清单02 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单02 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】列代数式 【典例1】电影院第一排有m个座位，后面每一排比前一排多2个座位，则第n排的座位数有：（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某小区规划在相邻两边长分别为，的长方形场地上，修建两条宽为的角道，其余部分种草，请你用含、的式子表示角道的占地面积 ． 【变式1-2】把长为10，宽为的长方形的四个角挖去边长为的四个小正方形，图中阴影部分的面积为 ．（用含，的代数式表示） 【变式1-3】如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.6厘米，每个铁环长4厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态． (1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少? (2)设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y； (3)若要组成1.44米长的链条，需要多少个铁环? 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式，下列说法正确的是（    ） A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 【变式2-2】下列赋予整式实际意义的例子，其中错误的是（    ） A．长为，宽为的长方形的面积 B．原价为元的商品打8折后的售价 C．购买8本单价为元的笔记本所需的费用 D．货车以的平均速度行驶的路程 【变式2-3】请你为代数式赋予一个实际意义 ． 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】若多项式的值为3，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】若， 则代数式的值为（   ） A． B．1 C．7 D．13 【变式3-2】若，则代数式的值为（     ） A． B．3 C．6 D．9 【变式3-3】若，，且，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-4】若，则的值是 ． 【考点题型四】单项式和多项式的判断 【典例4】在代数式，，，，，，中（    ） A．有3个单项式，2个多项式 B．有4个单项式，3个多项式 C．有6个整式 D．有7个整式 【变式4-1】在代数式：，，，x，，中，单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【变式4-3】下列整式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D．a 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数和次数分别是（   ） A．，4 B．，3 C．12，3 D．12，4 【变式5-1】代数式的系数与次数分别是（   ） A．，4 B．，3 C．，4 D．，3 【变式5-2】单项式的系数与次数分别是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】单项式的系数是 ，次数是 ． 【考点题型六】多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．3， C．5，1 D．5， 【变式6-1】多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．， B．， C．， D．2，3 【变式6-2】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．次数是2 B．二次项系数是2024 C．最高次项是 D．常数项是2022 【变式6-3】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．的次数是3B．的系数是2C．它是七次三项式 D．它的常数项是1 【考点题型七】多项式系数、指数中字母求值 【典例7】多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式7-1】若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ． 【变式7-2】若多项式是关于的四次三项式，则的值为 ． 【变式7-3】多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝ ． 【考点题型八】去括号和添括号 【典例8】下列各式中去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列去括号或添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】同类项 【典例9】如果与是同类项，那么的值分别为（   ） A．1 B． C．7 D． 【变式9-1】单项式与单项式是同类项，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式9-2】下列各组的两项中是同类项的是（    ） A． 与 B． 与 C．与 D． 与 【变式9-3】已知与是同类项，则 ． 【考点题型十】合并同类项 【典例10】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】整式的加减运算 【典例11】化简 (1)； (2)． 【变式11-1】化简： (1)； (2)． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【变式11-3】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式11-4】化简： (1)； (2)． 【考点题型十二】整式的加减中的化简求值 【典例12】先化简，再求值：，其中， 【变式12-1】先化简，再求值：，其中， 【变式12-1】先化简，再求值：，其中， 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 【变式12-3】先化简，再求值： ．其中，． 【考点题型十三】整式加减的应用 【典例13】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可） (3)当，时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________． 【变式13-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【变式13-1】近来黄金饰品深受消费者喜爱，甲、乙两仓库分别有黄金饰品30箱和50箱，全部运往两地．若两地分别需要黄金饰品20箱和60箱，且从甲、乙仓库到两地的运输费用如下表．设从甲仓库运到地的黄金饰品为箱． 到地 到地 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 (1)从甲仓库运到地的黄金饰品为__________箱，从乙仓库运到地的黄金饰品为__________箱；（用含的代数式表示并化简） (2)求把全部黄金饰品从甲、乙两仓库运到两地的总运输费用；（用含的代数式表示并化简） (3)当从甲仓库运到地的黄金饰品为10箱时，总运输费用为多少元？ 【变式13-2】将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，请求：      (1)长方形的面积（用含的式子表示）； (2)（用含的式子表示）； (3)当时，求的值： 【考点题型十四】整式加减中的无关型问题 【典例14】已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【变式14-1】回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 【变式14-2】已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【变式14-3】已知：， (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【考点题型十五】数字中的规律 【典例15】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】一列有规律的数：，，7，10，，，19，22，，则这列数的第2023个数为（    ） A．