角形，当AC为底时，点E在AC的垂直平分线上，如图： ∴AE＝CE， 设OE＝x，CE＝AE＝4﹣x， 在Rt△AOE中，32+x2＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∴E的坐标为（，0）； 当AC为腰时，如图， 若AE＝AC＝5，此时E的坐标为（﹣4，0）， 若AC＝AE＝5，此时OE＝1，E的坐标为（﹣1，0）， 若AC＝AE＝5，此时E的坐标为（9，0）， 综上所述，若△EAC为等腰三角形，点E的坐标为（，0）或（﹣4，0）或（﹣1，0）或（9，0）． 等腰三角形综合题 1．（2023春•玉环市期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，若BC＝2AD，则∠DCB＝ 　75°　． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，推出AO＝AD＝OD，得到△AOD是等边三角形，因此∠AOD＝60°，由等腰三角形的性质推出AO⊥BC，求出∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°，由OC＝OD，得到∠DCO＝∠CDO＝×（180°﹣30°）＝75°． 【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC中点， ∴BC＝2AO＝2OD， ∵BC＝2AD， ∴AO＝AD＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∵AB＝AC，O是BC中点， ∴AO⊥BC， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠DCO＝∠CDO， ∴∠DCB＝×（180°﹣30°）＝75°． 故答案为：75°． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE； ⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误． 【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD， ∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD，故①正确； ∠ABD＝∠ACE， ∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°， 在△BCG中，∠BGC＝180°﹣（∠BCG+∠CBG）＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE＝BD•CE，故④正确； 由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2， 在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2， 在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2， 在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2， ∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正确； 只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE， ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°， 无法说明AE∥CD，故②错误； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠AEC与∠AEB相等无法证明， ∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选：C． 3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折后，点A落在BC边上的点P，当△BDP和△CEP均为等腰三角形时，我们把线段DE称为△ABC的完美翻折线，P为完美点． （1）如图1，等边△ABC的边长为6，边BC的中点P是完美点，写出完美翻折线DE的长． （2）如图2，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点．当∠B，∠C都为等腰三角形顶角时，求此时∠A的度数． （3）在（2）的条件下，若AB＝8，AC＝7，求BC的长． 【分析】（1）根据翻折的性质可得△ADE≌△PDE，根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，则△BDP和△PEC是等边三角形，最后证明△ADE是等边三角形即可求解； （2）连接AP，设∠DAP＝α，∠EAP＝β，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得∠BPD＝∠BDP＝2α，∠CPE＝∠PEC＝2β，最后根据∠BPD+∠DPE+∠CPE＝180°即可求解； （3）过B作BM⊥AC于点M，根据含30°角的直角三角形特征可得，，则CM＝3，最后根据勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝6， ∵P为△ABC的完美点， ∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDP和△PEC是等边三角形， ∴BD＝DP，PE＝CE， 又∵AD＝DP，AE＝PE， ∴，， ∵AB＝6， ∴AD＝AE＝3， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝3． （2）连接AP，设∠DAP＝α，∠EAP＝β， ∵DE为△ABC的完美翻折线， ∴△ADE≌△PDE， ∴AD＝DP，AE＝PE， ∴∠DPA＝∠DAP＝α，∠EPA＝∠EAP＝β， ∴∠BDP＝2α，∠PEC＝2β， ∵△BDP和△PEC是等腰三角形，且∠B，∠C都为顶角 ∴BD＝BP，CP＝CE， ∴∠BPD＝∠BDP＝2α，∠CPE＝∠PEC＝2β， ∵∠BPD+∠DPE+∠CPE＝180°， ∴3α+3β＝180°， ∴α+β＝60°， 即∠BAC＝60°． （3）过B作BM⊥AC于点M， 由（2）得，∠A＝60°， ∵∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝30°， ∴，， ∵AC＝7， ∴CM＝3， 由勾股定理得：BC2＝BM2+CM2＝57，又BC＞0， ∴． 4．