第二章 圆锥曲线（期末复习课件）高二数学上学期北师大版

高二数学上学期·期末复习大串讲 专题02 圆锥曲线 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 17大常考点：知识梳理、思维导图 32个题型典例剖析+技巧点拨 精选10道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.椭圆 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹 这两个定点 两焦点间的 距离 > 考点透视 考点2.椭圆的标准方程 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 考点透视 考点3.椭圆的简单几何性质 考点透视 考点3.椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a x轴、y轴 (0，0) (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 2a 2b a b (±c，0) (0，±c) 2c 1 0 考点透视 考点4.点与椭圆的位置关系 = < > 考点透视 考点5.直线与椭圆的位置关系 两 > 一 = 无 < 考点透视 考点6.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|) 焦距 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|} 考点透视 考点7.双曲线的标准方程 (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) c2＝a2＋b2 考点透视 考点8.双曲线的简单几何性质 考点透视 考点8.双曲线的简单几何性质 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c c2＝a2＋b2 x≤－a，或x≥a，y∈R y≤－a，或y≥a，x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b a b 考点透视 考点9.等轴双曲线 实轴和虚轴等长 x2－y2＝±a2(a＞0) y＝±x 2a 考点透视 考点10.直线与双曲线位置关系的判断 只有一个 两个 一个 没有 考点透视 考点11.弦长公式 考点透视 考点12.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹 点F 直线l 考点透视 考点13.抛物线的标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 考点透视 考点14.抛物线的简单几何性质 考点透视 考点14.抛物线的简单几何性质 x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 O(0，0) e＝1 向右 向左 向上 向下 考点透视 考点15.焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径、焦点弦公式为 考点透视 考点15.焦半径与焦点弦 考点透视 考点15.焦半径与焦点弦 考点透视 考点16.直线与抛物线的位置关系 两 一 没有 平行或重合 一 考点透视 考点17.一般弦长 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.椭圆的定义 例1　已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型剖析 题型1.椭圆的定义 [解析]　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件．故选C. 题型剖析 题型2.椭圆的标准方程 题型剖析 题型3.与椭圆有关的轨迹问题 解 在△ABC中，已知2|AB|＝|AC|＋|BC|，且|AB|＝4. (1)求顶点C的轨迹方程； (2)求△ABC的重心G的轨迹方程． 解　 (1)(定义法)由题意可得2|AB|＝|AC|＋|BC|＝2×4＝8， 故顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． 不妨以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， ∴2a＝8，∴a＝4，又2c＝|AB|＝4，∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝12， 题型剖析 题型3.与椭圆有关的轨迹问题 解 题型剖析 题型4.椭圆的焦点三角形问题 解 题型剖析 题型4.椭圆的焦点三角形问题 解 题型剖析 题型5.椭圆的简单几何性质 解 题型剖析 题型5.椭圆的简单几何性质 解 题型剖析 题型6.由椭圆的几何性质求标准方程 解 题型剖析 题型1 解 题型剖析 题型6.由椭圆的几何性质求标准方程 解 题型剖析 题型7.椭圆的离心率问题 题型剖析 题型7.椭圆的离心率问题 题型剖析 题型8.直线与椭圆的位置关系 解 题型剖析 题型9.弦长问题 解 题型剖析 题型9.弦长问题 解 题型剖析 题型9.弦长问题 解 题型剖析 题型10.中点弦问题 解 题型剖析 题型10.中点弦问题 解 题型剖析 题型10.中点弦问题 解 题型剖析 题型10.中点弦问题 解 题型剖析 题型11. 直线与椭圆的综合问题 题型剖析 题型11. 直线与椭圆的综合问题 解 题型剖析 题型11. 直线与椭圆的综合问题 解 题型剖析 题型11. 直线与椭圆的综合问题 解 题型剖析 题型13.双曲线的标准方程 题型剖析 题型13.双曲线的标准方程 解 题型剖析 题型13.双曲线的标准方程 解 题型剖析 题型13.双曲线的标准方程 解 题型剖析 题型14.双曲线定义的应用 题型剖析 题型14.双曲线定义的应用 解 题型剖析 题型14.双曲线定义的应用 解 题型剖析 题型15.与双曲线有关的轨迹问题 例15.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出表示什么曲线． 题型剖析 题型15.与双曲线有关的轨迹问题 解 题型剖析 题型16.双曲线的实际应用问题 例16 某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知|PA|＝100 km，|PB|＝150 km，|BC|＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程． 题型剖析 题型16.双曲线的实际应用问题 解 题型剖析 题型16.双曲线的实际应用问题 解 题型剖析 　例17求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 解 题型17.双曲线的简单几何性质 解 题型17.双曲线的简单几何性质 题型剖析 题型18. 双曲线的离心率问题 题型剖析 题型18. 双曲线的离心率问题 题型剖析 题型19.直线与双曲线的位置关系 解 题型剖析 题型19.直线与双曲线的位置关系 解 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 解 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 解 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 解 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 解 题型剖析 题型20.弦长及弦中点问题 解 题型剖析 题型21.双曲线与其他知识的综合 解 题型剖析 题型21.双曲线与其他知识的综合 解 题型剖析 题型21.双曲线与其他知识的综合 解 题型剖析 题型22.求抛物线的标准方程 解 题型剖析 题型22.求抛物线的标准方程 解 题型剖析 题型23. 抛物线的定义及其应用 题型剖析 题型23. 抛物线的定义及其应用 题型剖析 题型24.与抛物线有关的轨迹问题 　 例24.　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 解 题型剖析 题型24.与抛物线有关的轨迹问题 解 题型剖析 题型25.抛物线方程的实际应用 　 例25.　“中山桥”是位于兰州市 中心，横跨黄河之上的一座百年 老桥，如图1，桥上有五个拱形桥 架紧密相连，每个桥架的内部有一 个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB＝44 m，∠A＝45°，AC1＝4 m，C1C2＝5 m，立柱C2D2＝5.55 m. (1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长； (2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高OH. 题型剖析 题型25.抛物线方程的实际应用 解 题型剖析 题型25.抛物线方程的实际应用 解 题型剖析 题型25.抛物线方程的实际应用 解 题型剖析 题型26. 抛物线的简单几何性质 解 例26.已知抛物线y2＝8x，求该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围． [解]　抛物线y2＝8x，p＝4，∴顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. 题型剖析 题型26. 