清单03 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单03 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】列代数式 【典例1】的3倍与的平方的差用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是理解题意，确定运算的先后顺序，先表示的3倍，的平方，再求差即可． 【详解】解：由题意得，的3倍与的平方的差用代数式表示为：． 故选：B． 【变式1-1】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米b元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是准确列出代数式； 先根据题意列出代数式，再计算即可． 【详解】解：该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费为元，即元， 故选：B． 【变式1-1】如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用代数式表示数或数量关系，理解图示中的数量关系，掌握代数式表示实际意义是解题的关键． 根据题意，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分长方形的面积，由此列代数式即可求解． 【详解】解：根据题意，大长方形的面积为：，空白部分长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， 故选：B ． 【变式1-2】某种商品原价为每件元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，则第二次降价后的售价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意易得第一次降价后的价格为元，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：第二次降价后的售价为元； 故答案为． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解∶ 在式子，，，，中，代数式有，，，共三个， 故选∶B． 【变式2-1】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】下列代数式中书写规范的是（   ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．应该写成，故A不符合题意； B．书写正确，故B符合题意； C．应该写成，故C不符合题意； D．厘米应该写成厘米，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．比的2倍少3的数用代数式表示为 B．与2的差的5倍用代数式表示为 C．代数式表示的相反数与的和 D．代数式表示比的倒数多2的数 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及代数式的意义，根据各选项中的数量关系分析即可． 【详解】解：A．比的2倍少3的数用代数式表示为，故不正确； B．与2的差的5倍用代数式表示为，正确； C．代数式表示的相反数与的差，故不正确； D．代数式表示比的倒数的2倍，故不正确； 故选B． 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】代数式时，则代数式 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查代数式的求值，熟练掌握整体代入思想的运用是解题的关键． 将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4． 【变式3-1】若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的求值．先求出，推出，再将整理为，将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：． 【变式3-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，首先将变形为，然后整体代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3-3】如图是关于数学的一个趣味游戏，也称“问题”，小明一开始输入的数字是20，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，……，请问第80次输出的结果为（   ） A．8 B．4 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，规律型：数字的变化类．先计算出前10次输出的结果，找到规律，再计算求解． 【详解】解：第一次输出的结果为：， 第二次输出的结果为：， 第三次输出的结果为：， 第四次输出的结果为：， 第五次输出的结果为：， 第六次输出的结果为：， 第七次输出的结果为：， 第八次输出的结果为：， 第九次输出的结果为：， 第十次输出的结果为：， ……， 从第5次开始，以4，2，1依次循环， ∵， ∴第80次输出的结果为4． 故选：B． 【考点题型四】单项式和多项式的判断 【典例4】式子中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式有：，共2个， 故选：B． 【变式4-1】下列6个代数式：，，，，，，其中单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，，其中单项式有，，，共3个． 故选：C 【变式4-2】下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据多项式是几个单项式的和逐个判断即可． 【详解】解：、、为多项式， 0、、为单项式， 不是整式； 故选A． 【点睛】本题考查多项式的定义，要细致掌握概念并灵活运用是解题的关键，同时注意π不是字母是数字，是易错点． 【变式4-3】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数、次数分别为（    ） A．3和2 B．3和3 C．和2 D．和3 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式中的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数、次数分别为， 故选：D． 【变式5-1】单项式的系数和次数分别为（    ） A．5，4 B．，4 C．，5 D．，5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数和次数； 根据单项式中的数字因数是单项式的系数、单项式中所有字母指数的和是单项式的次数可得答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：D． 【变式5-2】单项式的系数 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，系数是单项式前面的数字因数，次数是所有字母的指数的和． 根据系数和次数的定义求解即可． 【详解】解：单项式的系数，次数是4． 故答案为：，4． 【变式5-3】单项式的系数是 ，次数是 ； 【答案】 六/6 【分析】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数．根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和 ∴此单项式的系数是，次数是六． 故答案为：；六． 【考点题型六】多项式的项、项数或次数 【典例6】对于多项式，下列说法错误的是（   ） A．它是二次三项式 B．各项分别是，， C．最高次项的系数是7 D．常数项是 【答案】B 【分析】本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念即可求出答案． 【详解】解：A、它是二次三项式，正确，故A不符合题意； B、各项分别是，，，错误，故B符合题意； C、最高次项的系数是7，正确，故B不符合题意； D、常数项是，正确，故D不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的项数为2 B．多项式的次数是6 C．它的最高次项系数是2 D．常数项是 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解；A、该多项式的项数为3，原说法错误，不符合题意； B、多项式的次数是4，原说法错误，不符合题意； C、它的最高次项系数是，原说法错误，不符合题意； D、常数项是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】多项式的项数和次数分别是（    ） A．4，6 B．4，10 C．3，6 D．3，10 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的项数和次数，根据多项式的项数和次数的定义解题即可．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【详解】解：的项数和次数分别是4，6． 故选：A． 【变式6-3】多项式的一次项是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是多项式，根据多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行解答即可． 【详解】解：多项式中一次项是 故答案为：． 【考点题型七】多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于，的四次多项式，则（    ） A．10 B． C．12或 D．