6067 B． C．6068 D． 【变式15-2】观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 【变式15-3】观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【考点题型十六】图形中的规律 【典例16】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【变式16-1】下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（   ） A．63 B．64 C．80 D．81 【变式16-2】观察并找出如图图形变化的规律，则第2027个图形中黑色正方形的数量是 个． 【变式16-3】木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第100个图中共有木料 根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】列代数式 【典例1】电影院第一排有m个座位，后面每一排比前一排多2个座位，则第n排的座位数有：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，电影院第一排有个座位，第排与第一排相差排，后面每排比前排多2个座位，所以第排比第一排多的座位为：，据此即可得到答案． 【详解】解：由题知，电影院第一排有个座位；又因为后面每排比前排多2个座位； 第排与第一排相差：排， ∴第排比第一排多的座位为：； ∴第排的座位为：； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 【变式1-1】某小区规划在相邻两边长分别为，的长方形场地上，修建两条宽为的角道，其余部分种草，请你用含、的式子表示角道的占地面积 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式． 直接利用两个长方形面积减去重叠的正方形面积即可表示出角道面积． 【详解】由题意可得，角道面积为： ． 故答案为：． 【变式1-2】把长为10，宽为的长方形的四个角挖去边长为的四个小正方形，图中阴影部分的面积为 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】用长方形面积减去个小正方形面积即为阴影部分面积. 【详解】长方形面积为，小正方形面积为 所以阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，根据图形找出面积关系是解题的关键. 【变式1-3】如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.6厘米，每个铁环长4厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态． (1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少? (2)设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y； (3)若要组成1.44米长的链条，需要多少个铁环? 【答案】(1)2个铁环组成的链条长6.8cm，3个铁环组成的链条长为9.6cm，4个铁环组成的链条长12.4cm (2)y＝2.8n＋1.2 (3)需要51个铁环 【分析】根据观察，i链条每一个连处重合的部分是两个铁环的直径，根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）由题意可得：4×2－0.6×2＝6.8cm，4×3－0.6×4＝9.6cm，4×4－0.6×6＝12.4cm． 故2个铁环组成的链条长6.8cm，3个铁环组成的链条长为9.6cm，4个铁环组成的链条长12.4cm； （2）y＝4n－2（n－1）×0.6，即y＝2.8n＋1.2； （3）1.44米＝144cm据题意有2.8n＋1.2＝144，解得：n＝51， 答：需要51个铁环． 【点睛】本题主要考查了有理数的计算和用字母表示数，准确得根据题目和图形找出等量关系列出代数式是解题的关键． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式，下列说法正确的是（    ） A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 【答案】C 【分析】题目主要考查列代数式及代数式的意义，理解题意是解题关键 【详解】解：代数式，可表示单价为3元的钢笔买了支的总价， 故选：C 【变式2-2】下列赋予整式实际意义的例子，其中错误的是（    ） A．长为，宽为的长方形的面积 B．原价为元的商品打8折后的售价 C．购买8本单价为元的笔记本所需的费用 D．货车以的平均速度行驶的路程 【答案】B 【分析】根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A.若长方形的长为，宽为，则 表示长方形的面积，原说法正确，故A不符合题意； B.原价为元的商品打8折后的售价为元，原说法错误，故B符合题意； C.购买8本单价为元的笔记本所需的费用为元，原说法正确，故C不符合题意； D.货车以的平均速度行驶的路程为，原说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式表示的实际意义，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系． 【变式2-3】请你为代数式赋予一个实际意义 ． 【答案】一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式，根据代数式的运算顺序赋予其实际意义即可． 【详解】解：代数式的意义可以是：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了多少钱？ 故答案为：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一） 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】若多项式的值为3，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵多项式的值为3， ∴， ∴． 故选B． 【变式3-1】若， 则代数式的值为（   ） A． B．1 C．7 D．13 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键．将代数式变形为，再将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式3-2】若，则代数式的值为（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把整式化简成，再整体代入 计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：D． 【变式3-3】若，，且，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，有理数的乘法及减法，根据绝对值的性质可得，，根据有理数的乘法法则可得、异号，然后找出符合条件的数代入进行计算即可．解题的关键是掌握：绝对值等于一个正数的数有两个且互为相反数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴、异号， ∴，或，， ①当，时，； ②当，时，， 综上所述，的值为． 故选：A． 【变式3-4】若，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以原式； 故答案为：12 【考点题型四】单项式和多项式的判断 【典例4】在代数式，，，，，，中（    ） A．有3个单项式，2个多项式 B．有4个单项式，3个多项式 C．