抛物线的简单几何性质 解 (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36长轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 题型剖析 题型27.抛物线的焦点弦问题 例27　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 题型剖析 题型27.抛物线的焦点弦问题 解 题型剖析 题型27.抛物线的焦点弦问题 解 题型剖析 题型28. 抛物线性质的应用 题型剖析 题型28. 抛物线性质的应用 题型剖析 题型29.直线与抛物线的位置关系 　 例29.已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C：有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ 解 题型剖析 题型29.直线与抛物线的位置关系 解 题型剖析 题型30.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 例30.　(1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x－2与抛物线C交于A，B两点． ①求弦长|AB|； ②求△FAB的面积． 解 题型剖析 题型30.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 解 题型剖析 题型31.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 例31.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x－2与抛物线C交于A，B两点． ①求弦长|AB|； ②求△FAB的面积． 解 题型剖析 题型31.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 解 题型剖析 题型31.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 (2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分． (ⅰ)求抛物线E的方程； (ⅱ)求直线AB的方程． 解 题型剖析 题型31.与抛物线有关的弦长、弦中点问题 解 题型剖析 题型32.抛物线中的综合问题 　 例32.　已知抛物线x2＝2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A，C在第一象限)，且M，N分别是AB，CD的中点． (1)若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值； (2)设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC＋4kBD＝0，求证直线AC过定点，并求此定点． 题型剖析 题型32.抛物线中的综合问题 解 题型剖析 题型32.抛物线中的综合问题 解 题型剖析 题型32.抛物线中的综合问题 解 题型剖析 题型32.抛物线中的综合问题 解 押题预测 03 PART 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 9．若动点P到定点F(1，1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 　 (1)eq \x(\s\up1(01))_____________________________________________________ _________叫做椭圆，eq \x(\s\up1(02))____________叫做椭圆的焦点，eq \x(\s\up1(03))____________ ______叫做椭圆的焦距．焦距的一半称为半焦距． (2)椭圆的集合语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2aeq \x(\s\up1(04))___|F1F2|}． eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 知识点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))__________________ 图形 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(03))_____ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(04))__________ eq \x(\s\up1(05))__________ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(06))__________ eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 知识点　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))__________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(c,a) 范围 eq \x(\s\up1(03))_____________________ eq \x(\s\up1(04))_____________________ 对称性 对称轴eq \x(\s\up1(05))__________，对称中心eq \x(\s\up1(06))_________ 顶点 eq \x(\s\up1(07))____________________ eq \x(\s\up1(08))__________________ 轴长 长轴长＝eq \x(\s\up1(09))_____，短轴长＝eq \x(\s\up1(10))_____ 长半轴长＝eq \x(\s\up1(11))____，短半轴长＝eq \x(\s\up1(12))____ 焦点 eq \x(\s\up1(13))__________ eq \x(\s\up1(14))__________ 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(15))_____ 离心率 e＝eq \x(\s\up1(16))_____(0<e<1)，e越接近eq \x(\s\up1(17))_____，椭圆越扁平， e越接近eq \x(\s\up1(18))_____，椭圆越接近于圆 知识点 点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) eq \x(\s\up1(01))___1； 点P在椭圆内部⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) eq \x(\s\up1(02))___1； 点P在椭圆外部⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) eq \x(\s\up1(03))___1. 知识点 　 直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程． 公共点的个数 解的个数 Δ的取值 2 eq \x(\s\up1(01))____解 Δeq \x(\s\up1(02))___0 1 eq \x(\s\up1(03))____解 Δeq \x(\s\up1(04))___0 0 eq \x(\s\up1(05))____解 Δeq \x(\s\up1(06))___0 (1)定义 eq \x(\s\up1(01))________________________________________________________ __________的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的eq \x(\s\up1(02))______． (2)双曲线的集合描述 设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线的集合语言描述为eq \x(\s\up1(03))________________________ __________________． eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 知识点 　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))_______________ 焦点坐标 F1eq \x(\s\up1(03))_______________； F2eq \x(\s\up1(04))_______________ F1eq \x(\s\up1(05))_______________； F2eq \x(\s\up1(06))_______________ a，b，c 的关系 eq \x(\s\up1(07))_______________ 知识点 　 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0) 图形 e＝eq \f(c,a)(e>1) y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))____________________ eq \x(\s\up1(02))____________________ 焦距 eq \x(\s\up1(03))____________________ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(04))____________________ 范围 eq \x(\s\up1(05))____________________ eq \x(\s\up1(06))____________________ 对称性 eq \x(\s\up1(07))____________________ 顶点 eq \x(\s\up1(08))____________________ eq \x(\s\up1(09))____________________ 轴长 实轴长eq \x(\s\up1(10))________，虚轴长eq \x(\s\up1(11))________ 实半轴长eq \x(\s\up1(12))________，虚半轴长eq \x(\s\up1(13))________ 离心率 eq \x(\s\up1(14))________ 渐近线 eq \x(\s\up1(15))________ eq \x(\s\up1(16))________ eq \r(2) 知识点 　 (1)eq \x(\s\up1(01))_______________的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为eq \x(\s\up1(02))_______________； ②渐近线方程为eq \x(\s\up1(03))____________，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于eq \x(\s\up1(04))_______，离心率e＝eq \x(\s\up1(05))_______． 知识点 　 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，将y＝kx＋m代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线eq \x(\s\up1(01))____________公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线有eq \x(\s\up1(02))_____公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线有且只有eq \x(\s\up1(03))_____公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线eq \x(\s\up1(04))_____公共点． eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2| 知识点 　 设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝ eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq \x(\s\up1(01))______________＝ eq \r(1＋k2) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)或 |AB|＝eq \x(\s\up1(02))______________ ＝eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)(k≠0)． eq \r(1＋k2)|x1－x2| 　eq \x(\s\up1(01))________________________________________________________ ____________叫做抛物线.eq \x(\s\up1(02))__________叫做抛物线的焦点，eq \x(\s\up1(03))________叫做抛物线的准线． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) x＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) y＝eq \f(p,2) 知识点 　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))_________ eq \x(\s\up1(03))______ eq \x(\s\up1(04))____________ eq \x(\s\up1(05))________ eq \x(\s\up1(06))________ eq \x(\s\up1(07))____________ eq \x(\s\up1(08))________ eq \x(\s\up1(09))________ eq \x(\s\up1(10))______________ eq \x(\s\up1(11))_________ eq \x(\s\up1(12))__________ 注意：参数p的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正，且p值越大，抛物线开口越大． 知识点　 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) Feq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(0)) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))_______　　 eq \x(\s\up1(02))___________ eq \x(\s\up1(03))__________ eq \x(\s\up1(04))__________ 准线方程 eq \x(\s\up1(05))_______ eq \x(\s\up1(06))_______ eq \x(\s\up1(07))_______ eq \x(\s\up1(08))_______ 范围 x≥0，y∈R eq \x(\s\up1(09))__________ eq \x(\s\up1(10))____________ eq \x(\s\up1(11))___________ 对称轴 eq \x(\s\up1(12))_______ eq \x(\s\up1(13))_______ 顶点 eq \x(\s\up1(14))_______ 离心率 eq \x(\s\up1(15))_______ 开口方向 eq \x(\s\up1(16))_______ eq \x(\s\up1(17))_______ eq \x(\s\up1(18))_______ eq \x(\s\up1(19))_______ 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦半径|PF| |PF|＝x0＋eq \f(p,2) |PF|＝eq \f(p,2)－x0 |PF|＝y0＋eq \f(p,2) |PF|＝eq \f(p,2)－y0 焦点弦|AB| |AB|＝x1＋x2＋p |AB|＝p－x1－x2 |AB|＝y1＋y2＋p |AB|＝p－y1－y2 (2)若AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，则可得到以下结论： ①|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))； ②|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)； ③x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2； ④eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p)； ⑤S△AOB＝eq \f(p2,2sinθ). 2．通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p>0)，由Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. 3．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程． 知识点 　 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点的个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有eq \x(\s\up1(01))___个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有eq \x(\s\up1(02))___个公共点(此时直线与抛物线相切)；若Δ<0，则直线与抛物线eq \x(\s\up1(03))_____公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴eq \x(\s\up1(04))____________，此时直线与抛物线有eq \x(\s\up1(05))___个公共点． eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \a\vs4\al(\r(（y1＋y2）2－4y1y2)) 知识点 　 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \x(\s\up1(01))______________________________或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2)) |y1－y2|＝eq \x(\s\up1(02))______________________________(k≠0)． eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) [解析]　若方程eq \f(x2,m－1)＋y2＝1表示椭圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,m－1≠1，))解得m∈(1，2)∪(2，＋∞)．