清单02 有理数及其运算（20个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单02 有理数及其运算（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题． 【详解】解：收入200元显示为， 支出50元将显示为， 故选：B． 【变式1-1】史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：增产记为，那么减产记作， 故选：C． 【变式1-2】中国是最早采用正、负数来表示相反意义的量的国家．如果收入200元记作元，那么亏损120元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数，熟练掌握具有相反意义的量可以用正负数表示是解题的关键； 根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”进行求解即可． 【详解】正、负数来表示相反意义的量， 收入200元记作元，那么亏损120元记作元， 故选：C． 【变式1-3】如果风车顺时针旋转66°，记作，那么逆时针旋转，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，明确相反意义的量是解答本题的关键，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．正确审题明确正负的意义，即得答案． 【详解】如果风车顺时针旋转，记作，那么逆时针旋转，记作． 故选：A． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若向东走20米记作米，那么向西走30米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是具有相反意义的量． 根据具有相反意义的量的表示方法求解即可． 【详解】解：若向东走20米记作米，那么向西走30米记作米． 故答案为：． 【变式2-1】如图，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年1月28日时，纽约的时间是 ． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 【答案】2024年1月27日时 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，根据正数和负数的实际意义，结合表格信息即可求得答案． 【详解】解：当北京的时间为2024年1月28日时，纽约的时间是2024年1月27日20：00时， 故答案为：2024年1月27日时． 【变式2-2】如果元表示支出50元，那么元表示 ． 【答案】收入40元 【分析】根据正负数表示一对相反意义的量：支出为负，则收入为正，进行作答即可． 【详解】解：如果元表示支出50元，那么元表示收入40元； 故答案为：收入40元． 【变式2-3】中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，如果盈利元记作元，那么亏损元可记作 元． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利元记作元，那么亏损元可记作元 故答案为：． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】（    ） A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数 【答案】C 【分析】根据负数、分数及有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是小数，是有理数，是负数也是分数． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数和正数和负数的知识点，解题的关键是掌握正负数，有理数的概念． 【变式3-1】在，，，，……中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义，即可求解． 【详解】解：在，，，，……中，有理数有，，，有3个，，……，不是有理数．     故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的定义，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键． 【变式3-2】下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数是整数和分数的统称逐个判断即可． 【详解】解：所给的数中，0，，3.151151115，是有理数，有4个， 故答案为：4． 【变式3-3】在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查负有理数的知识点，负有理数是指小于零的有理数，包括负整数和负分数，根据负有理数的概念逐个判断即可． 【详解】解：负有理数是，，． 故答案为：，，． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，． 正数：{                         }； 负数：{                                }； 非负整数：{                         }； 整数：{                              }； 分数：{                            }； 负分数：{                              }． 【答案】，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；． 【分析】本题考查了正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是正确理解正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义． 【详解】正数：{，，， }； 负数：{，，， }； 非负整数：{，， }； 整数：{，，，，， }； 分数：{，， }； 负分数：{ }； 故答案为：，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；． 【变式4-1】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了有理数的知识，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 【变式4-2】将有理数分别填在相应的大括号里． 整数：{    …}； 负数：{    …}； 正分数：{    …} 【答案】0，2023；，；，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据有理数的概念分类即可． 【详解】解：整数：0，2023； 负数：，； 正分数：，． 故答案为：0，2023；，；，． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】两数在数轴上的位置如图所示，将用“”连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小，先由数轴得到，再在数轴上准确找到的位置，利用数轴性质比较大小即可得到答案，掌握数轴性质、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，， ，， ，即， 故选：B． 【变式5-1】在0、1、、四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了寻找一组数据中最小的数．熟练掌握比较数的大小是解决问题的关键． 把0、1、、四个数用“”连接起来，取最小的一个即可（方法不唯一）． 【详解】把0、1、、四个数用“”连接起来：， ∴最小的数是：． 故选：A． 【变式5-2】在，，0，四个数中，最小的数是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，负数都小于0是解题关键．根据正数大于0，0大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，可得答案． 【详解】解：， 故最小的数是． 故选：B 【变式5-3】比较大小： ； （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号、求绝对值，根据有理数的大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：，． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【典例6】点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，注意数轴上到一个点距离相等的点有两个，要考虑全面． 数轴上与 距离为3的点有两个，一个在左，一个在右，可得点表示的数． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式6-1】数轴上与原点距离是的点有两个，它们表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上与原点距离的定义即可，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键． 【详解】解：数轴上与原点距离是的点有两个，分别为和， 故选：． 【变式6-2】数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 【变式6-3】数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离且结合题意进行分类讨论是解题的关键．分两种情况分别求解即可． 【详解】解：当另一个点在3的右边时， 此时另一点表示的数为； 当另一个点在3的左边时， 此时另一点表示的数为． 故答案为：8或． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【典例7】已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【答案】(1)1 (2)x的值是5 (3)点P对应的数是或 【分析】本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系． （1）根据点P为的中点列方程即可解得答案； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，知这种情况不存在；当P在B右侧时，，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：，解出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，P表示的数是， 当时，P表示的数是， 答：点P对应的数是或． 【变式7-1】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)运动时间为12秒或1秒 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题， （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，用点B表示的数减去点A表示的数，即可求解； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 由（1）得：，， ∵， ∴， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 【变式7-2】如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点．    (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)若点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，3 (2)0 (3)不改变，值是29 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由题意可求得折叠点对应的数，再求点对应的数即可； （3）分别表示出点、点、点运动后的数，再结合进行求解即可． 【详解】（1）解： ，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 故答案为：，3； （2）解：将数轴折叠，使得点与点重合， 折叠点对应的有理数为：， 点到折叠点的距离为：， 与点重合的点表示的数为：； （3）解：的值不会随着的变化而变化， 理由如下： 点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动， 运动后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，， ， 的值不会随着的变化而变化，该值是29． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，读懂题意，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 【考点题型八】倒数的概念和相反数的概念 【典例8】的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选：D． 【变式8-1】2024的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解∶ 2024的倒数是， 故选∶C． 【变式8-2】的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和倒数，根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，倒数定义“乘积为1的两个数互为倒数”，进行求解即可．熟练掌握相反数和倒数的定义，是解题的关键． 【详解】解：的相反数是；的倒数是． 故答案为：；． 【考点题型九】相反数的性质运用 【典例9】设与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式9-1】若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ． 【答案】1 【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c是最小的非负数， ∴， ∵d是最小的正整数， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式9-2】已知与2互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 【变式9-3】若、互为相反数，则 ． 【答案】5 【分析】根据互为相反数的两个数的和为，可得的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：、互为相反数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，先算的值，再算绝对值． 【考点题型十】绝对值定义、绝对值的性质 【典例10】若，互为相反数，的绝对值为，则的值是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】此题重在考查、相反数、绝对值的意义以及有理数的混合运算等知识点．正确计算是解题的关键；根据，互为相反数，可得，的绝对值为，求出的值，代入计算即可求解； 【详解】解：a，b互为相反数 的绝对值为 故选：D 【变式10-1】的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是，， 故选：C． 【变式10-2】的绝对值是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 【变式10-3】若，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式10-3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，根据若，则的性质判断即可，解答本题的关键是掌握绝对值的性质． 【详解】解：∵， ∴， 故答案：． 【考点题型十一】化简绝对值 【典例11】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，判断出，然后去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴上数的表示可知，， ∴， ∴原式， 故选：C． 【变式11-1】若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 【变式11-2】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，先观察数轴得出，再根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则，对四个答案依次分析即可． 【详解】由图可知：， 则 故选：B． 【变式11-3】已知为有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义求含绝对值的代数式的最值，理解绝对值的几何意义，分类讨论求解即可得到答案，熟记绝对值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：表示的点为数轴上的一个动点，由绝对值的几何意义可知，指表示的点与表示的点的距离 表示的点与表示的点的距离，分三种情况： 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 综上所述，的最小值是为， 故答案为：． 【考点题型十二】非负性的性质 【典例12】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 【变式12-1】已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，则每一个加数都为零． 