专题09 解三角形-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题09 解三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：正弦定理※ 题型一：正弦定理解三角形※ 题型二：边角互化 考点二：余弦定理与面积公式※ 题型三：余弦定理解三角形※ 题型四：面积公式应用※ 题型五：完全平方与解三角形综合应用 考点、题型突破 考点一：正弦定理 1. 解三角形常用性质： （1）*在中， （2）*（任意两角的值与第三角的值相等） ， （3）大边对大角，小边对小角，等边对等角 2.正弦定理： ，其中是三角形外接圆半径 变形可得： ，，（边化角依据） 3.射影定理：； ； 题型一：正弦定理解三角形※ 例1．在中，，则为（   ） A． B．或 C． D．或 例2．在中，已知，，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【突破训练】 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角C为（    ） A． B．或 C． D．或 2．在三角形中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：边角互化 例1．在中，若等式成立，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 例2．中，若，则（   ） A． B． C． D． 例3．的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．在中，设角的对边分别为，且，则一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 2．中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 考点二：余弦定理与面积公式 1.余弦定理 变形： （勾股定理：） 2. 面积公式 3. 完全平方和公式： 题型三：余弦定理解三角形 例1．在△中，，则（   ） A． B． C． D． 例2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角（    ） A． B． C． D． 例3．如图，在中，，D在BC上，使得. (1)求的值； (2)求线段AD的长. 【突破训练】 1．在中，已知，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．或 C． D．或 3．已知 是△ABC三边长，若满足，则（     ） A． B． C． D． 4．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且，试解决以下问题： (1)求角； (2)若，，求． 题型四：面积公式应用 例1．已知三边长分别为，，，则此三角形的面积（   ） A．12 B． C． D． 例2．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的周长和面积． 【突破训练】 1．在中，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 2．已知如图所示M是BC上一点，，，.    (1)求AM； (2)若，求的面积． 题型五：完全平方公式与解三角形综合应用 例1．中，，，，分别是角，，所对的边，已知，，，求的面积． 例2．已知的内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求内角的大小； (2)若的周长为15，面积为，求边，，的长． 【突破训练】 1．在中，A为钝角，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若边上的高为，的面积为，求的周长. 模拟演练 1．的内角的对边分别为，已知且，，则该三角形的面积（   ） A．4 B．8 C． D．16 2．在中，角、、的对边分别、、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 5．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则（   ） A．28 B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，已知，求角B的大小； 8．中，已知. (1)求角； (2)若，求边. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若，且，求a和c． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的周长． 11．已知的三边所对的角分别为，且，求的值 12．在中，角的对边分别是，若，，，求： (1)求； (2)求的面积. 13．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求的正弦值． 14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． (1)求∠A的大小； (2)若，求面积的最大值． 15．在△中，角的对边分别为，已知，则 ． 16．在中，已知，则 ． 17．在中，，则 . 18．在中，，，，则 ． $$专题09 解三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：正弦定理※ 题型一：正弦定理解三角形※ 题型二：边角互化 考点二：余弦定理与面积公式※ 题型三：余弦定理解三角形※ 题型四：面积公式应用※ 题型五：完全平方与解三角形综合应用 考点、题型突破 考点一：正弦定理 1. 解三角形常用性质： （1）*在中， （2）*（任意两角的值与第三角的值相等） ， （3）大边对大角，小边对小角，等边对等角 2.正弦定理： ，其中是三角形外接圆半径 变形可得： ，，（边化角依据） 3.射影定理：； ； 题型一：正弦定理解三角形※ 例1．在中，，则为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的值即可得解. 【详解】在中，， 根据正弦定理可知，解得， 因为为的内角，所以或， 又因为，所以， 所以， 故选：. 例2．在中，已知，，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、同角三角函数基本关系式求解即可. 【详解】因为，所以， 又由正弦定理得，即， 所以，所以， 所以， 故选：A. 【突破训练】 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角C为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先由已知结合正弦定理可求，再结合三角形大边对大角求出角C，从而得解. 