所以“m>2”是“方程eq \f(x2,m－1)＋y2＝1表示椭圆”的充分不必要条件．故选B. 例2　(1)已知m∈R，则“m>2”是“方程eq \f(x2,m－1)＋y2＝1表示椭圆”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 则顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)． (2)(相关点法)设重心G(x，y)，C(x0，y0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋2＋(－2),3)，,y＝\f(y0＋0＋0,3)，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x，,y0＝3y.)) ∵2,0)eq \f(x,16) ＋2,0)eq \f(y,12) ＝1(y0≠0)，∴eq \f(9x2,16)＋eq \f(9y2,12)＝1(y≠0)， 即△ABC的重心G的轨迹方程为eq \f(9x2,16)＋eq \f(3y2,4)＝1(y≠0)． [解]　由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可知a＝2，b＝eq \r(3)， 所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2， 题型 　例4　已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ② 由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5). 题型 例5已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1. ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m(m＋2),m＋3)>0，∴m>eq \f(m,m＋3)， ∴椭圆焦点在x轴上，即 a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(m(m＋2),m＋3)). 由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1. ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2). ∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两个焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 例6　求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝eq \f(3,5)，焦距为12. [解]　(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(25,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝1，)) 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋y2＝1； 若椭圆焦点在y轴上，设其标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(0,a2)＋\f(25,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝25，,b＝5，)) 故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,625)＋eq \f(x2,25)＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,625)＋eq \f(x2,25)＝1. (2)由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，2c＝12， 得a＝10，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1. 　 例7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4) [解析]　 解法一：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，即e2＝eq \f(1,4)，所以e＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝－\f(1,2)舍去)). 解法二：如图，由题意得在椭圆中，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝eq \f(1,4)×2b＝eq \f(1,2)b，|BF|＝a.在Rt△OFB中，|OF|·|OB|＝|BF|·|OD|，即c·b＝a·eq \f(1,2)b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).故选B. 解　把直线方程y＝x＋m与椭圆方程eq \f(x2,4)＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0， 解得－eq \r(5)<m<eq \r(5). 故m的取值范围为(－eq \r(5)，eq \r(5))． 【例题8】若直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围． [解]　∵直线AB过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， ∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 解法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，)) 得交点A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，B(0，－2))). ∴|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(125,9))＝eq \f(5\r(5),3). 　 例9　已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F2，与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长． 解法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得3x2－5x＝0， 则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0. ∴|AB|＝eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2) ＝2,AB)eq \r((x1－x2)2(1＋k)) ＝2,AB)eq \r((1＋k)[(x1＋x2)2－4x1x2]) ＝eq \r((1＋22)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2)－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3). 解法三：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，)) 消去x得3y2＋2y－8＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－eq \f(2,3)，y1y2＝－eq \f(8,3). ∴|AB|＝eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2) ＝2,AB)eq \r((y1－y2)2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))) ＝2,AB)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))[(y1＋y2)2－4y1y2]) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3))))))＝eq \f(5\r(5),3). 　