根据绝对值和平方的非负性可知，，求出、的值代入即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式12-2】已知则 ． 【答案】7 【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 【变式12-3】已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方和绝对值的非负性、非负数的性质、代数式的值等知识，根据与互为相反数得到，再根据两个非负数的和为0则每个数是0，得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 【考点题型十三】有理数的加减运算 【典例13】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）先去括号，然后进行加减运算即可； （2）先去括号，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-1】将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号． 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式13-2】已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义．由绝对值的定义，求出，由，且，求得，或，，即可求出的值． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：或． 【变式13-3】 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将原式进行交换结合，再利用加法运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 【考点题型十四】有理数乘除法运算 【典例14】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【分析】（1）根据分配率进行计算即可求解； （2）先把除法转化为乘法，再进行有理数的乘法运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： =1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的加减乘除运算法则是解题关键，注意在进行有理数的四则混合运算时，能用运算律的可以用运算律简化运算． 【变式14-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题． 【详解】解： ． 【变式14-2】计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算； （2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法 【详解】（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算． 【考点题型十五】有理数的乘方 【典例15】下列各组数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算和绝对值，根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，，故A选项数值不相等，不符合题意； B、，，故B选项数值不相等，不符合题意； C、，故C选项数值相等，符合题意； D、，，故D选项数值不相等，不符合题意． 故选：C． 【变式15-1】在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】考查了有理数的乘方、绝对值、相反数等知识，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最简形式再判断．先把各式化简，然后根据负数的定义判断即可． 【详解】解：，，，， ∴负数有，，共2个． 故选：B． 【变式15-2】下面对有理数的大小关系判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数的比较大小的法则．根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可． 【详解】解：A、∵，， 又∵， ∴，本选项正确，不符合题意； B、∵，， ∴，本选项正确，不符合题意； C、∵，， 又∵， ∴，本选项错误，符合题意； D、∵，， ∴，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【考点题型十六】有理数混合运算 【典例16】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的四则混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键． 【变式16-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先按照分配律计算乘法运算，再计算括号内的加减运算，最后合并即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式16-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，有理数的乘方等知识，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算绝对值，有理数的乘方，再根据乘法分配律和有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算绝对值，有理数的乘方，再根据有理数的混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式16-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式16-4】计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算乘方即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型十七】算“24”点 【典例17】根据“二十四点”游戏的规则，用仅含有加、减、乘、除及括号的运算式（每个数字只能用一次），使，，，的运算结果等于： （只要写出一个算式即可 ） 【答案】 【分析】根据“二十四点”游戏的规则列算式，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式17-1】“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式 ． 【答案】 【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】 解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘 除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运 算法则计算． 【变式17-2】有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）． 【答案】-2×（-3-4-5）=24 【分析】写一个算式，可以用加减乘除，乘方，括号，使最后结果为24． 【详解】解：-2×（-3-4-5） =-2×[（-3）+（-4）+（-5）] =-2×（-12） =24． 故答案为：-2×（-3-4-5）=24． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，考核学生的计算能力，注意运算顺序． 【变式17-3】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可； （2）假设一组数字，再进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6， 则．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【考点题型十八】科学计数法 【典例18】年国庆档全国电影票房为亿元，观影人次为万，国产影片票房为亿元，占比为，其中数据亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿即2017000000， ， 故选：B． 【变式18-1】我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：A． 【变式18-2】2021年12月3日中老铁路全线开通运营，全长米，将米用科学记数法表示应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将1035000用科学记数法表示应为， 故选：B． 