专题03全等三角形与等腰三角形压轴题专练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题03 全等三角形与等腰三角形压轴题专训 1．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　12　． 【分析】在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK．证明△AEG≌△DCK（SAS），由全等三角形的性质得出DK＝AG，∠AGE＝∠DKC，证出∠B＝∠DKB，得出DB＝DK，则可得出答案． 【解答】解：在FA上取一点G，使得FG＝BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK＝EG，连接DK． ∵EF⊥AB， ∴EB＝EG， ∴∠B＝∠EGB， ∵∠EGB＝∠BAE+∠AEG，∠B＝∠BAE+∠BCD， ∴∠AEG＝∠BCD， ∵AE＝CD，EG＝CK， ∴△AEG≌△DCK（SAS）， ∴DK＝AG，∠AGE＝∠DKC， ∴∠EGB＝∠DKB， ∴∠B＝∠DKB， ∴DB＝DK， ∴BD＝AG， ∴AD＝BG， ∵BG＝2BF＝12， ∴AD＝12， 故答案为：12． 2．（2023秋•镇海区校级期末）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，在斜边BC上取点D，使得BD＝BA，E为AB边上一动点，以D为直角顶点，DE为直角边构造等腰直角△DEF（F在DE右侧），当CF最小时，∠AED＝　67.5　°． 【分析】作DG⊥AB于点G，将线段DG绕点D逆时针旋转90°到线段DH，连结FH，则∠GDH＝∠DGE＝∠AGD＝90°，DH＝DG，而∠EDF＝90°，DF＝DE，则∠FDH＝∠EDG＝90°﹣∠EDH，可证明△DHF≌△DGE，得FH＝EG，∠H＝∠DGE＝90°，可知点F在经过点H，且与DH垂直的直线FH上运动，当CF⊥FH时，CF的值最小，此时CF∥DH∥AB，延长GD交CF于点L，连结AD，可证明△DHF≌△DGA，得DF＝DA，由BD＝BA，∠B＝45°，求得∠EAD＝∠BDA＝67.5°，∠AED＝∠EAD＝67.5°，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DG⊥AB于点G，将线段DG绕点D逆时针旋转90°到线段DH，连结FH， ∵∠△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠EDF＝90°，DF＝DE， ∵∠GDH＝∠DGE＝∠AGD＝90°，DH＝DG， ∴∠FDH＝∠EDG＝90°﹣∠EDH， 在△DHF和△DGE中， ， ∴△DHF≌△DGE（SAS）， ∴FH＝EG，∠H＝∠DGE＝90°， ∴FH⊥DH， 如图1，则点F在经过点H，且与DH垂直的直线FH上运动， ∴当CF⊥FH时，CF的值最小， 如图2，CF⊥FH，则CF∥DH∥AB，延长GD交CF于点L，连结AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠LCD＝∠B＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵∠CLD＝∠DGE＝90°， ∴∠LDC＝∠LCD＝45°， ∴LD＝LC， ∵CF∥DH，LD⊥CF，FH⊥CF， ∴LD＝FH， ∵GL∥AC，LC⊥AC，GA⊥AC， ∴LC＝AG， ∴FH＝AG， 在△DHF和△DGA中， ， ∴△DHF≌△DGA（SAS）， ∴DF＝DA， ∴∠AED＝∠EAD， ∵BD＝BA，∠B＝45°， ∴∠EAD＝∠BDA＝×（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠AED＝∠EAD＝67.5°， 故答案为：67.5． 3．（2022秋•宁波期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE． （1）请证明图1的结论成立； （2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB＝∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD＝BP，∠DBP＝60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE； （2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 记AD与CE的交点为G， ∵∠AGE＝∠DGO， ∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE， ∴∠DOE＝∠DAE＝60°， ∴∠BOC＝60°； （3）∴∠A+∠BCD＝180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP＝DB， ∵∠BDC＝60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD＝BP，∠DBP＝60°， ∵∠ABC＝60°＝∠DBP， ∴∠ABD＝∠CBP， ∵AB＝CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP＝∠A， ∵∠BCD+∠BCP＝180°， ∴∠A+∠BCD＝180°． 4．