有6个整式 D．有7个整式 【答案】A 【分析】本题考查多项式、单项式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 数与字母的乘积形式是单项式，单独一个数或一个字母是单项式，几个单项式的和是多项式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，，，，中， 单项式有，，，共3个； 多项式有，，共2个； 整式有，，，，，共5个． 故选：A． 【变式4-1】在代数式：，，，x，，中，单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了单项式，对于字母来说，只含有乘、乘方运算的代数式叫做单项式，单个的数或字母也是单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．根据单项式的定义即可得到答案． 【详解】解：在代数式，，，x，，中，单项式有，，，，共4个， 故选：C． 【变式4-2】对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可． 【详解】解：、、是单项式， 是二次多项式，是三次多项式， 、、、、是整式， 以上代数式中共有个单项式，个二次多项式，个三次多项式，个整式， 故选：A． 【变式4-3】下列整式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D．a 【答案】A 【分析】根据多项式是几个单项式的和以及多项式是整式逐项判断即可． 【详解】解：A中式子是多项式，符合题意； B中式子是单项式，不是多项式，不符合题意； C中式子不是整式，不是多项式，不符合题意； D中式子是单项式，不是多项式，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式的定义，理解多项式的特点是解答的关键． 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数和次数分别是（   ） A．，4 B．，3 C．12，3 D．12，4 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的意义是解题的关键． 根据单项式的系数，次数的意义判断即可． 【详解】解：单项式中的数字因数叫单项式的系数，即的系数是，单项式次数是所有字母的指数和，即的次数是4． 故选：A． 【变式5-1】代数式的系数与次数分别是（   ） A．，4 B．，3 C．，4 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：代数式的系数与次数分别是，3． 故选D． 【变式5-2】单项式的系数与次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式系数与次数，根据单项式系数与次数概念求解即可．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的系数与次数分别是． 故选：D． 【变式5-3】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，根据单项式的系数和次数的定义解答即可 【详解】解∶ 系数是，次数是3． 【考点题型六】多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．3， C．5，1 D．5， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数及常数项，根据多项式的次数及常数项的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：多项式中的项为，，，它们的次数分别为，，0， 多项式的次数为3，其中为常数项， 故选：B． 【变式6-1】多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．， B．， C．， D．2，3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数及最高次项分别是、， ∴多项式的最高次项的系数为， 故选A． 【变式6-2】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．次数是2 B．二次项系数是2024 C．最高次项是 D．常数项是2022 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念逐项分析即可． 【详解】解：A、多项式的次数是，故本选项不符合题意； B、多项式的二次项系数是2023，故本选项不符合题意； C、多项式的最高次项是，故本选项符合题意； D、多项式的常数项是，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-3】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．的次数是3B．的系数是2C．它是七次三项式 D．它的常数项是1 【答案】A 【分析】此题考查了多项式次数及项数定义，熟记定义并正确解决问题是解题的关键．根据多项式的次数及项数定义解答． 【详解】解：多项式共三项，分别为， 的次数为3， 的系数为，次数为4， 常数项为， 是四次三项式， 故选：A． 【考点题型七】多项式系数、指数中字母求值 【典例7】多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解；∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【变式7-1】若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解． 【详解】解：∵多项式是一个关于，的四次四项式， ∴且， 解得：， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 【变式7-2】若多项式是关于的四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据四次三项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键． 【变式7-3】多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝ ． 【答案】2 【分析】​​​​​​​根据二次三项式的定义可得|m|=2，且-（m+2）≠0，计算即可. 【详解】解：由题意得：|m|=2，且-（m+2）≠0， ∴m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了多项式的概念．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．解题的关键是掌握定义． 【考点题型八】去括号和添括号 【典例8】下列各式中去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号．按照去括号法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故不正确，不符合题意； B．，故不正确，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】下列去括号或添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号与添括号，掌握去括号添括号法则，是解题的关键．根据去括号和添括号的法则，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选B． 【变式8-2】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．据此即可求解． 【详解】解： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 【变式8-3】下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号和添括号计算法则，熟知相关计算法则是解题的关键：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【考点题型九】同类项 【典例9】如果与是同类项，那么的值分别为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-1】单项式与单项式是同类项，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的概念和代数式求值，根据“同类项是字母相同且相同字母的指数也相同”，可得m、n的值，代入即可求出结果． 