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 因为，所以，则， 所以或 故选：B. 2．在三角形中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理求出，再根据大边对大角得为锐角，利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由正弦定理，可得， 由可知，即为锐角， 所以. 故选：A 题型二：边角互化 例1．在中，若等式成立，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理将角之间的关系化为边之间的关系即可求解. 【详解】由正弦定理， 可得. 因为在中， 所以，即. 因为， 所以， 故为等边三角形. 故选：A. 例2．中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边转化为角，再逆用和角的正弦公式，即可求得. 【详解】由于， 则由正弦定理可得，， 即， 又，则，可得. 故选：C． 例3．的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解的值，再根据同角关系求解的值. 【详解】在中，，由正弦定理及得， 解得， 在中，，，于是为锐角， 所以. 故选：C. 【突破训练】 1．在中，设角的对边分别为，且，则一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理边角互化，结合两角差的正弦公式化简即可判断. 【详解】将利用正弦定理化简得， 即， 变形得：， 因为为三角形内角， 所以，即， 所以为等腰三角形． 故选：D． 2．中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件结合正弦定理，诱导公式及两角和差的正弦公式进行化简即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可知， 因为，所以， 则， 所以，则为等腰三角形， 故选：. 考点二：余弦定理与面积公式 1.余弦定理 变形： （勾股定理：） 2. 面积公式 3. 完全平方和公式： 题型三：余弦定理解三角形 例1．在△中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理解三角形即可. 【详解】在△中，， 由余弦定理得，. 故选：D. 例2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知条件化为余弦定理形式解三角形，即可求解. 【详解】∵，即， ∴，则， ∵，∴. 故选：C. 例3．如图，在中，，D在BC上，使得. (1)求的值； (2)求线段AD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理解，再用正弦定理即可求解. （2）用正弦定理解，即可求出线段AD的长. 【详解】（1）由余弦定理得：， 即 求得：. 又由正弦定理得：，即，解得：. （2）由正弦定理得：，即，解得：. 【突破训练】 1．在中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，结合题意，即可求解. 【详解】因为在中，已知， 所以， 由余弦定理得， 又， 所以. 故选：A. 2．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据余弦定理，结合已知条件即可求解. 【详解】由得，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 3．已知 是△ABC三边长，若满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，由余弦定理可得，即可求C的值． 【详解】因为， 即， 由余弦定理得， 又因为，所以. 故选：A. 4．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且，试解决以下问题： (1)求角； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合锐角三角形可求角； （2）利用余弦定理求即可. 【详解】（1）设三角形外接圆的半径为R 由正弦定理 得，              即                             角为锐角 （2），， 由余弦定理 得                                             . 题型四：面积公式应用 例1．已知三边长分别为，，，则此三角形的面积（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形的三边，利用余弦定理可求出其中一个角，然后用三角形的面积公式即可求解. 【详解】已知三边长分别为，，， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以此三角形的面积. 故选：B. 例2．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】（1）先由余弦的二倍角公式求解的值，再由角的范围即可求解. （2）先由余弦定理求解边a，再由三角形周长和面积公式计算即可. 【详解】（1），， 又为锐角三角形，，即，解得． （2）在中，，，， 由余弦定理可知，， ，， 的周长为， 的面积． 【突破训练】 1．在中，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式结合可求出，即可求出角. 【详解】在中，若，且， 则，故， 又因为为三角形的内角，故或. 故选：D. 2．已知如图所示M是BC上一点，，，.    (1)求AM； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求解； （2）在中，利用余弦定理求出，由已知计算出，再利用面积公式可求解. 【详解】（1）在中，因为，所以， 由正弦定理得； （2）在中，由余弦定理得， 因为，，， 代入整理得， 解得或（舍去）. 又因为，，所以，， 所以. 题型五：完全平方公式与解三角形综合应用 例1．中，，，，分别是角，，所对的边，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】先由余弦定理求解的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】由题可知：， 由余弦定理可得：， 则， ，即， ， ． 例2．已知的内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求内角的大小； (2)若的周长为15，面积为，求边，，的长． 【答案】(1) (2)，，或，， 【分析】（1）将已知条件进行角化边，结合余弦定理即可求解. （2）根据余弦定理，三角形的面积，周长公式列方程组即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，. 