（2023秋•温岭市期末）如图，等边△ABC，点E是边BA（或延长线）上一点，点D是边AC（或延长线）上的点，连接DE，以DE为边向下作等边△DEF，连接BF． （1）如图1，若点D与点C重合，证明：△AEC≌△BFC； （2）如图1，移动点E，使点E为AB中点，则BC与BF的数量关系为 　　； （3）如图2，移动点D，使点D为AC中点，求证：BF＝EF； （4）如图3，移动点D，E，使D，E分别在AC，BA的延长线上，若∠FAD＝∠FBA＝90°，AE＝m，直接写出AC的长（用m的代数式表示）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△AEC≌△BFC即可； （2）根据三线合一，全等三角形的性质，推出△BFC是含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果； （3）过点D作DH∥BC，连接FH，先证明△ADH为等边三角形，进而证明△ADE≌△HDF，得到∠FHD＝∠BHF，再证明△BHF≌△DHF，即可得证； （4）过点D作DK∥BC，连接FK，得到△AKD为等边三角形，证明△FKD≌△EAD，得到∠FKD＝∠EAD＝180°﹣∠BAC＝120°，FK＝AE＝m，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC，△DEF均为等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CF，∠ECF＝∠ACB＝60°， ∴∠BCF＝∠ACE＝60°﹣∠BCE， ∴△AEC≌△BFC（SAS）； （2）解：∵E为AB的中点，如图1，AC＝BC， ∴CE⊥AB，， ∵∠ECF＝60°， ∴∠BCF＝30°， ∵△AEC≌△BFC（SAS）， ∴∠FBC＝∠A＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝90°， ∵∠BCF＝30°， ∴； 故答案为：； （3）解：过点D作DH∥BC，连接FH，如图2，则：∠ADH＝∠C＝60°，∠AHD＝∠ABC＝60°， ∴△ADH为等边三角形， ∴AD＝AH＝DH， ∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF＝EF，∠EDF＝60°， ∴∠ADE＝∠HDF＝60°﹣∠HDE， ∴△ADE≌△HDF（SAS）， ∴∠FHD＝∠A＝60°， ∴∠BHF＝180°﹣∠AHD﹣∠DHF＝60°， ∴∠FHD＝∠BHF， ∵D为AC的中点，AB＝AC， ∴， ∴AH＝BH＝DH， 又∵HF＝HF， ∴△BHF≌△DHF（SAS）， ∴BF＝DF， ∵DF＝EF， ∴BF＝EF； （4）解：过点D作DK∥BC，连接FK，如图3，则：∠ADK＝∠ACB＝60°，∠AKD＝∠ABC＝60°， ∴△AKD为等边三角形， ∴AD＝DK＝AK， ∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠KDF＝∠ADE＝60°﹣∠ADF， ∴△FKD≌△EAD（SAS）， ∴∠FKD＝∠EAD＝180°﹣∠BAC＝120°，FK＝AE＝m， ∴∠FKB＝∠FKD﹣∠DKA＝60°， ∵∠FBE＝90°， ∴∠FBK＝90°， ∴∠KFB＝30°， ∴， ∵∠FAD＝90°， ∴∠FAB＝90°﹣∠BAC＝30°， 在Rt△FBA中，∠FAB＝30°， ∴， ∴， ∴． 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，若AD＝BC＝2，则AB的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】由等腰三角形的性质得到BD＝BC＝1，AD⊥BC，由勾股定理求出AB＝＝． 【解答】解：∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线， ∴BD＝BC＝×2＝1，AD⊥BC， ∴AB＝＝＝． 故选：D． 2．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．42° B．45° C．40° D．35° 【分析】注意三角形内角和定理的应用．在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝75°，在△BCD中可求得∠DBC＝30°，可求出∠ABD． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝32°， ∴∠ABC＝∠ACB＝74°， 又∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝74°， ∴∠DBC＝32°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝74°﹣32°＝42°， 故选：A． 3．（2023秋•义乌市期末）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．12或15 【分析】先根据绝对值、平方的非负性求出x和y，再根据三角形的三边关系确定腰长、底长，即可求解． 【解答】解：∵|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0， ∴x﹣3＝0，4x﹣2y＝0， 解得x＝3，y＝6， 当3为腰长，6为底边长时，三条边长为3，3，6，而3+3＝6，不符合三角形三边关系，即这种情况不存在； 当6为腰长，3为底边长时，三条边长为3，6，6，符合三角形三边关系， ∴周长为6+6+3＝15， 故选：B． 4．（2023秋•杭州期末）在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【分析】分五种情形，判断可得结论． 【解答】解：连接AG，OB，EH． 类似于△AEH的等腰三角形共有4个，类似于△EFH的等腰三角形有4个，类似于△ABG的等腰三角形有4个，类似于△ADC的等腰三角形共有4个，类似于△AFG的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 5．（2023秋•温岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，连接BD，DE，DF，∠DBC＝30°，BE＝BF，当DE+DF最小时，则∠DFB＝（　　） A．75° B．82.5° C．90° D．97.5° 【分析】将△BED绕点B旋转45°，得到△BD′F，则：DE＝D′F，进而得到DF+DE＝DF+D′F≥DD′，得到当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小，利用等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵BE＝BF， ∴将△BED绕点B旋转45°，得到△BFD′， ∴DE＝D′F，BD＝BD′，∠DBD'＝45°， ∴DF+DE＝DF+D′F≥DD′， ∴当D，F，D′三点共线时，DE+DF最小， 如图： ∵BD＝BD′，∠DBD'＝45°， ∴， ∴∠DFB＝180°﹣∠DBC﹣∠BDD′＝180°﹣30°﹣67.5°＝82.5°， 故选：B． 