【详解】单项式与单项式是同类项， ， 则， 故选：D． 【变式9-2】下列各组的两项中是同类项的是（    ） A． 与 B． 与 C．与 D． 与 【答案】C 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合各选项进行判断即可．本题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同． 【详解】解：A、所含相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符合； B、所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合； C、符合同类项的定义，故本选项符合； D、所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合； 故选：C． 【变式9-3】已知与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义； 根据同类项的概念（如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项）列式求出a，b，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点题型十】合并同类项 【典例10】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式10-2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则计算即可判断．熟练掌握合并同类项法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”是解题关键． 【详解】解：A、，正确，选项符合题意； B、，错误，选项不符合题意； C、3和，不能合并，错误，选项不符合题意； D、，错误，选项不符合题意； 故选：A． 【变式10-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】解：∵和b不是同类项不能相减，故A错误； ，故B错误； 和不是同类项不能相加，故C错误． ，故D正确； 故选：D． 【考点题型十一】整式的加减运算 【典例11】化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ， （2）解：原式 【变式11-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 【变式11-3】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可. （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式11-4】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【考点题型十二】整式的加减中的化简求值 【典例12】先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的运算法则”是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【变式12-1】先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式12-1】先化简，再求值：，其中， 【答案】，32 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后把m、n的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】题目主要考查整式的加减运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 先去括号，然后合并同类项计算，再代入值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【变式12-3】先化简，再求值： ．其中，． 【答案】，12 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时，原式． 【考点题型十三】整式加减的应用 【典例13】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可） (3)当，时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了代数式求值和列代数式． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是窗帘的面积，用长方形的面积减去窗帘的面积即是射进阳光的面积； （2）将一个半圆和两个四分之一圆面积相加即是窗帘的面积，组成用长方形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴窗帘的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：， 故答案为：；； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴窗帘的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为：； 故答案为：；； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 故答案为：． 【变式13-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)8 (2)元 (3)元或元或36元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接根据收费标准进行列式计算即可； （2）直接根据收费标准进行列式计算即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，当4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：元， ∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元， 故答案为：8； （2）解：元， ∴该用户3月份应交水费元； （3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过， 则4，5月份共交水费为（元）； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过， 则4，5月份交的水费为（元）； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于， 则4，5月份交的水费为（元）． 综上所述，4，5月份交的水费为元或元或36元． 【变式13-1】近来黄金饰品深受消费者喜爱，甲、乙两仓库分别有黄金饰品30箱和50箱，全部运往两地．若两地分别需要黄金饰品20箱和60箱，且从甲、乙仓库到两地的运输费用如下表．设从甲仓库运到地的黄金饰品为箱． 到地 到地 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 (1)从甲仓库运到地的黄金饰品为__________箱，从乙仓库运到地的黄金饰品为__________箱；（用含的代数式表示并化简） (2)求把全部黄金饰品从甲、乙两仓库运到两地的总运输费用；（用含的代数式表示并化简） (3)当从甲仓库运到地的黄金饰品为10箱时，总运输费用为多少元？ 【答案】(1)； (2)全部黄金饰品从甲、乙两仓库运到、两地的总运输费元． (3)总运输费为850元 【分析】本题考查列代数式和代数式求值． （1）根据题意，从甲仓库运到地的黄金饰品为箱，则用含的代数式表示从甲仓库运到地的黄金饰品为箱，从乙仓库运到地的黄金饰品为箱，从乙仓库将黄金饰品运到地的运输费用为 元； （2）根据总运输费从甲、乙两仓库运到、两地的费用之和列出代数式； （3）把代入（2）中代数式即可． 