第一章 直线与圆（期末复习课件）高二数学上学期北师大版

高二数学上学期·期末复习大串讲 专题01 直线与圆 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 25大常考点：知识梳理、思维导图 36个题型典例剖析+技巧点拨 精选23道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是________，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作____________． 一条直线 二元一次方程 考点透视 考点2.直线的倾斜角 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常用α表示． 2．范围：当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________.因此，直线的倾斜角α的取值范围是________. 状元随笔　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 逆时针 0 [0，π) 考点透视 考点3.直线的斜率 　 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则k＝的大小与_____________________无关，称k＝________________为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 状元随笔　若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一． 两点P1，P2在直线上的位置 (x1≠x2) 考点透视 考点4.点到直线的距离公式 　 1．概念：点到直线的距离d就是点到直线的________的长． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ____________________． 垂线段 (A，B不全为0) 考点透视 考点5.两条平行直线间的距离 　 1．概念：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的________的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________． 公垂线段 考点透视 考点6.直线的方程 一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是____________，并且以这个方程的解为坐标的点都________，那么这个方程称为直线l的方程． 一个方程的解 在直线l上 考点透视 考点7.直线方程的点斜式 1．定义：已知直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则把方程________________称为直线方程的点斜式． 2．说明：①当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，如图(1) ②当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0，如图(2)． y－y0＝k(x－x0) 考点透视 考点8. 直线方程的斜截式 1．定义：直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程________称为直线方程的斜截式． 2．说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程． y＝kx＋b 截距 直角 考点透视 考点9.直线方程的两点式 　 如图，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程______________________称为直线方程的两点式． ＝(x1≠x2，y1≠y2) 考点透视 考点10.直线方程的截距式 　 如图，直线l经过点A(a，0)，B(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程________称为直线方程的截距式． ＝1 考点透视 考点11.直线方程的一般式 1．定义：关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． 2．适用范围： 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． 3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． Ax＋By＋C＝0 考点透视 考点12.两条直线平行 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有________⇔l1∥l2. 2．若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔________或l1与l2重合． 3．若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到________． 状元随笔　l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合． k1＝k2 l1∥l2 l1∥l2 考点透视 考点13.两条直线垂直 　 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，有l1⊥l2⇔________． 2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为________时，它们互相垂直． 状元随笔　l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k1≠0且k2≠0. k1k2＝－1 0 考点透视 考点14.两条直线的交点坐标 已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点， 则 (2)若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线________，交点坐标为________．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的________． A1x0＋B1y0＋C1＝0 A2x0＋B2y0＋C2＝0 相交 (x0，y0) 公共解 考点透视 考点15. 两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别为xA，xB，则|AB|＝________． (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB|＝. |xB－xA| 考点透视 考点16. 坐标的方法 要点 坐标的方法又称解析法，根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，即用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面图形的几何性质． 考点透视 考点17.圆的标准方程 圆心 半径 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2 考点透视 考点18. 点与圆的位置关系 ＝ ＝ < < > > 考点透视 考点19. 圆的一般方程的定义 D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 考点透视 考点20.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 外 上 内 考点透视 考点21. 直线与圆的位置关系 两个 一个 没有 考点透视 考点22. 直线与圆位置关系的判定方法 相交 相切 相离 考点透视 考点23. 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 考点透视 考点24. 圆与圆位置关系的判定方法 考点透视 考点25. 