6．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】连接AP、AD、AQ，由对称性可得AD＝AQ＝AP，所以点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上，进而得PQ＝AP＝AD，所以AD⊥BC时，PQ取得最小值，利用AD＝AB•sin 60°＝，可求PQ． 【解答】解：连接AP、AD、AQ， ∵点D、P关于AB轴对称， ∴AD＝AP， 同理，AD＝AQ， ∴AD＝AQ＝AP， ∴点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上， 由对称轴可知：∠PAQ＝2（∠BAD+∠DAC）＝2∠BAC＝90°， ∴△PAQ为等腰直角三角形， ∴PQ＝AP＝AD， ∵点D在BC上， ∴当AD取得最小值，即AD⊥BC时，PQ取得最小值， ∵当AD⊥BC时，AD＝AB•sin 60°＝， ∴PQ的最小值是． 故选：B． 7．（2022秋•鄞州区期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　67.5　°． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝， ∴∠B＝＝67.5°． 故答案为：67.5． 8．（2023秋•路桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，已知点E在直线BC上运动，连接AE，以AE为边向右侧作等腰直角三角形AEF． （1）若∠ABC＝36°，当点F落在边AB上时，则∠CAE的度数为 　36　°； （2）若AC＝4，BC＝7，连接DF，则DF的最小值是 　　． 【分析】（1）根据题意得∠EAF＝90°，∠BAC＝54°，即可求出∠CAE的度数； （2）过点F作FQ⊥AC，交AC于点Q，过点D作DH⊥AC，交AC于点H，连接ED，QD，用勾股定理求出，由D为AB的中点，得到，，由DF≥QF﹣QD，得当点Q，D，F三点共线时，即点Q，H重合时，DF有最小值，DF有最小值，证明利△ACE≌△FQA（AAS），得到FQ＝4，由DF＝FQ﹣DH即可得出结果． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝36°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝54°， ∵点F落在边AB上时，△AEF是等腰直角三角形，AE＝AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠CAE＝∠EAF﹣∠BAC＝36°， 故答案为：36； （2）如图，过点F作FQ⊥AC，交AC于点Q，过点D作DH⊥AC，交AC于点H，连接ED，QD， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝7， ∴， ∵D为AB的中点， ∴， ∵DH⊥AC， ∴， ∴， ∵DF≥QF﹣QD， 当点Q，D，F三点共线时，即点Q，H重合时，DF有最小值，如图， ∵QF⊥AC， ∴∠AQF＝∠ACE＝90°， ∵∠AFQ+∠FAQ＝∠CAE+∠FAQ＝90°， ∴∠AFQ＝∠CAE， ∵AE＝AF， ∴△ACE≌△FQA（AAS）， ∴AC＝FQ＝4， ∴， 故答案为：． 9．（2023秋•婺城区期末）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 【分析】根据轴对称的性质画图． 【解答】解：如图， 10．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵DE是AB边上的中线， ∴BE＝， ∵AE＝CD， ∴DE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE． （2）解：连接DE， 则DE＝AE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE， ∵BE＝DE，EF＝AF， ∴∠B＝∠BDE， 设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y， ∴∠DEF＝2x﹣y， ∵DE＝DC， ∴∠DEF＝∠BDE＝x， ∴2x﹣y＝x， ∴y＝x， ∴x+x＝90°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°． 11．（2023秋•德清县期末）如图1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN． （1）求证：AB＝CB； （2）作∠ABC的平分线，分别交AC，CN于E，D两点（如图2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的长． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠MCA＝∠BAC，根据等角对等边即可得出答案； （2）先求出，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC，根据直角三角形的性质求出＝1，最后根据勾股定理求出结果即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CN， ∴∠BAC＝∠ACN， ∵CA平分∠MCN， ∴∠MCA＝∠ACN， ∴∠MCA＝∠BAC， ∴BA＝BC． （2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN， ∴， ∵BA＝BC，BD平分∠CBA， ∴BE⊥AC ∵BA＝BC＝2 ∴＝1， ∴． 12．（2023秋•南浔区期末）已知△ABC为等腰直角三角形，BC＝4，∠BAC＝90°，点D是直线BC上一点，连结AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰直角三角形ADE． （1）如图1，当点D在线段BC上运动时． ①求证：△ABD≌△ACE； ②当△ACE的面积为1时，求此时线段AD的长； （2）如图2，当点D在线段CB延长线上运动时，AE与CD交于点F，设△FEC，△ADF的面积分别为S1，S2，问S2﹣S1的值是否会随着点D的运动而变化，若不变，请求出这个值． 【分析】（1）①根据SAS可证明△ABD≌△ACE； ②由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案； （2）证明＝4，则可得出答案． 【解答】解：（1）①∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ②由①得△ABD≌△ACE， ∴S△ABD＝S△ACE＝1， 过点A作AG⊥BC交BC于点G， 则， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴BD＝1， ∴DG＝2﹣1＝1， ∴． （2）不会，理由： ∵S1＝S△ACE﹣S△AFC，S2＝S△ABD+S△ABF＝S△ACE+S△ABF＝S△ABC+S1， ∴＝4， 即S2﹣S1 的值不随着点D的运动而变化，而是一个定值，为4． 