【详解】（1）解：∵甲仓库有黄金饰品30箱，从甲仓库运到地的黄金饰品为箱， ∴从甲仓库运到地的黄金饰品为箱； ∵地需要黄金饰品60箱，从甲仓库运到地的黄金饰品为箱； ∴从乙仓库运到地的黄金饰品为：箱， ∴从乙仓库将黄金饰品运到地的运输费用为：元； （2）解：总运费：元， ∴全部黄金饰品从甲、乙两仓库运到、两地的总运输费元； （3）解：当时，， ∴总运输费为850元． 【变式13-2】将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，请求：      (1)长方形的面积（用含的式子表示）； (2)（用含的式子表示）； (3)当时，求的值： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先用含a和b的式子表示出长，然后求得矩形的面积； （2）根据长方形的面积公式列式，然后再去括号，合并同类项进行化简 （3）将，代入（2）的式子即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：当，时， ． 【点睛】此题考查了整式的加减运算以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．整式加减的应用时：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题． 【考点题型十四】整式加减中的无关型问题 【典例14】已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的加减运算及整式加减运算中的无关型问题： （1）根据整式的加减运算法则得，再将代入原式即可求解； （2）由（1）得，根据的值与的值无关可得，进而可求解； 熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 把代入原式得：． （2）由（1）得：， 的值与的值无关， ， 解得：． 【变式14-1】回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 【答案】(1)，22 (2)①；② 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号合并同类项，再把，代入计算即可； （2）①把A，B的值代入，去括号合并同类项； ②合并关于y的同类项，令y的系数等于0即可求出x的值． 【详解】（1） ， 当，时， 原式； （2）①∵，， ∴ ； ②， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 【变式14-2】已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，整式的无关型计算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． (1)代入后，化简，合并同类项计算即可． (2)先化简，再根据与的值无关，计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 当，时， 原式 ． （2）解：，， ， 的值与y的取值无关， ， ． 【变式14-3】已知：， (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把，代入计算即可求解； （）由得到，解之即可求解； 本题考查了整式加减中的无关型问题，熟知的值与的取值无关即含的项的系数为是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：∵， 若的值与的取值无关， 则， 解得． 【考点题型十五】数字中的规律 【典例15】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律，看懂题意，理解“正方形数”、 “三角形数”，根据题中图形及数字等式确定规律，逐项验证即可得到答案，数形结合，找准规律是解决问题的关键． 【详解】 解：规律是， A、不是“正方形数”， 选项不符合规律，不符合题意； B、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； C、是“正方形数”，，选项符合规律，符合题意； D、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； 故选：C． 【变式15-1】一列有规律的数：，，7，10，，，19，22，，则这列数的第2023个数为（    ） A．6067 B． C．6068 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，观察数据可得到其数值部分是，且以2个负，2个正数为一组，重复出现，据此可求解． 【详解】解：1，4，7，10，13，16，19，22，…， 第n个数是：， 该列数以2个负，2个正数为一组，重复出现， ， 第2023个数的符号为正， 第2023个数为：， 故选：A． 【变式15-2】观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数字规律，通过观察等式的变形即可求解． 【详解】由题意得：该规律用含自然数的等式表示出来为， 故答案为：． 【变式15-3】观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力． （1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解； （2）第n个式子左边为：，右边为：； （3）利用所得规律即可“裂项”求解． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）解：第n个式子为： 故答案为：； （3）解：原式 ． ． 【考点题型十六】图形中的规律 【典例16】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 【变式16-1】下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（   ） A．63 B．64 C．80 D．81 【答案】C 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现●个数的规律是解题的关键．依次求出每个图形中●的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中●的个数为：； 第②个图形中●的个数为：； 第③个图形中●的个数为：； …， 所以第n个图形中●的个数为． 当时，（个）， 即第⑧个图形中●的个数为80个． 故选：C． 【变式16-2】观察并找出如图图形变化的规律，则第2027个图形中黑色正方形的数量是 个． 【答案】3041 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．仔细观察图形可知：当n为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第个图形中黑色正方形的数量为个，然后利用找到的规律即可得到答案． 【详解】解：由图可得： 第1个图形中黑色正方形的数量为2个； 第2个图形中黑色正方形的数量为3个； 第3个图形中黑色正方形的数量为5个； 第4个图形中黑色正方形的数量为6个； 第5个图形中黑色正方形的数量为8个； ，依此类推， 当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个， ∴当时，黑色正方形的个数为（个）． 故答案为：3041． 【变式16-3】木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第100个图中共有木料 根． 【答案】5050 【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，共有（根），据此可得答案． 【详解】解：由图可知： 第一个图形有木料1根， 第二个图形有木料（根）， 第三个图形有木料（根）， 第四个图形有木料（根）， 第 n 个图有木料 （根）， 当时，． 故答案为：5050． 【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$