【变式18-3】2021年是中国共产党百年华诞，在中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，128000个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，数据128000用科学记数法表为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：； 故答案为： 【考点题型十九】近似数的表示 【典例19】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题考查四舍五入的近似法则，根据四舍五入近似的法则判断：对于精确到的数位的后一位四舍五入，是解决问题的关键． 【详解】A.0.05019精确到0.1约为0.1，说法正确，不符合题意； B. 0.05019精确到百分位约为0.05，说法正确，不符合题意； C. 0.05019精确到十分位约为0.1，原说法错误，符合题意； D. 0.05019精确到0.0001约为0.0502，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式19-1】用四舍五入法得到的近似数万，精确到（   ） A．千分位 B．万位 C．十位 D．百位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度求解；熟练掌握近似数的精确度是解题的关键；根据近似数精确度求解即可； 【详解】解：万 即精确到了十位； 故选：C 【变式19-2】有理数精确到百分位的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位，把近似数精确度百分位，即按照四舍五入的方法把千分位上的数处理即可得到答案．掌握“利用四舍五入的方法确定近似数”是解本题的关键． 【详解】解：有理数精确到百分位的近似数为． 故答案为：． 【变式19-3】对于近似数，它有 个有效数字． 【答案】3 【分析】本题考查的是有效数字的含义，根据有效数字的定义可以得到题目中的数有几个有效数字，从而可以解答本题． 【详解】解：近似数，它有3个有效数字， 故答案为：3． 【考点题型二十】有理数实际应用 【典例20】某快递公司小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如下表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ (2)在第几次记录时快递小哥距公司地最远，计算说明理由． (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快递小哥工作结束后要回公司交回三轮摩托车，那么快递小哥工作一天需要花汽油费多少元？ 【答案】(1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的东边，距离公司有2千米 (2)第五次距公司地的距离最远 (3)快递小哥工作一天需要花汽油费24.192元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出所有数据的和，根据和的情况进行说明即可； （2）求出每一次距离公司地的距离，进行判断即可； （3）求出所有数据的绝对值的和再加上返回公司的路程，求出总路程，再乘以每千米的油耗，再乘以单价，即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的东边，距离公司有2千米； （2）第一次距公司地的距离：（千米） 第二次：（千米） 第三次：（千米） 第四次：（千米） 第五次：（千米） 第六次：（千米） 第七次距公司地的距离：（千米）； 第五次距公司地的距离最远； （3）（千米）， （升），（元）， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费24.192元． 【变式20-1】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） (1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； (2)小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； (3)小王第一周销售柚子一共收入3590元． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题关键． （1）用销售量最多的一天与销售量最少的饿一天相减，即可得到答案； （2）根据第一周实际销售的柚子数量相加，即可得到答案； （3）用（2）所得实际销售量乘以每千克利润，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入3590元． 【变式20-2】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量，理由见解析 (3)3585元 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）先将各数相加求得正负即可求解； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 【详解】（1）解：（斤）． 所以根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤． 故答案为：29； （2）解：本周实际销售总量达到了计划数量． 理由：， 故本周实际销量达到了计划数量； （3）解： （元）． 答：小明本周一共收入3585元． 【变式20-3】某校初一年级两个班的学生要到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共人，其中初一（1）班有多人，不足人，教育基地门票价格如下：原计划两班都以班为单位购票，则一共应付元，请回答下列问题： (1)初一（1）班有多少人？ (2)你作为组织者如何购票最省线？比原计划省多少钱？ 购票张数 张 张 张以上 每张票的价格 元 元 元 【答案】(1)人 (2)两个班一起购票最省钱，比原计划省节省元 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）设初一（1）班有x人，则初一（2）班有人，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）用分开购票的钱减去一起购票的钱即可求得答案． 【详解】（1）解：设初一（1）班有x人，则初一（2）班有人， 根据题意有：， 解得，， 答：初一（1）有人； （2）两个班一起购票最省钱， （元）， 即比原计划省节省元． 【变式20-4】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数及其运算（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产记为，那么减产记作（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】中国是最早采用正、负数来表示相反意义的量的国家．如果收入200元记作元，那么亏损120元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-3】如果风车顺时针旋转66°，记作，那么逆时针旋转，记作（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若向东走20米记作米，那么向西走30米记作 米． 【变式2-1】如图，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年1月28日时，纽约的时间是 ． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 【变式2-2】如果元表示支出50元，那么元表示 ． 【变式2-3】中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，如果盈利元记作元，那么亏损元可记作 元． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】（    ） A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数 【变式3-1】在，，，，……中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3-2】下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有 个． 【变式3-3】在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，． 正数：{                         }； 负数：{                                }； 非负整数：{                         }； 整数：{                              }； 分数：{                            }； 负分数：{                              }． 