例10　已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程． [解]　解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*) 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是(*)方程的两个根， ∴x1＋x2＝eq \f(8(2k2－k),4k2＋1). ∵P为弦AB的中点， ∴2＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(4(2k2－k),4k2＋1)，解得k＝－eq \f(1,2)， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2， ∵P为弦AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B在椭圆上， ∴xeq \o\al(2,1)＋4yeq \o\al(2,1)＝16，xeq \o\al(2,2)＋4yeq \o\al(2,2)＝16. 两式相减，得(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2))＋4(yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2))＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(－(x1＋x2),4(y1＋y2))＝－eq \f(1,2)，即kAB＝－eq \f(1,2). ∴所求直线的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 另一个交点为B(4－x，2－y)， ∵A，B在椭圆上， ∴x2＋4y2＝16， ① (4－x)2＋4(2－y)2＝16. ② ①－②得x＋2y－4＝0，则A，B在直线x＋2y－4＝0上， 而过A，B的直线只有一条， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 例11.　已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，|MF1|＝eq \f(4\r(3),3). (1)求椭圆的方程； (2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值． [解]　(1)由离心率为eq \f(\r(3),3)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3c2， 又a2＝b2＋c2，可得b2＝2c2， 即椭圆方程为eq \f(x2,3c2)＋eq \f(y2,2c2)＝1. 因为点M在椭圆上，且MF2⊥x轴， 故把x＝c代入椭圆方程， 可得点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(2\r(3),3)c))， 由|MF1|＝eq \r(|F1F2|2＋|MF2|2)＝eq \r(4c2＋\f(4,3)c2)＝eq \f(4\r(3),3)得c＝1，从而a2＝3，b2＝2， 所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0， 由Δ>0，可得3k2－2>0，则有 x1＋x2＝－eq \f(12k,3k2＋2)，x1x2＝eq \f(6,3k2＋2)， 所以|x1－x2|＝eq \f(2\r(18k2－12),3k2＋2). 因为直线y＝kx＋2与y轴交点的坐标为(0，2)， 所以△AOB的面积S＝eq \f(1,2)×2×|x1－x2|＝eq \f(2\r(18k2－12),3k2＋2)＝eq \f(2\r(6×(3k2－2)),3k2＋2). 令3k2－2＝t，则t∈(0，＋∞)， 所以S＝eq \f(2\r(6t),t＋4)＝2eq \r(\f(6t,t2＋8t＋16)) ＝2eq \r(\f(6,t＋\f(16,t)＋8))≤eq \f(\r(6),2)， 当且仅当t＝4时取等号． 所以当t＝4时，△AOB的面积取得最大值eq \f(\r(6),2). [解析]　 ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－5>0，,|k|－2>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－5<0，,|k|－2<0，))解得k>5或－2<k<2. 例13已知方程eq \f(x2,k－5)－eq \f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．(5，＋∞) B．(－2，2)∪(5，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2) (2)求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①焦点在坐标轴上，且过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3\r(5),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),3)，4))两点； ②两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，且过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)，2)). [解]　①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵M，N在双曲线上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f((－2)2,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)))\s\up12(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),3)))\s\up12(2),a2)－\f(42,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝－\f(1,16)，,\f(1,b2)＝－\f(1,9)))(不符合题意，舍去)； 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)))\s\up12(2),a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(42,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),3)))\s\up12(2),b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,9)，,\f(1,b2)＝\f(1,16)，))即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. ②由已知可设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 代入点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)，2))可得eq \f(45,4a2)－eq \f(4,b2)＝1， ① 又a2＋b2＝25， ② 由①②联立可得a2＝9，b2＝16， ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1. 　例14　如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． [解]　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1， 故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16. [解]　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． ∵2sinA＋sinC＝2sinB， ∴由正弦定理得2|CB|＋|AB|＝2|CA|. 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|. ∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq \r(2)，0)． [解]　灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样长．依题意，知界线是第三类点的轨迹． 设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)． 因为|AB|＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cos60°)＝50eq \r(7)>50， 所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为a＝25，c＝25eq \r(7)，所以b2＝c2－a2＝3750. 故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3750)＝1. 注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)， 故y的最大值为60，此时x＝35. 