（2024春•镇海区校级期末）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】 （2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∠BAC＝∠ADE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点． ①若∠EBC＝23°，求∠BCE的大小； ②CE＝5，求△ACE的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，△ABC与△ADE，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，CD⊥DF，AF的长为7，请直接写出△BCF的面积． 【分析】（1）由SAS证△AEC≌△ADB即可； （2）①同（1）得△AEC≌△ADB（SAS），得∠AEC＝∠ADB＝135°，即可得出结论； ②过点A作AG⊥DE于点G，证△AGF≌△CEF（ASA），得AG＝CE＝5，GF＝EF，再由等腰直角三角形的性质得DG＝EG＝AG＝5，则GF＝EF＝，然后由三角形面积关系即可得出∠BEC＝90°，进一步解答即可得解； （3）连接CE，同（2）得△CDE≌△FDA（SAS），则CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°，得∠ACE＝90°，再证△ACE≌△BAF（SAS），得CE＝AF，S△ACE＝S△BAF，然后证CE∥AB，得S△ABE＝S△ABC＝AC2，进而由S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF，得S△BCF＝AF（AC﹣CF），则由AF＝7，得到AF（AC﹣CF）＝49，进而得解． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）解：①∵∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°， 同（1）得：△AEC≌△ADB（SAS）， ∴∠AEC＝∠ADB＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°， ∵∠EBC＝23°， ∴∠BCE＝180°﹣90°﹣23°＝67°； ②如图2，过点A作AG⊥DE于点G， 则∠FGA＝90°， 由①可知，∠FEC＝90°， ∴∠FGA＝∠FEC， ∵点F为AC中点， ∴AF＝CF， 又∵∠AFG＝∠CFE， ∴△AGF≌△CEF（AAS）， ∴AG＝CE＝5，GF＝EF， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DG＝EG＝AG＝5， ∴GF＝EF＝EG＝， ∴S△ACE＝2S△CEF＝2×CE•EF＝5×＝； （3）解：S△BCF＝；理由如下： 如图3，连接CE， 同（2）得：△CDE≌△FDA（SAS）， ∴CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°， ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， 在△ACE和△BAF中， ， ∴△ACE≌△BAF（SAS）， ∴CE＝AF，S△ACE＝S△BAF， ∵∠ACE＝∠BAC， ∴CE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABC＝AC•AB＝AC2， ∵S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF， ∴AC2+AC•CE﹣AC2﹣CE•CF＝S△BCF， ∴S△BCF＝AC•CE﹣CE•CF＝AF（AC﹣CF）， ∵AF＝7， ∴AF（AC﹣CF）＝49， ∴S△BCF＝． 5．（2024春•鄞州区校级期末）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点： ①求∠BEC的大小； ②CE＝2，求△ACE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，△BCF的面积为32，求AF的长． 【分析】（1）首先得到∠EAC＝∠DAB，然后证明出△AEC≌△ADB（SAS）即可； （2）①由“SAS“可证△AEC≌△ADB可得∠ABE＝∠ACE，即可求解； ②由全等三角形的性质可得BD＝EC＝2，然后证明出△AGF≌△CEF（AAS），得到AG＝EC＝2，进而求解即可； （3）连接EC，首先得到∠CDE＝∠FDA，然后证明出△CDE≌△FDA（SAS），然后得到S△AEF＝S△CFB＝32，设AF的长度为a，列方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠EAC＝∠DAB， 在△AEC 和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）解：①∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠EAC＝∠DAB， 在△AEC 和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACE， ∴∠BEC＝180﹣∠ACE﹣∠EAC﹣∠AEB＝180﹣∠ABE﹣∠EAC﹣∠AEB＝∠BAC＝90°； ②如图，作AG⊥BE于G， ∵△AEC≌△ADB， ∴BD＝EC＝2， 在△AGF和△CEF中， ， ∴△AGF≌△CEF（AAS）， ∴AG＝EC＝2， ∴； （3）解：如图，连结EC， ∵∠BAC＝∠ADE＝90°，且CD⊥DF， ∴∠CDE＝∠FDA， 在△CDE 和△FDA中， ， ∴△CDE≌△FDA（SAS）， ∴CE＝AF，∠DCE＝∠AFD， ∵DC＝DF，CD⊥DF， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴∠DCF＝∠CFD＝45°， ∴∠AFD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DCE＝∠AFD＝135°， ∴∠ECA＝135°﹣45°＝90°， ∴∠ACE＝∠BAC＝90°， ∴CE∥AB， ∴S△ACE＝S△ECB， ∵△CEF是公共部分， ∴S△AEF＝S△CFB＝32， 设AF的长度为a， 则S△AEF＝＝32， 解得：a＝8（负值已舍去）， 故AF的长度为8． 