10或 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数：“最高项的次数”，根据题意，得到：，求出的值后，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，或， ∴或； 故选D． 【变式7-1】若多项式是关于的五次四项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项、项的系数和次数的定义．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数，根据多项式的项、项的次数和系数的定义解答即可． 【详解】解：由于是关于的五次四项式， 多项式中最高次项的次数是5次，二次项的系数的值是0， ∴，， ∴， 则． 故答案为：． 【变式7-2】已知多项式是关于的二次三项式，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】根据多项式是关于的二次三项式，则，，求出的值，即可． 【详解】∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，绝对值的运用． 【变式7-3】若是关于的三次三项式，则 ． 【答案】1 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的三次三项式， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【考点题型八】去括号和添括号 【典例8】下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题关键． 根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，分别判断得出答案． 【详解】解：A．，正确，故此选项不合题意； B．，正确，故此选项不合题意； C．，原计算错误，故此选项符合题意； D．，正确，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式8-1】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式8-2】下列去括号或添括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析即可． 【详解】解：A. ，正确，故A不符合题意； B. ，正确，故B不符合题意； C. ，正确，故C不符合题意； D. ，∵，∴计算不正确，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了去括号和添括号的方法，注：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式8-3】下列各式中，去括号或添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用去括号法则和添括号法则即可作出判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【考点题型九】同类项 【典例9】若与是同类项，则的值为（    ）． A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的概念，有理数的乘方运算，关键是掌握同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可计算． 【详解】解：∵与是同类项， ， ∴ 故选：C． 【变式9-1】不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是熟记同类项的定义． 含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的几个单项式是同类项，根据定义求解即可． 【详解】解：A、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； B、和所含相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； D、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式9-2】已知和是同类项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解二元一次方程组，代数式求值等知识点，深刻理解同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义列出二元一次方程组，解二元一次方程组，代入求值即可得到答案． 【详解】解：和是同类项， ， 对于，移项，得：， 合并同类项，得：； 对于，系数化为，得：； ， ， 故选：． 【变式9-3】若 与的和仍是单项式，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据题意，得到两个单项式为同类项，根据同类项的定义，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：与为同类项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点题型十】合并同类项 【典例10】下列运算正确的是 （          ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行相加，字母和字母的指数部分保持不变，据此求解判断即可． 【详解】解：、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【变式10-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义和合并同类项，依据同类项的定义与合并同类项法则求解即可．熟练掌握合并同类项法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”是解题关键． 【详解】．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式10-2】下列运算正确的是  （       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，此选项不符合题意； B、，原计算错误，此选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，此选项不符合题意； D、，原计算正确，此选项符合题意． 故选：D． 【变式10-3】下列各式中，合并同类项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键． 利用合并同类项法则分别求出判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点题型十一】整式的加减运算 【典例11】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-2】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 【变式11-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． （2）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十二】整式的加减中的化简求值 【典例12】先化简下式，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，再合并同类项，化简后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式12-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，求代数式的值，先去括号，然后合并同类项，再把x、y的值代入计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式12-2】先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，再把x的值代入计算即可求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查整式的化简求值．将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【考点题型十三】整式加减的应用 【典例13】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 【变式13-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)8 (2)元 (3)元或元或36元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接根据收费标准进行列式计算即可； （2）直接根据收费标准进行列式计算即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，当4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：元， ∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元， 故答案为：8； （2）解：元， ∴该用户3月份应交水费元； （3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过， 则4，5月份共交水费为（元）； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过， 则4，5月份交的水费为（元）； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于， 则4，5月份交的水费为（元）． 综上所述，4，5月份交的水费为元或元或36元． 