圆与圆位置关系的判定方法 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.求直线的倾斜角 【例题1】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140° 答案：D 题型剖析 题型1.求直线的倾斜角 解析：根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意． 通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 题型剖析 题型2.求直线的斜率 【例题2】已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________； 解析： 直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5. 答案： －5 题型剖析 题型3.直线的方向向量的应用 【例题3】已知直线l的斜率为－，则它的一个方向向量的坐标为________. 答案：或(2，－1)或(－2，1)，答案不唯一． 解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v＝(x2－x1，y2－y1) 则－＝， 即y2－y1＝－(x2－x1) 所以v＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1) 因此，是直线l的一个方向向量的坐标． 题型剖析 题型4.点到直线的距离公式的应用 【例题4】垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程是____________． 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0， 则由点到直线的距离公式知： d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型剖析 题型5.两条平行线间的距离 【例题5】已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________． 答案：2x－y＋1＝0 解析：设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 题型剖析 题型6.对称问题 【例题6】若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值． 解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2). 因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|， 所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小． 因为kA′B＝＝2， 所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4. 令y＝0，得x＝－2， 即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)， 所以所求实数m的值为－2. 题型剖析 题型7.直线方程的点斜式及其应用 【例题7】求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点； (4)已知A(8，－6)，B(2，2)，以向量为方向向量且过点P(2，－3)． 题型剖析 题型7.直线方程的点斜式及其应用 解析：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0. (3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3)， ∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)． (4)由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为k＝＝－， 由直线方程的点斜式得直线的点斜式方程为：y＋3＝－(x－2)． 题型剖析 题型8.直线方程的斜截式及其应用 【例8】根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解析：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－， 由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 题型剖析 题型9. 点斜式、斜截式的应用 【例9】已知直线l经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． 解析：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为＝4， 即(2k＋3)＝±8. 若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解． 若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0， 解之，得k＝－或k＝－. 所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)， 即y＝－x＋2或y＝－x－6. 题型剖析 题型10.直线方程的两点式及其应用 【例10】　已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程． 解析：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，其方程为x＝2， ∵A(2，－1)，C(4，1)， 由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0 故三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为：x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0. 题型剖析 题型11.直线方程的截距式及其应用 【例11】求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时， 直线l的方程为y＝x； 当直线l在坐标轴上的截距不为零时， 设l的方程为＝1， 将点(5，2)代入方程得＝1， 解得a＝， 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0. 综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0. 题型剖析 题型12. 直线方程的一般式及其应用 【例12】直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　) A． B．－ C． D．－3 答案：D 解析：令y＝0，x＝－3.故选D. 题型剖析 题型13.直线方程的一般式与其它形式的转化 　【例13】求斜率是－，经过点A(8，－2)的直线方程； (2)求在x轴和y轴上的截距分别是，－3的直线方程； (3)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，求A，B应满足的条件． 题型剖析 题型13.直线方程的一般式与其它形式的转化 解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0. (3)当A＝0，B≠0时，直线化为y＝－， 只与y轴相交，不符合题意； 当B＝0，A≠0时，直线化为x＝－， 只与x轴相交，不符合题意． 当A≠0，B≠0时，直线化为y＝－x－， 斜率为k＝－，截距为b＝－ 只要斜率存在且不为0，直线与两坐标轴均有交点，所以A≠0，B≠0. 题型剖析 题型14.由含参一般式求参数的值或取值范围 【例14】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标． 