13．（2024春•鄞州区校级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：可在线段AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【分析】（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1＝∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，根据已知条件得到∠B＝45°．求得∠EDB＝∠B＝45°．得到DE＝BE，等量代换得到CD＝BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB＝AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B＝∠AED，BD＝DE，又因为∠B＝2∠C，所以∠AED＝2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC＝∠C，所以ED＝EC，BD＝EC，进而可证明AB+BD＝AE+EC＝AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE＝BE，BE＝CD，即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图1所示，在AB上截取 AE＝AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． 在△ACD和△AED 中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED， 又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°， ∴∠B＝45° ∴∠EDB＝∠B＝45° ∴DE＝BE， ∴CD＝BE． ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+CD．（4分） （2）解：结论：AB＝AC+CD． 理由：如图2中，在AB取一点E使AC＝AE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠C＝∠AED，CD＝DE， 又∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB＝∠B， ∴ED＝EB， ∴CD＝EB， ∴AB＝AC+CD； （3）解：结论：AB＝CD﹣AC． 理由：如图3中，在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE． 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED， 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FED＝2∠B， 又∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝CD﹣AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等腰三角形各考点及其综合（5题型） 轴对称的性质 1．（2023秋•鄞州区校级期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•柯桥区期末）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•宁波期末）下列图形是轴对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 5．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 6．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点P1落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2恰巧落在ED上．若PE＝5，PD＝5.5，ED＝6.5，则线段P1P2的长为 　 　． 7．（2023秋•台州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形； （2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN． 等腰三角形的性质 1．（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 2．（2023秋•浦江县期末）已知等腰△ABC一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（　　） A．15 B．21 C．15或21 D．15或12 3．（2023秋•温岭市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 4．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 5．（2023秋•柯桥区期末）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝　 　． 6．（2023秋•滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 　 　． 7．（2023秋•舟山期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝36°，则∠EBC＝　 　． 8．（2023秋•北仑区期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为 　 　． 9．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是25cm． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为7cm，求这个等腰三角形其余两边的长． 10．（2023秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 等腰三角形的判定与性质的综合 1．（2023秋•开化县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•海曙区校级期末）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在x轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 3．