专题01 有理数（易错必刷45题12种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题01有理数（易错必刷45题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数 · 数轴 · 相反数 · 有理数的加法 · 有理数的减法 · 有理数的加减混合运算 · 有理数的乘法 · 绝对值 · 有理数的乘方 · 有理数大小比较 · 有理数的混合运算 一．正数和负数（共6小题） 1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 3．超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5． （1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？ （2）这8筐白菜一共多少千克？ （3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 4．某股票上周五的收盘价为39.60元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +2.1 ﹣1.8 +3.8 ﹣0.6 A （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价2.1元记作+2.1元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作﹣1.5元．） （1）本周星期四此股票的收盘价是多少？ （2）若本周星期五此股票的收盘价为42.6元，求a的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 5．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +4 ﹣2 ﹣5 +13 ﹣11 +17 ﹣9 （1）根据记录可知前三天共生产　 　辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　辆； （3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 6．某水泥仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）： +20、﹣25、﹣13、+28、﹣29、﹣16． （1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ （2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？ （3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 二．有理数（共1小题） 7．下列说法错误的是（　　） A．负整数和负分数统称负有理数 B．正整数，0，负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D．3.14是小数，也是分数 三．数轴（共6小题） 8．数轴上的点A表示的数是+2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是（　　） A．5 B．±5 C．7 D．7或﹣3 9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|+|c﹣a|的结果为（　　） A．﹣3a+c B．a﹣2b﹣c C．﹣a﹣2b+c D．﹣a+2b+c 10．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　 　． 11．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是　 　，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　 　． 12．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为﹣5、15． （1）点P是数轴上任意一点，且PA＝PB，则点P对应的数是 　 　； （2）点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若M、N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ ②当M、N两点运动到AM＝2BN时，请直接写出点M在数轴上对应的数． 13．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点之间的距离为 　 　； （2）当t＝1时，P、B两点之间的距离为 　 　； （3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 四．相反数（共1小题） 14．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值． 五．绝对值（共15小题） 15．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数 B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 C．绝对值越大，这个数越大 D．两个负数，绝对值大的那个数反而小 16．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（　　） A．x＝4或x＝﹣3 B．x＝4 C．x＝3或x＝﹣4 D．x＝﹣3 17．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5 18．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 19．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 20．若|a|＝﹣a，a一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 21．的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 23．如果a，b，c是非零有理数，那么的所有可能的值为（　　） A．﹣4，﹣2，0，2，4 B．﹣4，﹣2，2，4 C．0 D．﹣4，0，4 24．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（　　） A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．3 25．若3a+b＝0（a≠0），则﹣2的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 26．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　 　． 27．如果|m﹣1|＝5，则m＝　 　． 28．绝对值大于3而不大于7的所有整数是　 　． 29．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　，最小值是　 　”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　，最小值是　 　． （2）已知y＝|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 六．有理数大小比较（共1小题） 30．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 七．有理数的加法（共2小题） 31．计算3+5+7+9+…+195+197+199的值是（　　） A．9699 B．9999 C．9899 D．9799 32．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　． 八．有理数的减法（共1小题） 33．已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝　 　． 九．有理数的加减混合运算（共1小题） 34．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 一十．有理数的乘法（共2小题） 35．绝对值不大于4的整数的积是（　　） A．16 B．0 C．576 D．﹣1 36．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　 　． 一十一．有理数的乘方（共3小题） 37．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 38．下列各组数中，结果相等的是（　　） A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣24与（﹣2）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20 39．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为　 　厘米． 一十二．有理数的混合运算（共6小题） 40．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 41．若规定“！”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24，…，则的值为 　 　． 42．计算：﹣14﹣[2﹣（﹣3）2]÷（）3． 43．