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立， 所以解得 所以直线l经过定点M(1，－1)． 题型剖析 题型15. 两条直线平行的判定及应用 【例15】使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行，则m＝________． 答案：－2 解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2. 题型剖析 题型16. 两条直线垂直的判定及应用 【例16】判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． 解析：(1)①k1＝＝2，k2＝＝， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. ③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝＝0，则l2∥x轴， ∴l1⊥l2. 题型剖析 题型17. 两条直线平行与垂直的综合应用 【例17】已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 题型剖析 题型17. 两条直线平行与垂直的综合应用 解析：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． 若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝， 由于AD⊥AB，∴·3＝－1.① 又AB∥CD，∴＝3.② 题型剖析 题型17. 两条直线平行与垂直的综合应用 解①②两式可得此时AD与BC不平行． 若DC为直角梯形的直角腰， 则DC⊥BC，且AD∥BC. ∵kBC＝0， ∴DC的斜率不存在． 故x＝3，又AD∥BC，则y＝3. 故D点坐标为(3，3)． 综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3，3)或()． 题型剖析 题型18. 两直线的交点问题 【例18】[多选题]下列直线与直线x－2y＋1＝0相交的是(　　) A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．＝1 D．y＝x＋1 解析：由两条直线的斜率可判断知A、D与直线x－2y＋1＝0平行，B、C与直线x－2y＋1＝0相交，故选BC 答案：BC　 题型剖析 题型19. 过两直线交点的直线方程 【例19】直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B. 答案：B 题型剖析 题型20. 求两点间的距离 【例20】[多选题]若点A(－3，4)与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的坐标可以为(　　) A．(0，0) B．(6，0) C．(－6，0) D．(0，8) 解析：①若点P在x轴上，设点P的坐标为(x，0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0，0)或(－6，0)． ②若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0，0)或(0，8)． 故所求的点P有3个，坐标分别为(0，0)，(－6，0)，(0，8)． 答案：ACD 题型剖析 题型21. 两点间的距离公式的应用 【例21】已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；   解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为(－，0)． |PA|＝＝. 题型剖析 题型22. 运用坐标法解决平面几何问题 【例22】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|. 证明：如图所示，建立直角坐标系， 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c) ∴|AC|＝ ＝， |BD|＝＝. 故|AC|＝|BD|. 题型剖析 题型23.对圆的标准方程的理解 答案 解析 题型剖析 题型24.判断点与圆的位置关系 答案 解析 题型剖析 题型25.求圆的标准方程 解 题型剖析 题型25.求圆的标准方程 解 题型剖析 题型26.与圆有关的最值问题 解 题型剖析 题型27.与圆有关的实际应用问题 题型剖析 题型27.与圆有关的实际应用问题 解 题型剖析 题型27.与圆有关的实际应用问题 解 题型剖析 题型27.与圆有关的实际应用问题 解 题型剖析 题型28.圆的一般方程的定义 解 题型剖析 题型28.圆的一般方程的定义 解 题型剖析 题型29.求圆的一般方程 解 题型剖析 题型30.直线与圆位置关系的判断 答案 解析 题型剖析 题型31.圆的切线问题 答案 解析 题型剖析 题型32.直线被圆截得的弦长问题 解 题型剖析 题型32.直线被圆截得的弦长问题 解 题型剖析 题型33.圆与圆位置关系的判定 解 题型剖析 题型33.圆与圆位置关系的判定 解 题型剖析 题型34.两圆相交的公共弦问题 解 题型剖析 题型35.圆系方程问题 解 题型剖析 题型36.直线与圆的综合应用 答案 解析 押题预测 03 PART 题型剖析 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：l1的斜率为k1＝－1，l2的斜率为k2＝－1.∵k1＝k2，∴l1∥l2.∴l1，l2之间的距离为＝.故选B. 答案：B 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 5．过点(1，1)，且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0 解析：设斜率为k，由点斜式可得y－1＝k(x－1)，令x＝0，可得y＝1－k＝3，解得k＝－2.∴y－1＝－2(x－1)，化为2x＋y－3＝0.故选D. 答案：D 题型剖析 6．过点(1，1)，且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0 解析：设斜率为k，由点斜式可得y－1＝k(x－1)，令x＝0，可得y＝1－k＝3，解得k＝－2.∴y－1＝－2(x－1)，化为2x＋y－3＝0.故选D. 答案：D 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 10．过点(1，1)，且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0 解析：设斜率为k，由点斜式可得y－1＝k(x－1)，令x＝0，可得y＝1－k＝3，解得k＝－2.∴y－1＝－2(x－1)，化为2x＋y－3＝0.故选D. 答案：D 题型剖析 11．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 解析：由直线的两点式方程，得＝，化简：得x－y－1＝0.故选D. 答案：D 题型剖析 12．经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程是y＝－2x.当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，设方程为＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以＝1，解得a＝1，故方程是x＋y－1＝0.当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且都不为0时，设方程为＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以＝1，解得m＝－3，故方程是x－y＋3＝0.综上，经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条． 答案：D 题型剖析 13．过两点(－1，1)和(1，5)的直线在y轴上的截距为(　　) A．－ B．3 C． D．－3 解析：∵直线过点(－1，1)和(1，5)， ∴该直线的斜率为＝2， ∴该直线的方程为y－5＝2(x－1)，即y＝2x＋3， ∴该直线在y轴上的截距为3. 