【变式13-2】【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； (2)购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用； （1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； （2）依题意，甲方案购买共需要（元）， 乙方案购买共需要（元）， 当， 解得， ∴； 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算； 【变式13-3】福州盆地盛产柑桔，福桔是福州市市果，汁多味甜，风味独特．某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和线上两种销售渠道，包装方式及售价如下表所示．假设用这两种包装方式恰好包装完所有的福． 福桔重量（） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)销售商第一批购进福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，实体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装，有10元的利润；而线上销售，需按销售额的向平台支付管理费（其它额外成本忽略不计）． ①若销售商第二批购进福枯，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实体店和线上应各售出多少盒？ ②销售商从第三次开始多批次购买，每批次均购进福桔，为回馈社会，实体店决定每卖出一盒，捐出a元进行助农活动．在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批次起，每批次的销售利润始终不变，求a的值． 【答案】(1)实体店和线上各售出100盒，140盒 (2)①实体店和线上各售出200盒，180盒；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的应用： （1）设实体店售出x盒，则线上售出盒，根据线上和实体店的总重量为1000千克列出方程求解即可； （2）①设实体店售出m盒，则线上售出盒，根据总利润为4700元列出方程求解即可；②设实体店售出n盒，则线上售出盒，据此可得利润为（元），再根据利润不变即可得到答案． 【详解】（1）解；设实体店售出x盒，则线上售出盒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴实体店和线上各售出100盒，140盒； （2）解：①设实体店售出m盒，则线上售出盒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴实体店和线上各售出200盒，180盒； ②设实体店售出n盒，则线上售出盒， ∴销售的利润为 （元）， ∵从第三批次起，每批次的销售利润始终不变， ∴， ∴． 【考点题型十四】整式加减中的无关型问题 【典例14】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 【变式14-1】已知：，． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了整式的加减；解题的关键是根据整式的加减运算顺序分别进行计算即可． （1）根据，求出和，再进行相加即可求出答案； （2）根据（1）求出的答案，先把提出来，再根据的值与的取值无关，即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，的值与的取值无关， ， ； 【变式14-2】已知，． (1)求． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把已知条件中的A，B代入，利用去括号法则和合并同类项法则进行化简即可； （2）先把（1）中得到的的值写成，根据的值与a的取值无关，列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）由（1）知： ， 的值与a的取值无关， ， ． 【变式14-3】已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的加减运算及整式加减运算中的无关型问题： （1）根据整式的加减运算法则得，再将代入原式即可求解； （2）由（1）得，根据的值与的值无关可得，进而可求解； 熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 把代入原式得：． （2）由（1）得：， 的值与的值无关， ， 解得：． 【考点题型十五】数字中的规律 【典例15】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，即可得出结果． 【详解】解： 故每三个数是一组循环数字， ∵， ∴； 故选C． 【变式15-1】观察下列算式：，，，，，，…，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】C 【分析】本题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，再用除以4得到余数，即可求得答案. 【详解】解：根据题意得末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， ， ∴的末位数字与的末位数字相同， 故选：C． 【变式15-2】一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下绳子的长度是 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是，第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是， 第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是， ……， 第2024次剪完后剩下绳子的长度是． 故答案为：． 【变式15-3】观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得的特点，第个数是，的特点，第个数是； （2）观察式子的特点，可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出，最后再求即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是， 故答案为：，． （2）解：的特点，第个数是， 故答案为：． （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时，， ． 【考点题型十六】图形中的规律 【典例 16】如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，则11节链条拉直后长度为（    ）． A．19.5 B．21.2 C．25 D．27.5 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握并会应用一元一次方程解决实际问题是解题的关键；根据题意，可先表示出x节链条拉直后的长度，将代入即可求解． 【详解】根据题意可得， 1节链条拉直后长度为； 2节链条拉直后长度为； 3节链条拉直后长度为； 所以，x节链条拉直后长度为 所以，当时，11节链条拉直后长度为 ． 故选：A． 【变式16-1】如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第12个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第10个图中正方形和等边三角形的个数之和为（    ）个． A．102 B．91 C．93 D．103 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前三个图形可得第n个图中正方形和等边三角形的个数之和，据此规律求解即可. 【详解】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和； ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和， …， ∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和， ∴第10个图中正方形和等边三角形的个数之和． 故选：C． 【变式16-2】如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（     ） A．2024 B．2023 C．674 D．673 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律的变化，先根据图形得出阴影小正方形的变化规律，进而得出答案． 【详解】第一个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5个，； 第二个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，； 第三个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8个，； 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为， 解得． 故选：C． 【变式16-3】化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，以下为部分碳氢化合物的结构式图，其中C表示碳原子，H表示氢原子，则第2024个结构式图中氢原子个数为（    ）    A．2024 B．