故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3750)＝1(25≤x≤35，0≤y≤60)． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， 即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)， 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－eq \r(13)，0)，F2(eq \r(13)，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)， 渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(2,3)x. 作草图如图： 解法二：设与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共渐近线的双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)．因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝eq \f(12,16)－eq \f(9,9)＝－eq \f(1,4)，所以所求双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝－eq \f(1,4)，即标准方程为eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1. 题型 例18　(1)(2023·湖南五市十校高二联考)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是渐近线上一点，且满足|eq \o(PF2,\s\up16(→))|＝|eq \o(F1F2,\s\up16(→))|，eq \o(PF2,\s\up16(→))·eq \o(F1F2,\s\up16(→))＝0，则双曲线C的离心率为(　　) A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(5) D.eq \r(6) [解析]　 不妨设P在第一象限，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，依题意，得eq \f(bc,a)＝2c，即eq \f(b,a)＝2.所以双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5). 　例19.　已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，直线l过点P(1，1)，斜率为k.当k为何值时，直线l与双曲线：只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ [解]　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋(1－k)，,x2－\f(y2,2)＝1，))得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.　(*) 当k2－2＝0，即k＝±eq \r(2)时，方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点． 当k2－2≠0时，Δ＝24－16k， 若Δ＝0，即k＝eq \f(3,2)，则方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点； 若Δ>0，即k<eq \f(3,2)，且k≠±eq \r(2)，则方程(*)有两个解，直线l与双曲线有两个公共点； 若Δ<0，即k>eq \f(3,2)，则方程(*)无解，直线l与双曲线无公共点． 综上所述，当k＝±eq \r(2)或k＝eq \f(3,2)时，直线l与双曲线只有一个公共点； 当k<eq \f(3,2)，且k≠±eq \r(2)时，直线l与双曲线有两个公共点； 当k>eq \f(3,2)时，直线l与双曲线无公共点． 　 例20.　已知过定点P(0，1)的直线l交双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|； (2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程． [解]　(1)由题意知，直线l的方程为y＝x＋1，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，))消去y得3x2－2x－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(2,3)，x1x2＝－eq \f(5,3). |AB|＝eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]) ＝eq \r((1＋1)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3))))))＝eq \f(8\r(2),3). (2)解法一：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋1. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，))消去y得 (4－k2)x2－2kx－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴4－k2≠0，且Δ＝(－2k)2－4×(－5)(4－k2)>0， 即－eq \r(5)<k<eq \r(5)且k≠±2. x1＋x2＝eq \f(2k,4－k2)，y1＋y2＝eq \f(8,4－k2). ∵M为AB的中点， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝\f(k,4－k2)，　①,y＝\f(y1＋y2,2)＝\f(4,4－k2)，　②)) 由①②消去k得4x2－y2＋y＝0， ∵－eq \r(5)<k<eq \r(5)且k≠±2，∴eq \f(4,4－k2)<－4或eq \f(4,4－k2)>1. ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)． 解法二：设中点M的坐标为(x，y)， 弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)． 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2x，,y1＋y2＝2y.)) 又A，B两点在双曲线上， ∴2,1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(yeq \o\al(2,1),4)＝1，　①,xeq \o\al(2,2)－\f(yeq \o\al(2,2),4)＝1.　②)) 由①－②得4(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2))＝yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)， ∴4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)． ∵x1≠x2， ∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4(x1＋x2),y1＋y2)＝eq \f(4×2x,2y)＝eq \f(4x,y)，即kAB＝eq \f(4x,y)， 又P，M两点在直线l上， ∴kAB＝kPM＝eq \f(y－1,x－0). ∴eq \f(4x,y)＝eq \f(y－1,x)，即4x2－y2＋y＝0. 由解法一知y的取值范围为y<－4或y>1， ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y>1)． 　例21　已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2eq \r(2)，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)若A，B是W上不同的两点，O是坐标原点，求eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))的最小值． [解]　(1)由|PM|－|PN|＝2eq \r(2)知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝eq \r(2). 又半焦距c＝2，故虚半轴长b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2). 所以W的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x≥eq \r(2))． (2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2， 从而eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝xeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,1)＝2. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0. 故x1＋x2＝eq \f(2km,1－k2)，x1x2＝eq \f(m2＋2,k2－1)， 所以eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f((1＋k2)(m2＋2),k2－1)＋eq \f(2k2m2,1－k2)＋m2 ＝eq \f(2k2＋2,k2－1)＝2＋eq \f(4,k2－1). 又因为x1x2＞0，所以k2－1＞0，从而eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＞2. 综上，当AB⊥x轴时，eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))取得最小值2. 例22.求符合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 解　(1)设抛物线的方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3，2)代入方程得2p＝eq \f(4,3)或2p＝eq \f(9,2)， ∴所求的抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(4,3)x或x2＝eq \f(9,2)y. (2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则由eq \f(p,2)＝2得2p＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y； 当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x. 例23.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4) [解析]　 y2＝x的准线方程为l：x＝－eq \f(1,4)，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．则线段AB的中点到准线的距离为d3＝eq \f(d1＋d2,2)＝eq \f(3,2)，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).故选C. [解]　解法一：设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|＝r＋1，即eq \r((x＋2)2＋y2)＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x. 解法二：如图，设动圆P的半径为r，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2，0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2，0)为焦点，直线x＝2为准线，所以eq \f(p,2)＝2，即p＝4，所以点P的轨迹方程为y2＝－8x. [解]　(1)由题意知，∠A＝45°，AC1＝4 m，则C1D1＝4 m. 因为四边形ABD8D1是等腰梯形， 由对称性知，AC1＝C8B＝4 m， 所以D1D8＝C1C8＝AB－AC1－C8B＝44－4－4＝36 m. 综上，C1D1＝4 m，D1D8＝36 m. (2)因为C1C8＝36 m，所以C1H＝eq \f(1,2)C1C8＝18 m， 所以点D1的横坐标为－18， 则点D2的横坐标为－(18－5)＝－13， 设点D1，D2的纵坐标分别为y1，y2， 由图形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55. 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 将点D1，D2代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((－18)2＝－2py1，,(－13)2＝－2py2，)) 两式相减得2p(y2－y1)＝182－132＝155， 解得2p＝100，故抛物线方程为x2＝－100y. 因此，当x＝－18时，y＝－eq \f(1,100)x2＝－eq \f(1,100)×324＝－3.24， 故|y1|＝3.24， 所以桥梁的拱高OH＝3.24＋4＝7.24 m. 综上，抛物线D1OD8的方程为x2＝－100y，桥梁的拱高OH为7.24 m. [解]　椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其长轴在y轴上， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴设抛物线的方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y，其准线方程为y＝－3或y＝3. [解]　(1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan60°＝eq \r(3). 又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))). 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6. 于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，所以点M到准线的距离为3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2). 　 例28.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为(　　) A．x＝p B．x＝eq \f(3p,2) C．x＝2p D．x＝eq \f(5p,2) [解析]　 如图，设点A(x0，y0)(x0>0)，由题意可知点B(x0，－y0)， ∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1， 即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1. ∴yeq \o\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))， 又yeq \o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2). ∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2). [解]　直线l：y－1＝k(x－1)， 将x＝－eq \f(y2,2)代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0. ①当k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x，得x＝－eq \f(1,2)，直线l与抛物线C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)). ②当k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4. 由Δ＝0得，k＝eq \f(1±\r(3),2)， ∴当k<eq \f(1－\r(3),2)或k>eq \f(1＋\r(3),2)时，Δ<0，l与C无公共点； 当k＝eq \f(1±\r(3),2)时，Δ＝0，l与C有且只有一个公共点； 当eq \f(1－\r(3),2)<k<eq \f(1＋\r(3),2)且k≠0时，Δ>0，l与C有两个公共点． 综上知，当k＝eq \f(1±\r(3),2)或k＝0时，l与C有且只有一个公共点； 当eq \f(1－\r(3),2)<k<0或0<k<eq \f(1＋\r(3),2)时，l与C有两个公共点； 当k<eq \f(1－\r(3),2)或k>eq \f(1＋\r(3),2)时，l与C无公共点． [解]　①由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0， 其中Δ＝64－4×4＝48>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，x1x2＝4. 所以|x1－x2|＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝4eq \r(3)， 所以|AB|＝eq \r(1＋12)·|x1－x2|＝eq \r(2)×4eq \r(3)＝4eq \r(6). ②由题意得点F(1，0)，故点F到直线AB的距离d＝eq \f(|1－2|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 所以S△FAB＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(6)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(3)， 即△FAB的面积为2eq \r(3). [解]　①由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0， 其中Δ＝64－4×4＝48>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，x1x2＝4. 