所以，则. 由余弦定理得，. 因为，所以． （2）因为，解得． 又因为的周长为15，所以，则． 由（1）知，解得. 即． 联立，解得或. 所以，，或，，． 【突破训练】 1．在中，A为钝角，. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理进行化简可求，进而求解角A的大小； （2）结合余弦定理可求，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又A为钝角，所以. （2）由余弦定理得 ， 因为，， 所以，解得， 所以. 2．已知的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若边上的高为，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由余弦定理角化边后可求解； （2）由面积公式可求得，，再利用余弦定理可求解. 【详解】（1）由余弦定理角化边得，， 整理得， ∴， ∵，∴； （2）由题知，，即， 由三角形面积公式得， ∴， 由余弦定理得， ∴，所以， ∴的周长为. 模拟演练 1．的内角的对边分别为，已知且，，则该三角形的面积（   ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】B 【分析】利用正弦定理可将已知的等式化简得到角的大小，然后分析三角形的形状，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得：， 由和差公式得：， 在中，，因此， 故，,即或， 又，当时，，不符合， 故，得到， 又，所以，故. 故选：B. 2．在中，角、、的对边分别、、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以=， 由正弦定理可得===. 故选：B. 3．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理结合题干条件求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，，得. 故选：B. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即， 因，，则或（不合题意舍去）， 故一定是等腰三角形. 故选：A. 5．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 因为，所以， 则， 即，因为，，所以， 又，. 故选：B. 6．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则（   ） A．28 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理解三角形，即可求解. 【详解】中，，，， 根据余弦定理可得， 因此，， 故选：B． 7．在中，角的对边分别为，已知，求角B的大小； 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可求解. 【详解】由正弦定理知， 所以, 所以， 因为， 所以或（舍） 所以角B的大小为. 8．中，已知. (1)求角； (2)若，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合题意，即可化简求解； （2）根据余弦定理，代入化简即可求值. 【详解】（1）由得， 因为， 所以， 即， 所以. （2）由（1）得， 所以， 由余弦定理得， 即， 即， 化简得， 解得或（舍）. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若，且，求a和c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知角化边，再由余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以，即， 由余弦定理得，， 在中，因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 即，解得（舍去）． 所以． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的和角公式，计算得到答案； （2）利用余弦定理计算得到三边长，从而得到三角形周长. 【详解】（1）， ， ， ，． 由三角形内角和定理可得． （2）∵在中，，，， 由余弦定理可知， ， ，解得， 的周长为． 11．已知的三边所对的角分别为，且，求的值 【答案】 【分析】设，，，由余弦定理即可求的值． 【详解】由题意可设：，，， 则由余弦定理可得：. 12．在中，角的对边分别是，若，，，求： (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于角A，可根据余弦定理求解即可. （2）对于三角形面积，利用正弦定理的三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，，， ， ， . （2）由（1）得：，根据正弦定理的三角形面积公式， 将，，代入得： . 13．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）在中，应用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可知： , . （2）在中，由正弦定理可知：， 即：， . 14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． (1)求∠A的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求，进而可求∠A的大小； （2）由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求． 【详解】（1）解：由已知及正弦定理可得， ∴， 由余弦定理得：， 又∵角A是三角形的内角， ∴． （2）∵， ∴， 又， ∴（当且仅当等式成立）， 即， ， ∴当时，面积有最大值为． 15．在△中，角的对边分别为，已知，则 ． 【答案】或 【分析】先由求，再用正弦定理整理后求出即可求得. 【详解】在△中，由，得角为锐角，从而， 再由正弦定理，得，得，所以或. 故答案为：或. 16．在中，已知，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得， ， 故答案为：1. 17．在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为， 根据余弦定理， 所以， 所以. 故答案为：. 18．在中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】根据三角形的面积公式可求解. 【详解】由题可得， ， 解得， 因为是三角形的内角，所以或. 故答案为：或 $$