2026 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知相邻两个图形之间，后面一个图形比前面一个图形多2个氢原子，则可得到第n个结构式图中氢原子个数为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个结构式图中氢原子个数为， 第2个结构式图中氢原子个数为， 第3个结构式图中氢原子个数为， ……， 以此类推可知，第n个结构式图中氢原子个数为， ∴第2024个结构式图中氢原子个数为， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的加减（16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】列代数式 【典例1】的3倍与的平方的差用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米b元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某种商品原价为每件元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，则第二次降价后的售价是 元． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列代数式中书写规范的是（   ） A． B． C． D．厘米 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．比的2倍少3的数用代数式表示为 B．与2的差的5倍用代数式表示为 C．代数式表示的相反数与的和 D．代数式表示比的倒数多2的数 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】代数式时，则代数式 ． 【变式3-1】若，则代数式的值为 ． 【变式3-2】已知，则的值为 ． 【变式3-3】如图是关于数学的一个趣味游戏，也称“问题”，小明一开始输入的数字是20，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，……，请问第80次输出的结果为（   ） A．8 B．4 C．1 D．2 【考点题型四】单项式和多项式的判断 【典例4】式子中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】下列6个代数式：，，，，，，其中单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-3】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数、次数分别为（    ） A．3和2 B．3和3 C．和2 D．和3 【变式5-1】单项式的系数和次数分别为（    ） A．5，4 B．，4 C．，5 D．，5 【变式5-2】单项式的系数 ，次数是 ． 【变式5-3】单项式的系数是 ，次数是 ； 【考点题型六】多项式的项、项数或次数 【典例6】对于多项式，下列说法错误的是（   ） A．它是二次三项式 B．各项分别是，， C．最高次项的系数是7 D．常数项是 【变式6-1】下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的项数为2 B．多项式的次数是6 C．它的最高次项系数是2 D．常数项是 【变式6-2】多项式的项数和次数分别是（    ） A．4，6 B．4，10 C．3，6 D．3，10 【变式6-3】多项式的一次项是 ． 【考点题型七】多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于，的四次多项式，则（    ） A．10 B． C．12或 D．10或 【变式7-1】若多项式是关于的五次四项式，则 ． 【变式7-2】已知多项式是关于的二次三项式，则常数的值为 ． 【变式7-3】若是关于的三次三项式，则 ． 【考点题型八】去括号和添括号 【典例8】下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】下列去括号或添括号不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】下列各式中，去括号或添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】同类项 【典例9】若与是同类项，则的值为（    ）． A． B． C．8 D． 【变式9-1】不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式9-2】已知和是同类项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】若 与的和仍是单项式，则的值等于 ． 【考点题型十】合并同类项 【典例10】下列运算正确的是 （          ）． A． B． C． D． 【变式10-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列运算正确的是  （       ） A． B． C． D． 【变式10-3】下列各式中，合并同类项错误的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】整式的加减运算 【典例11】化简 (1) (2) 【变式11-1】化简： (1)； (2)． 【变式11-2】化简 (1) (2) 【变式11-3】计算： (1)； (2)． 【考点题型十二】整式的加减中的化简求值 【典例12】先化简下式，再求值：，其中，． 【变式12-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式12-2】先化简，再求值：其中． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中，． 【考点题型十三】整式加减的应用 【典例13】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【变式13-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，如表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【变式13-2】【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 【变式13-3】福州盆地盛产柑桔，福桔是福州市市果，汁多味甜，风味独特．某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和线上两种销售渠道，包装方式及售价如下表所示．假设用这两种包装方式恰好包装完所有的福． 福桔重量（） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)销售商第一批购进福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，实体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装，有10元的利润；而线上销售，需按销售额的向平台支付管理费（其它额外成本忽略不计）． ①若销售商第二批购进福枯，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实体店和线上应各售出多少盒？ ②销售商从第三次开始多批次购买，每批次均购进福桔，为回馈社会，实体店决定每卖出一盒，捐出a元进行助农活动．在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批次起，每批次的销售利润始终不变，求a的值． 【考点题型十四】整式加减中的无关型问题 【典例14】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【变式14-1】已知：，． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【变式14-2】已知，． (1)求． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【变式14-3】已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【考点题型十五】数字中的规律 【典例15】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 【变式15-1】观察下列算式：，，，，，，…，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【变式15-2】一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下绳子的长度是 m． 【变式15-3】观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 【考点题型十六】图形中的规律 【典例 16】如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，则11节链条拉直后长度为（    ）． A．19.5 B．21.2 C．25 D．27.5 【变式16-1】如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第12个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第10个图中正方形和等边三角形的个数之和为（    ）个． A．102 B．91 C．93 D．103 【变式16-2】如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有2024个涂有阴影的小正方形，则n的值为（     ） A．2024 B．2023 C．674 D．673 【变式16-3】化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，以下为部分碳氢化合物的结构式图，其中C表示碳原子，H表示氢原子，则第2024个结构式图中氢原子个数为（    ）    A．2024 B．2026 C．4048 D．4050 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 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