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：盏） +4 ﹣6 ﹣3 +10 ﹣5 +11 ﹣2 （1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？ （2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？ 44．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值（单位：千克） ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.3 0.5 箱数 1 2 4 6 n 2 （1）求n的值及这20箱樱桃的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； （3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元． 45．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：＝　 　； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． $$专题01有理数（易错必刷45题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数 · 数轴 · 相反数 · 有理数的加法 · 有理数的减法 · 有理数的加减混合运算 · 有理数的乘法 · 绝对值 · 有理数的乘方 · 有理数大小比较 · 有理数的混合运算 一．正数和负数（共6小题） 1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【答案】B 【解答】解：由零件标注φ30可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm， ∴最大可以是30+0.03＝30.03（mm）． 故选：B． 2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 【答案】D 【解答】解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 故选：D． 3．超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5． （1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？ （2）这8筐白菜一共多少千克？ （3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克）， 答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足5.5千克； （2）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.5（千克）， 25×8﹣5.5＝194.5（千克）， 答：这8筐白菜一共194.5千克； （3）194.5×3＝583.5（元）， 583.5×（1﹣0.9）＝58.35（元）． 答：这8筐白菜现价比原价便宜了58.35元． 4．某股票上周五的收盘价为39.60元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +2.1 ﹣1.8 +3.8 ﹣0.6 A （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价2.1元记作+2.1元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作﹣1.5元．） （1）本周星期四此股票的收盘价是多少？ （2）若本周星期五此股票的收盘价为42.6元，求a的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵上周五的收盘价为39.60元， ∴周四收盘价：39.60+2.1﹣1.8+3.8﹣0.6＝43.1元． （2）由（1）中求出的周四收盘价，及周五收盘价得： 43.1+a＝42.6， 解得：a＝﹣0.5， 故星期五此股票跌了，跌了0.5元． 5．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +4 ﹣2 ﹣5 +13 ﹣11 +17 ﹣9 （1）根据记录可知前三天共生产　597　辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　28　辆； （3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4+（﹣2）+（﹣5）+200×3＝597 （辆） （2）17﹣（﹣11）＝28 （辆） 故答案为：597，28； （3）1407×60+7×15＝84525（元） 答：厂工人这一周的工资总额是84525元． 6．某水泥仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）： +20、﹣25、﹣13、+28、﹣29、﹣16． （1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ （2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？ （3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）+20+（﹣25）+（﹣13）+（+28）+（﹣29）+（﹣16） ＝20﹣25﹣13+28﹣29﹣16＝﹣35， 答：仓库里的水泥减少了，减少了35吨； （2）200﹣（﹣35）＝235（吨） 答：6天前，仓库里存有水泥235吨； （3）（|+20|+|﹣25|+|﹣13|+|+28|+|﹣29|+|﹣16|）×5 ＝131×5＝655（元） 答：这6天要付655元的装卸费． 二．有理数（共1小题） 7．下列说法错误的是（　　） A．负整数和负分数统称负有理数 B．正整数，0，负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D．3.14是小数，也是分数 【答案】C 【解答】解：负整数和负分数统称负有理数，A不符合题意． 整数分为正整数、负整数和0，B不符合题意． 正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C符合题意． 3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D不符合题意． 故选：C． 三．数轴（共6小题） 8．数轴上的点A表示的数是+2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是（　　） A．5 B．±5 C．7 D．7或﹣3 【答案】D 【解答】解：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是2+5＝7或2﹣5＝﹣3． 故选：D． 9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|+|c﹣a|的结果为（　　） A．﹣3a+c B．a﹣2b﹣c C．﹣a﹣2b+c D．﹣a+2b+c 【答案】C 【解答】解：∵a＜0＜b＜c，且|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，c﹣a＞0， ∴|a+b|﹣|a﹣b|+|c﹣a| ＝﹣（a+b）+（a﹣b）+c﹣a ＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a+c ＝﹣a﹣2b+c， 故选：C． 10．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　120　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个． 故答案为：120． 11．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是　7　，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　13　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8； … 则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20， A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13． 故答案为7，13． 12．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为﹣5、15． （1）点P是数轴上任意一点，且PA＝PB，则点P对应的数是 　5　； （2）点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若M、N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ ②当M、N两点运动到AM＝2BN时，请直接写出点M在数轴上对应的数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设P点表示的数为x， 由题意得，x+5＝15﹣x， 解得，x＝5， 故答案为：5； （2）①由数轴知，当M，N重合时，3t﹣5＝2t， 解得，t＝5（秒）； 当M，N在O点异侧时，5﹣3t＝2t， 解得t＝1（秒）； 综上所述，经过5秒或1秒，点M、点N分别到原点O的距离相等； ②由题可得，ON＝2t，AM＝3t， 当点N在线段OB上时，BN＝OB﹣ON＝15﹣2t， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（15﹣2t）， 解得t＝， 若点M向右移动，则点M表示的数为﹣5+3×＝， 若点M向左移动，则点M表示的数为﹣5﹣3×＝﹣； 当点N在线段OB的延长线上时，BN＝ON﹣OB＝2t﹣15， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（2t﹣15）， 解得t＝30， 若点M向右移动，则点M表示的数为﹣5+3×30＝85， 若点M向左移动，则点M表示的数为﹣5﹣3×30＝﹣95； 当点N在线段BO的延长线上时，BN＝ON+OB＝2t+15， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（2t+15）， 解得t＝﹣30（不合题意）； 综上所述，M在数轴上对应的数为﹣95，85，﹣，． 