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 4．（2023春•宁波期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长． 6．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠BOE的大小； （2）求证：DE＝DC． 7．（2023秋•南浔区期末）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC 交AB于点D， （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度数． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高． （1）若点D是AB的中点，求证：∠A＝60°； （2）若AD＝2DB，BC＝6，求AC的长． 等腰三角形的存在性问题 1．（2023秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C＝30°，AB＝4，点D是线段BC上一动点，连结AD． （1）当△ABD为等腰三角形时，直接写出∠DAC的度数． （2）当点D是BC的中点时，求∠DAC的度数． （3）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别点E，F，求连结EF，求EF的最小值． 2．（2023秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0）．若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． （1）点D的坐标为 　 　； （2）若点P是y轴上一动点，若△PAC的面积等于△CAD的面积，请求出点P的坐标； （3）若点E为x轴上一动点，若△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 等腰三角形综合题 1．（2023春•玉环市期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，若BC＝2AD，则∠DCB＝ 　 　． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE； ⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折后，点A落在BC边上的点P，当△BDP和△CEP均为等腰三角形时，我们把线段DE称为△ABC的完美翻折线，P为完美点． （1）如图1，等边△ABC的边长为6，边BC的中点P是完美点，写出完美翻折线DE的长． （2）如图2，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点．当∠B，∠C都为等腰三角形顶角时，求此时∠A的度数． （3）在（2）的条件下，若AB＝8，AC＝7，求BC的长． 4．（2023秋•温岭市期末）如图，等边△ABC，点E是边BA（或延长线）上一点，点D是边AC（或延长线）上的点，连接DE，以DE为边向下作等边△DEF，连接BF． （1）如图1，若点D与点C重合，证明：△AEC≌△BFC； （2）如图1，移动点E，使点E为AB中点，则BC与BF的数量关系为 　 　； （3）如图2，移动点D，使点D为AC中点，求证：BF＝EF； （4）如图3，移动点D，E，使D，E分别在AC，BA的延长线上，若∠FAD＝∠FBA＝90°，AE＝m，直接写出AC的长（用m的代数式表示）． 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，若AD＝BC＝2，则AB的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．42° B．45° C．40° D．35° 3．（2023秋•义乌市期末）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．12或15 4．（2023秋•杭州期末）在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 5．（2023秋•温岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，连接BD，DE，DF，∠DBC＝30°，BE＝BF，当DE+DF最小时，则∠DFB＝（　　） A．75° B．82.5° C．90° D．97.5° 6．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 7．（2022秋•鄞州区期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°． 8．（2023秋•路桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，已知点E在直线BC上运动，连接AE，以AE为边向右侧作等腰直角三角形AEF． （1）若∠ABC＝36°，当点F落在边AB上时，则∠CAE的度数为 　 　°； （2）若AC＝4，BC＝7，连接DF，则DF的最小值是 　 　． 9．（2023秋•婺城区期末）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 10．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 11．（2023秋•德清县期末）如图1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN． （1）求证：AB＝CB； （2）作∠ABC的平分线，分别交AC，CN于E，D两点（如图2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的长． 12．（2023秋•南浔区期末）已知△ABC为等腰直角三角形，BC＝4，∠BAC＝90°，点D是直线BC上一点，连结AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰直角三角形ADE． （1）如图1，当点D在线段BC上运动时． ①求证：△ABD≌△ACE； ②当△ACE的面积为1时，求此时线段AD的长； （2）如图2，当点D在线段CB延长线上运动时，AE与CD交于点F，设△FEC，△ADF的面积分别为S1，S2，问S2﹣S1的值是否会随着点D的运动而变化，若不变，请求出这个值． 13．（2024春•鄞州区校级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：可在线段AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$