答案：B 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 2 题型剖析 答案 解析 　x2＋(y－1)2＝10 (x－3)2＋(y－2)2＝20 题型剖析 答案 解析 eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)＝r 知识点　 (1)圆的基本要素 圆的基本要素是eq \x(\s\up1(01))_________和eq \x(\s\up1(02))_________． (2)圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是eq \x(\s\up1(03))_________，即eq \x(\s\up1(04))____________________________，两边平方，得eq \x(\s\up1(05))_____________________，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r．设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆上 |MC|eq \x(\s\up1(01))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(02))_____r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|eq \x(\s\up1(03))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(04))_____r2 点M(x0，y0)在圆外 |MC|eq \x(\s\up1(05))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(06))_____r2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) (1)当eq \x(\s\up1(01))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方 程，其圆心为eq \x(\s\up1(02))__________________，半径为eq \x(\s\up1(03))__________________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \x(\s\up1(04))_____________． (3)当eq \x(\s\up1(05))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆eq \x(\s\up1(01))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆eq \x(\s\up1(02))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆eq \x(\s\up1(03))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有eq \x(\s\up1(01))________公共点 相切 只有eq \x(\s\up1(02))________公共点 相离 eq \x(\s\up1(03))________公共点 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(01))________； Δ＝0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(02))________； Δ<0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(03))________． 圆与圆的位置关系有五种，分别为eq \x(\s\up1(01))_______、eq \x(\s\up1(02))_______、eq \x(\s\up1(03))_______、eq \x(\s\up1(04))_______、eq \x(\s\up1(05))_______． (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离　 d>r1＋r2 外切　 d＝r1＋r2 相交　 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切　 d＝|r1－r2| 内含　 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \o\al(2,1)＋Eeq \o\al(2,1)－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \o\al(2,2)＋Eeq \o\al(2,2)－4F2>0)， 联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，)) 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 【例题23】若方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是____________________________． 　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1． 解析　点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则点A(a，2)在该圆的内部或圆上，故(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，解得2≤a≤5，故实数a的取值范围为[2，5]．故选B． 【例题24】 若点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，5] B．[2，5] C．[3，5] D．[4，5] 【例题25】 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解　解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4． 在Rt△AOC中， |OC|＝eq \r(|AC|2－|AO|2)＝eq \r(52－42)＝3． 设点C的坐标为(a，0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3． ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 解法二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25． ∵圆截y轴所得线段长为8， ∴圆过点A(0，4)，代入方程得a2＋16＝25， ∴a＝±3． ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 【例题26】 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值． 解　将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆． x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)， (x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3)． 【例题27】 如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6eq \r(3) m，行车道总宽度BC为2eq \r(11) m，侧墙高EA，FD为2 m，弧顶高MN为5 m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系． (1)求圆弧所在的圆的标准方程； (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0．