所以|x1－x2|＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝4eq \r(3)， 所以|AB|＝eq \r(1＋12)·|x1－x2|＝eq \r(2)×4eq \r(3)＝4eq \r(6). ②由题意得点F(1，0)，故点F到直线AB的距离d＝eq \f(|1－2|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 所以S△FAB＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(6)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(3)， 即△FAB的面积为2eq \r(3). [解]　 (ⅰ)∵抛物线的焦点为(1，0)， ∴eq \f(p,2)＝1，解得p＝2. ∴抛物线E的方程为y2＝4x. (ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2， 则yeq \o\al(2,1)＝4x1，　 ① yeq \o\al(2,2)＝4x2， ② 且y1＋y2＝2， 由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，∴eq \f(y2－y1,x2－x1)＝2， ∴直线AB的方程为y－1＝2(x－2)， 即2x－y－3＝0. [解]　(1)由题意，得抛物线的方程为x2＝2y， 则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，直线AB的斜率存在且不为零． 设直线AB的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,x2＝2y，))得x2－2kx－1＝0， ∴x1＋x2＝2k， ∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，k2＋\f(1,2)))，同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，\f(1,k2)＋\f(1,2)))， ∴S△FMN＝eq \f(1,2)|FM|·|FN| ＝eq \f(1,2) eq \r(k2＋k4)·eq \r(\f(1,k2)＋\f(1,k4)) ＝eq \f(1,2) eq \r(2＋k2＋\f(1,k2))≥1. 当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AB的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,x2＝2y))得x2－2kx－1＝0， ∴x1x2＝－1，同理，x3x4＝－1， 故kAC＋4kBD＝eq \f(y1－y3,x1－x3)＋4·eq \f(y2－y4,x2－x4) ＝2,1)eq \f(\f(1,2)（x－xeq \o\al(2,3)）,x1－x3) ＋4·2,2)eq \f(\f(1,2)（x－xeq \o\al(2,4)）,x2－x4) ＝eq \f(1,2)(x1＋x3)＋2(x2＋x4) ＝eq \f(1,2)(x1＋x3)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x3))) ＝(x1＋x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(2,x1x3)))＝0. 注意到点A，C在第一象限，x1＋x3≠0，故x1x3＝4， 直线AC的方程为y－2,1)eq \f(x,2) ＝eq \f(x1＋x3,2)(x－x1)， 化简得y＝eq \f(x1＋x3,2)x－eq \f(x1x3,2)，即y＝eq \f(x1＋x3,2)x－2. ∴直线AC恒过定点(0，－2)． 解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))∴椭圆的方程为x2＋eq \f(y2,25)＝1.故选A. 1．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的方程是(　　) A．x2＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1 C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1 D．以上都不对 解析　由|BF2|＝|F1F2|＝2，得a＝2，2c＝2，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以该椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选A. 2．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1 解析　设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|＝4. 3．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D.eq \f(3,2) 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为标准方程eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,6)＋x2＝1. 4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(y2,6)＋x2＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,2x2＋y2＝4))消去y，得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－eq \f(2,3)，∴弦的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3))).故选A. 5．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2))) 解析　　设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝eq \f(y－y0,x－x0)·eq \f(y＋y0,x＋x0)＝2,0)eq \f(y2－y,x2－xeq \o\al(2,0)) ＝2,0)eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)－1))－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,9)－1)),x2－xeq \o\al(2,0)) ＝2,0)eq \f(\f(4,9)(x2－x),x2－xeq \o\al(2,0)) ＝eq \f(4,9). 6．已知直线y＝eq \f(1,2)x与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　) A.eq \f(4,9) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．与点P的位置有关 解析　如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)，因为|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|PM|≤|PF1|＋|MF1|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋2＋1＝9. 7．P是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋b2＝36，))解得a2＝b2＝18，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,18)－eq \f(y2,18)＝1. 8．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为(　　) A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,9)＝1 C.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)－eq \f(y2,18)＝1 解析　解法一：设动点P的坐标为(x，y)，由题意得，eq \r((x－1)2＋(y－1)2)＝eq \f(|3x＋y－4|,\r(10))，整理得x－3y＋2＝0，∴动点P的轨迹为直线．故选D. 解法二：∵点F(1，1)在直线3x＋y－4＝0上，∴动点P的轨迹为过点F且垂直于直线l：3x＋y－4＝0的直线．故选D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝eq \f(1,2)x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验，b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2. 10．直线y＝x＋b交抛物线y＝eq \f(1,2)x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 $$