6．（2024春•镇海区校级期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求△AED的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角得到∠B＝∠C，再利用全等三角形即可得证； （2）作平行线利用中点证△BFD≌△GED，得到BF＝EG，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考上述方式构造全等，利用等线段的转化找△AED的面积和△ABC面积得关系． 【解答】（1）证明：过A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝AD，∠B＝∠C， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AC； （2）解：CE＝BF， 理由：过E作EG∥AB交BC于G， ∴∠F＝∠DEG，∠FBD＝∠EGD， ∵点D恰为线段EF中点， ∴DF＝DE， ∴△BFD≌△GED（AAS）， ∴BF＝EG， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠EGC＝∠ECG， ∴EG＝CE， ∴CE＝BF； （3）如图延长FE交AC于点H，过B作BM∥AC， ∵AD是角平分线， ∴∠FAG＝∠HAG， ∵AD⊥EF， ∴∠AGD＝∠AGF， ∵AG＝AG， ∴△AGF≌△AGH（SAS）， AF＝AH，∠AHG＝∠AFG， 由（2）中证明方法可知△CHE≌△BME（AAS）， ∴CH＝BM，∠CHE＝∠BME， ∴∠AHG＝∠BMF＝∠AFG， ∴BM＝BF， ∵AF＝8， ∴设BF＝x，则BM＝CH＝x，AB＝8﹣x， ∴AC＝AH+CH＝8+x， ∴S△ABC＝AB•AC＝30， 即（8﹣x）（8+x）＝60， 解得x＝2， ∵AE是△ABC的中线， ∴AE＝BE＝BC， ∴∠EAB＝∠ABE， ∴∠EAD+45°＝∠BEF+45°， ∴∠EAD＝∠BEP， ∵∠AGE＝∠BPE＝90°， ∴△AEG≌△EBP（AAS）， ∴EG＝BP， ∵∠F＝45°， ∴BP＝PF＝PM＝EG， ∴ED：EB＝EG：EP＝1：4， ∴S△AED＝S△AEB＝S△ABC＝． ∴△AED的面积为． 7．（2023秋•衢江区期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D是AC边上的一点，点E是BC延长线上的一点，且AD＝CE． （1）【特例探究】如图2，当D是AC的中点时，求∠E的度数． （2）【猜想证明】小兵由图2发现DB＝DE，进而猜想：当D是AC边上的任意一点时，DB＝DE．请你利用图1帮助小兵证明这个结论． （3）【拓展应用】如图3，当D是AC边上的任意一点时，取BD的中点F，连结AF，AE，求∠FAE的度数． 【分析】（1）本题根据等边三角形性质得到∠ACB＝60°，推出∠DCE＝120°，再根据中点的性质和AD＝CE推出CD＝CE，最后利用等腰三角形性质，即可解题． （2）本题取CM＝CD，连接DM，根据题意推出△CDM为等边三角形，证明△BCD≌△EMD，利用全等三角形性质，即可解题． （3）本题延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，根据倍长中线构造全等，证明△AFD≌△GFB，利用全等三角形性质，得到AD＝BG，BG∥AC，推出∠AGB＝∠ACE，再证明△ABG≌△ACE，得到∠BAG＝∠CAE，最后根据∠FAE＝∠FAD+∠DAE进行等量代换，即可解题． 【解答】（1）解：∵△ABC等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∴； （2）证明：取CM＝CD，连接DM，如图所示：， AI ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴△CDM为等边三角形， ∴CD＝MD＝MC，∠DCB＝∠DME＝60°， ∵AD＝CE， ∴AD+CD＝CE+MC， ∴AC＝EM， ∴BC＝EM， ∴△BCD≌△EMD（SAS）， ∴DB＝DE； （3）解：延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，如图所示： ∵F为BD的中点， ∴BF＝DF， 在△AFD与△GFB中， ∴△AFD≌△GFB（SAS）， ∴AD＝BG，∠ADF＝∠GBF， ∴BG∥AC， ∴∠GBC＝∠ACB＝60°， ∠ABG＝∠ABC+∠GBC＝120°， ∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠AGB＝∠ACE， ∵AD＝CE， ∴BG＝CE， 在△ABG与△ACE中， ∴△ABG≌△ACE（SAS）， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+∠BAF＝∠BAC＝60°． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论； （2）过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E，证明△EQP≌△CQD（AAS），由全等三角形的性质得出QE＝QC，则可得出结论； （3）方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F，证明△AMB≌△EMC（SAS），得出∠B＝∠ECM，证出PF＝AE＝2AM，DQ＝DF，则可得出结论． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DP⊥BC， ∴∠B+∠P＝∠C+∠CQD＝90°， ∴∠AQP＝∠CQD＝∠P， ∴AP＝AQ． （2）解：QC＝2AQ． 理由：过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E， ∴∠E＝∠C，∠APE＝∠B， 由题意，得∠E＝∠APE， ∴AE＝AP＝AQ． ∴QE＝2AQ． ∵点Q是线段DP的中点， ∴PQ＝DQ， ∵∠EQP＝∠DQC， ∴△EQP≌△CQD（AAS）， ∴QE＝QC， ∴QC＝2AQ． （3）解：DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM， ∵∠AMB＝∠CME，AM＝ME， ∴△AMB≌△EMC（SAS）， ∴∠B＝∠ECM， ∴AB∥CE， ∵AM⊥BC，PD⊥BC， ∴AM∥PD， ∴四边形AEFP是平行四边形， ∴PF＝AE＝2AM， ∵AM＝ME，AM⊥CM， ∴AC＝CE， ∴∠CAM＝∠CEM， ∵AE∥QFD， ∴∠CAM＝∠CQF，∠CEM＝∠CFQ， ∴∠CQF＝∠CFQ， ∴CQ＝CF， ∴DQ＝DF， ∴PD+DQ＝PD+DF＝PF＝2AM． 即DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 9．（2024春•鄞州区校级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：可在线段AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【分析】（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1＝∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，根据已知条件得到∠B＝45°．求得∠EDB＝∠B＝45°．得到DE＝BE，等量代换得到CD＝BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB＝AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B＝∠AED，BD＝DE，又因为∠B＝2∠C，所以∠AED＝2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC＝∠C，所以ED＝EC，BD＝EC，进而可证明AB+BD＝AE+EC＝AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE＝BE，BE＝CD，即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图1所示，在AB上截取 AE＝AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． 在△ACD和△AED 中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED， 又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°， ∴∠B＝45° ∴∠EDB＝∠B＝45° ∴DE＝BE， ∴CD＝BE． ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+CD．（4分） （2）解：结论：AB＝AC+CD． 理由：如图2中，在AB取一点E使AC＝AE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠C＝∠AED，CD＝DE， 又∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB＝∠B， ∴ED＝EB， ∴CD＝EB， ∴AB＝AC+CD； （3）解：结论：AB＝CD﹣AC． 理由：如图3中，在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE． 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED， 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FED＝2∠B， 又∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝CD﹣AC． 10．（2023秋•舟山期末）小王同学在学习完第二章《特殊三角形》后，剪了两张等腰直角三角形纸片，并将锐角顶点叠合放置成如图1所示图形，其中∠ACB＝∠BED＝90°，CA＝CB，EB＝ED，连结AD后取中点F，再连接FE和FC．探究FE与FC的位置及数量关系． 【初步探究】 （1）小王变化等腰Rt△BDE的位置，使得点E落在BC上，如图2所示，请猜想EF与CF的位置及数量关系分别是 　EF⊥CF　，　EF＝CF　． 【深入探究】（2）小王同学思考：“在一般位置时，（1）中猜测的结论是否仍成立，能否给出证明？”他带着问题与同学展开合作交流，最后得到这样的证明方案：如图3所示，过点A作DE的平行线交EF的延长线于点G，连结CG，EC•••，请根据以上思路完成猜想的证明． 【体验应用】（3）小王继续等腰变化Rt△BDE的位置，如图4所示，点E在BC所在直线的上方，且∠EBC＝120°．若BC＝4，ED＝2，请利用猜想的结论求出△EFC的面积． 【分析】（1）延长EF交AC于点G，证△AGF≌△DEF可推出△GCE是等腰直角三角形，即可求解； （2）证△AGF≌△DEF得EF＝GF，AG＝DE＝BE，再证△GAC≌△EBC可推出△GCE是等腰直角三角形，即可求解； （3）作EH⊥BH，求出EH，BH，进而求出CE即可求解． 