13．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点之间的距离为 　12　； （2）当t＝1时，P、B两点之间的距离为 　8　； （3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10， ∴A、B两点之间的距离为10﹣（﹣2）＝12， 故答案为：12； （2）当t＝1时，点P表示的数为﹣2+4×1＝2，点B表示的数为10， ∴P、B两点之间的距离为10﹣2＝8， 故答案为：8； （3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中存在两条线段相等． AP＝4t，BQ＝t， 分三种情况： ①当PB＝BQ时， 如图，若B为PQ的中点，则AB﹣AP＝BQ，即12﹣4t＝t， 解得t＝2.4； 如图，若P，Q重合，则AP﹣AB＝BQ，即4t﹣12＝t， 解得t＝4； ②当PB＝PQ时， 如图，若P为BQ的中点，则BQ＝2（AP﹣AB），即t＝2（4t﹣12）， 解得t＝； 如图，若B，Q重合，则t＝0（不合题意）； ③当BQ＝PQ时， 如图，若Q为BP的中点，则AP﹣AB＝2BQ，即4t﹣12＝2t， 解得t＝6； 如图，若B，p重合，则AP＝AB，即4t＝12， 解得t＝3； 综上所述，当t＝2.4或4或或6或3时，线段PB、BQ、PQ中存在两条线段相等． 四．相反数（共1小题） 14．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程3x+2＝﹣4， 解得：x＝﹣2， 因为x、y互为相反数， 所以y＝2， 把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1， 解得：m＝2． 五．绝对值（共15小题） 15．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数 B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 C．绝对值越大，这个数越大 D．两个负数，绝对值大的那个数反而小 【答案】D 【解答】解：A．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A不合题意； B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B不合题意； C．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C不合题意； D．两个负数，绝对值大的那个数反而小，故选项D符合题意． 故选：D． 16．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（　　） A．x＝4或x＝﹣3 B．x＝4 C．x＝3或x＝﹣4 D．x＝﹣3 【答案】A 【解答】解：∵|2x﹣1|＝7， ∴2x﹣1＝±7， ∴x＝4或x＝﹣3． 故选：A． 17．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，|3|＝3，|5|＝5， ∵2＜3＜5， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记为﹣2的工件． 故选：A． 18．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 【答案】C 【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6， ∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6， ∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10． 故选：C． 19．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 【答案】A 【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17； 第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11； 第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5； 第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1； 第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7； 第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； 第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； … 第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7． 故选：A． 20．若|a|＝﹣a，a一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【解答】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a， a一定是非正数， 故选：C． 21．的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①a、b同号时，、也同号，即同为1或﹣1；故此时原式＝±2； ②a、b异号时，、也异号，即一个是1，另一个是﹣1，故此时原式＝1﹣1＝0； 所以所给代数式的值可能有3个：±2或0． 故选：C． 22．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 【答案】D 【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3， |y|＝5，y＝±5， ∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 故选：D． 23．如果a，b，c是非零有理数，那么的所有可能的值为（　　） A．﹣4，﹣2，0，2，4 B．﹣4，﹣2，2，4 C．0 D．﹣4，0，4 【答案】D 【解答】解：当a、b、c三个数都是正数时， 原式为1+1+1+1＝4； 当两数为正数，一数为负数时，原式为1+1﹣1﹣1＝0； 当一数为正数，两数为负数时，原式为1﹣1﹣1+1＝0； 当三个数为负数时，原式为﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4． 故选：D． 24．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（　　） A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．3 【答案】A 【解答】解：当a、b、c没有负数时，原式＝1+1+1＝3； 当a、b、c有一个负数时，原式＝﹣1+1+1＝1； 当a、b、c有两个负数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1； 当a、b、c有三个负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3． 原式的值不可能为0， 故选：A． 25．若3a+b＝0（a≠0），则﹣2的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵3a+b＝0（a≠0）， ∴3a＝﹣b， ∴a＝﹣b， 分两种情况： 当a＞0时，则b＜0， ∴﹣2＝+﹣2 ＝+（﹣）﹣2 ＝﹣2； 当a＜0时，则b＞0， ∴﹣2＝+﹣2 ＝﹣+﹣2 ＝﹣2； 综上所述：﹣2的值为﹣2， 故选：D． 26．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　4或0或2　． 【答案】4或0或2． 【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0， ∴a、b、c三个数中必定是一正两负， ∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时 ＝﹣1+2+3＝4； 当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝﹣1﹣2+3＝0 当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝1﹣2+3＝2 故答案为：4或0或2． 27．如果|m﹣1|＝5，则m＝　6或﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|m﹣1|＝5， ∴m﹣1＝5或m﹣1＝﹣5． 