【变式4-1】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【变式4-2】将有理数分别填在相应的大括号里． 整数：{    …}； 负数：{    …}； 正分数：{    …} 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】两数在数轴上的位置如图所示，将用“”连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】在0、1、、四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式5-2】在，，0，四个数中，最小的数是（　　） A． B． C．0 D． 【变式5-3】比较大小： ； （填“”“”或“”）． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【典例6】点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【变式6-1】数轴上与原点距离是的点有两个，它们表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-2】数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ． 【变式6-3】数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 ． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【典例7】已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【变式7-1】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【变式7-2】如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点．    (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)若点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【考点题型八】倒数的概念和相反数的概念 【典例8】的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【变式8-1】2024的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 【变式8-2】的相反数是 ，倒数是 ． 【考点题型九】相反数的性质运用 【典例9】设与互为相反数，则 ． 【变式9-1】若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ． 【变式9-2】已知与2互为相反数，那么 ． 【变式9-3】若、互为相反数，则 ． 【考点题型十】绝对值定义、绝对值的性质 【典例10】若，互为相反数，的绝对值为，则的值是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式10-1】的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】的绝对值是（  ） A． B． C．2 D． 【变式10-3】若，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．或6 【变式10-3】若，则 ． 【考点题型十一】化简绝对值 【典例11】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式11-2】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ） A．B． C． D． 【变式11-3】已知为有理数，则的最小值是 ． 【考点题型十二】非负性的性质 【典例12】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式12-1】已知 ，则 ． 【变式12-2】已知则 ． 【变式12-3】已知与互为相反数，则 ． 【考点题型十三】有理数的加减运算 【典例13】计算： (1)； (2)． 【变式13-1】将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】已知，，且，则的值为 ． 【变式13-3】 【考点题型十四】有理数乘除法运算 【典例14】计算下列各题： (1)； (2)． 【变式14-1】计算：． 【变式14-2】计算： (1)； (2). 【考点题型十五】有理数的乘方 【典例15】下列各组数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【变式15-1】在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式15-2】下面对有理数的大小关系判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十六】有理数混合运算 【典例16】计算： (1)； (2)． 【变式16-1】计算： (1) (2) 【变式16-2】计算： (1) (2) 【变式16-3】计算： (1) (2) 【变式16-4】计算： (1) ． (2)． (3)； (4)． 【考点题型十七】算“24”点 【典例17】根据“二十四点”游戏的规则，用仅含有加、减、乘、除及括号的运算式（每个数字只能用一次），使，，，的运算结果等于： （只要写出一个算式即可 ） 【变式17-1】“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式 ． 【变式17-2】有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）． 【变式17-3】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 【考点题型十八】科学计数法 【典例18】年国庆档全国电影票房为亿元，观影人次为万，国产影片票房为亿元，占比为，其中数据亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】2021年12月3日中老铁路全线开通运营，全长米，将米用科学记数法表示应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式18-3】2021年是中国共产党百年华诞，在中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，128000个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，数据128000用科学记数法表为 ． 【考点题型十九】近似数的表示 【典例19】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【变式19-1】用四舍五入法得到的近似数万，精确到（   ） A．千分位 B．万位 C．十位 D．百位 【变式19-2】有理数精确到百分位的近似数为 ． 【变式19-3】对于近似数，它有 个有效数字． 【考点题型二十】有理数实际应用 【典例20】某快递公司小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如下表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ (2)在第几次记录时快递小哥距公司地最远，计算说明理由． (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快递小哥工作结束后要回公司交回三轮摩托车，那么快递小哥工作一天需要花汽油费多少元？ 【变式20-1】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） (1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【变式20-2】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【变式20-3】某校初一年级两个班的学生要到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共人，其中初一（1）班有多人，不足人，教育基地门票价格如下：原计划两班都以班为单位购票，则一共应付元，请回答下列问题： (1)初一（1）班有多少人？ (2)你作为组织者如何购票最省线？比原计划省多少钱？ 购票张数 张 张 张以上 每张票的价格 元 元 元 【变式20-4】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 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