【解答】（1）解：延长EF交AC于点G，如图2所示： ∵∠ACB＝∠BED＝90°， ∴AC∥DE， ∴∠AGF＝∠DEF， ∵∠AFG＝∠DFE，AF＝DF， ∴△AGF≌△DEF（AAS）， ∴EF＝GF，AG＝DE＝BE， ∵CA＝CB， ∴CG＝CE， ∵∠GCE＝90°， ∴△GCE是等腰直角三角形， ∵EF＝GF， ∴EF⊥CF，， 故答案为：EF⊥CF，EF＝CF； （2）证明：∵AG∥DE， ∴∠AGF＝∠DEF， ∵∠AFG＝∠DFE，AF＝DF， ∴△AGF≌△DEF（ASA）， ∴EF＝GF，AG＝DE＝BE， 由题意得：∠CAB＝∠CBA＝∠EDB＝∠DBE＝45°， ∵∠GAC＝∠GAF+∠CAF ＝∠EDF+45°﹣∠BAD＝45°﹣∠BDA+45°﹣∠BAD ＝90°﹣（∠BDA+∠BAD）， ∠EBC＝180°﹣（∠BDA+∠BAD）﹣∠CBA﹣∠DBE＝90°﹣（∠BDA+∠BAD）， ∴∠GAC＝∠EBC， ∵CA＝CB， ∴△GAC≌△EBC（AAS）， ∴CG＝CE，∠ACG＝∠BCE， ∴∠GCE＝∠GCB+∠BCE＝∠GCB+∠ACG＝90°， ∴△GCE是等腰直角三角形， ∵EF＝GF， ∴EF⊥CF，； （3）解：作EH⊥BH，如图4所示： ∵∠EBC＝120°， ∴∠EBH＝60°，∠BEH＝30°， ∵EB＝ED＝2， ∴， ∴CH＝BH+BC＝5， ∴CE2＝CH2+EH2＝28， 由猜想的结论可知：△CEF是等腰直角三角形， ∴CE2＝EF2+CF2，EF＝CF， ∴CE2＝2EF2＝28， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形与等腰三角形压轴题专训 1．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD，若BF＝6，则AD的长为 　 　． 2．（2023秋•镇海区校级期末）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，在斜边BC上取点D，使得BD＝BA，E为AB边上一动点，以D为直角顶点，DE为直角边构造等腰直角△DEF（F在DE右侧），当CF最小时，∠AED＝　 　°． 3．（2022秋•宁波期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE． （1）请证明图1的结论成立； （2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 4．（2024春•镇海区校级期末）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】 （2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∠BAC＝∠ADE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点． ①若∠EBC＝23°，求∠BCE的大小； ②CE＝5，求△ACE的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，△ABC与△ADE，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，CD⊥DF，AF的长为7，请直接写出△BCF的面积． 5．（2024春•鄞州区校级期末）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点： ①求∠BEC的大小； ②CE＝2，求△ACE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，△BCF的面积为32，求AF的长． 6．（2024春•镇海区校级期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求△AED的面积． 7．（2023秋•衢江区期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D是AC边上的一点，点E是BC延长线上的一点，且AD＝CE． （1）【特例探究】如图2，当D是AC的中点时，求∠E的度数． （2）【猜想证明】小兵由图2发现DB＝DE，进而猜想：当D是AC边上的任意一点时，DB＝DE．请你利用图1帮助小兵证明这个结论． （3）【拓展应用】如图3，当D是AC边上的任意一点时，取BD的中点F，连结AF，AE，求∠FAE的度数． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 9．（2024春•鄞州区校级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：可在线段AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 10．（2023秋•舟山期末）小王同学在学习完第二章《特殊三角形》后，剪了两张等腰直角三角形纸片，并将锐角顶点叠合放置成如图1所示图形，其中∠ACB＝∠BED＝90°，CA＝CB，EB＝ED，连结AD后取中点F，再连接FE和FC．探究FE与FC的位置及数量关系． 【初步探究】 （1）小王变化等腰Rt△BDE的位置，使得点E落在BC上，如图2所示，请猜想EF与CF的位置及数量关系分别是 　 　，　 　． 【深入探究】（2）小王同学思考：“在一般位置时，（1）中猜测的结论是否仍成立，能否给出证明？”他带着问题与同学展开合作交流，最后得到这样的证明方案：如图3所示，过点A作DE的平行线交EF的延长线于点G，连结CG，EC•••，请根据以上思路完成猜想的证明． 【体验应用】（3）小王继续等腰变化Rt△BDE的位置，如图4所示，点E在BC所在直线的上方，且∠EBC＝120°．若BC＝4，ED＝2，请利用猜想的结论求出△EFC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$