解得：m＝6或m＝﹣4． 故答案为：6或﹣4． 28．绝对值大于3而不大于7的所有整数是　﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7．　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：绝对值大于3且不大于7的所有整数是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7． 故答案为：﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7． 29．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　﹣1≤x≤2　，最小值是　3　”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　4≤x≤6　，最小值是　8　． （2）已知y＝|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8； （2）当x≥﹣2，时y＝﹣2x，当x＝﹣2时，y最大＝4； 当﹣4＜x≤﹣2时，y＝6x+16，当x＝﹣2时，y最大＝4； 当x≤﹣4，时y＝2x，当x＝﹣4时，y最大＝﹣8， 所以x＝﹣2时，y有最大值y＝4． 六．有理数大小比较（共1小题） 30．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 【答案】B 【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴﹣a＜0，﹣a＞b，﹣b＞0，﹣b＞a， 即b＜﹣a＜a＜﹣b， 故选：B． 七．有理数的加法（共2小题） 31．计算3+5+7+9+…+195+197+199的值是（　　） A．9699 B．9999 C．9899 D．9799 【答案】B 【解答】解：∵都是连续奇数， ∴共有（199+1）÷2﹣1＝99个数，即：共有49对202和正中间的99+2＝101， ∴原式＝202×49+101＝9999． 故选：B． 32．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　﹣3或﹣6　． 【答案】﹣3或﹣6． 【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，解得b＝﹣5， 6+4﹣5+x＝2，解得x＝﹣3， 则a＝2，y＝﹣1或a＝﹣1，y＝2， 当a＝2时， a+b＝2+（﹣5）＝﹣3； 当a＝﹣1时， a+b＝﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣3或﹣6． 八．有理数的减法（共1小题） 33．已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝　﹣5或﹣1　． 【答案】﹣5或﹣1． 【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9， ∴x＝±2，y＝±3， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y＜0， ∴x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5， 或x﹣y＝2﹣3＝﹣1， 所以x﹣y＝﹣5或﹣1． 故答案为：﹣5或﹣1． 九．有理数的加减混合运算（共1小题） 34．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 【答案】C 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7． 故选：C． 一十．有理数的乘法（共2小题） 35．绝对值不大于4的整数的积是（　　） A．16 B．0 C．576 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，所以它们的乘积为0． 故选：B． 36．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　±2　． 【答案】±2． 【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝6， ∴x＝±8，y＝±6． ∵xy＞0， ∴x、y同号． ∴当x＝8时，y＝6，x﹣y＝8﹣6＝2．当x＝﹣8时，y＝﹣6，x﹣y＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣2． 故答案为：±2． 一十一．有理数的乘方（共3小题） 37．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【答案】C 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 38．下列各组数中，结果相等的是（　　） A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣24与（﹣2）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20 【答案】D 【解答】解：A．52＝25，25＝32，所以52≠25，故本选项不符合题意； B．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，所以﹣22≠（﹣2）2，故本选项不符合题意； C．﹣24＝﹣16，（﹣2）4＝16，所以﹣24≠（﹣2）4，故本选项不符合题意； D．（﹣1）2＝1，（﹣1）20＝1，所以（﹣1）2＝（﹣1）20，故本选项符合题意． 故选：D． 39．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为　1　厘米． 【答案】1厘米． 【解答】解：2020×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣） ＝2020×××…× ＝1（厘米）． 答：剩下的塑料管长为1厘米． 故答案为：1． 一十二．有理数的混合运算（共6小题） 40．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【答案】D 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 41．若规定“！”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24，…，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得： ＝＝， 故答案为：． 42．计算：﹣14﹣[2﹣（﹣3）2]÷（）3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝﹣1﹣[2﹣9]÷， ＝﹣1﹣（﹣7）×8， ＝﹣1+56， ＝55． 43．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：盏） +4 ﹣6 ﹣3 +10 ﹣5 +11 ﹣2 （1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？ （2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4﹣6﹣3+10﹣5+11﹣2＝9（盏）， 300×7+9＝2109（盏）， 答：该该灯具厂上周实际生产景观灯2109盏； （2）根据题意，4+10+11＝25（盏）， 6+3+5+2＝16（盏）， 2109×50+25×15﹣16×20＝105505（元）， 答：该灯具厂工人上周的工资总额是105505元． 44．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表： 与标准重量的差值（单位：千克） ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.25 0.3 0.5 箱数 1 2 4 6 n 2 （1）求n的值及这20箱樱桃的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； （3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱）， 10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2 ＝203（千克）； 答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克； （2）25×203﹣200×20 ＝1075（元）； 答：全部售出可获利1075元； （3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20 ＝466（元）． 答：是盈利的，盈利466元． 45．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：＝　　； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）﹣． 【解答】解：（1）＝， 故答案为：； （2）由（1）易得： ＝ ＝ ＝； （3）+ ＝﹣×（++++…+） ＝﹣×（1﹣++…+） ＝﹣×（1﹣） ＝﹣× ＝﹣． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/5 11:38:45；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 $$