5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 解　(1)解法一：由题意， 有E(－3eq \r(3)，0)，F(3eq \r(3)，0)，M(0，3)． ∵所求圆的圆心在y轴上， ∴设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， ∵F(3eq \r(3)，0)，M(0，3)都在圆上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3\r(3)）2＋b2＝r2，,02＋（3－b）2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,r2＝36.)) ∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36． 解法二：设所求圆的圆心为G，半径为r(r>0)， 则点G在y轴上， 在Rt△GOE中，|OE|＝3eq \r(3)，|GE|＝r，|OG|＝r－3， 由勾股定理，得r2＝(3eq \r(3))2＋(r－3)2， 解得r＝6， 则圆心G的坐标为(0，－3)， ∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36． (2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P， 则|CP|＝h＋0．5． 将点P的横坐标x＝eq \r(11)代入圆的方程， 得(eq \r(11))2＋(y＋3)2＝36，得y＝2或y＝－8(舍去)． ∴h＝|CP|－0．5＝(2＋2)－0．5＝3．5(m)． 故车辆通过隧道的限制高度为3．5 m． 【例题28】 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得 x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))， 半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(\r(2),2)|a|． 【例题29】 已知A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求△ABC外接圆的一般方程． 解　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20.)) ∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0． 解析　直线l过定点A(1，1)，因为将点A的坐标代入圆C方程中，得12＋12－2×1＝0，所以点A在圆上．因为直线x＝1过点A且为圆的切线，又直线l的斜率存在，所以直线l与圆C一定相交．故选C． 【例题30】 直线l：y－1＝k(x－1)与圆C：x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 解析　因为(eq \r(5))2＋12－6×1＝0，所以点P(eq \r(5)，1)在圆x2＋y2－6y＝0上，x2＋y2－6y＝0的圆心为A(0，3)，故kAP＝eq \f(3－1,0－\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，设圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程的斜率为k，故k·kAP＝－1，解得k＝eq \f(\r(5),2)，所以圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程为y－1＝eq \f(\r(5),2)(x－eq \r(5))，变形得到2y－2＝eq \r(5)x－5，即eq \r(5)x－2y－3＝0．故选A． 【例题31】圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程为(　　) A．eq \r(5)x－2y－3＝0 B．eq \r(5)x－2y＋3＝0 C．2x－eq \r(5)y－3＝0 D．2x－eq \r(5)y＋3＝0 【例题32】已知圆M：x2＋y2－2x－2y－6＝0，直线l过点P(3，2)且与圆M交于A，B两点． (1)当|AB|最小时，求直线l的方程； (2)当|AB|＝4时，求直线l的方程． 解　(1)圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝8，圆心M(1，1)，半径r＝2eq \r(2)， 当直线l与PM垂直时，|AB|最小，直线PM的斜率kPM＝eq \f(1,2)，所以此时直线l的斜率为－2，直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0． (2)当|AB|＝4时，圆心M(1，1)到直线l的距离为d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0， 所以d＝eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)， 所以直线l的方程为－eq \f(3,4)x－y＋eq \f(9,4)＋2＝0，即3x＋4y－17＝0． 综上所述，当|AB|＝4时，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－17＝0． 【例题33】　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0． (1)当m＝1时，判断圆C1与圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1与圆C2内含？ 解　(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 则C1(1，－2)，半径r1＝3， 圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1， 则C2(－1，0)，半径r2＝1， ∴两圆的圆心距d＝eq \r(（1＋1）2＋（－2－0）2)＝2eq \r(2)， 又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，∴r1－r2<d<r1＋r2， 故圆C1与圆C2相交． (2)不存在．理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9， 则C1(m，－2)，半径r1＝3， 而C2(－1，0)，半径r2＝1． 假设存在实数m，使得圆C1与圆C2内含， 则圆心距d＝eq \r(（m＋1）2＋（－2－0）2)<3－1， 即(m＋1)2<0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1与圆C2内含． 【例题34】已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程． 解　设圆C的半径为r， 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2， 圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0， 因为该直线过点(5，－2)，所以5＋2×(－2)－5＋r2＝0，解得r2＝4， 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4． 【例题35】 求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： (1)过原点；(2)有最小面积． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， 即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0． (1)∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，∴λ＝－eq \f(1,4)， 故所求圆的方程为x2＋y2＋eq \f(3,2)x－eq \f(17,4)y＝0． (2)将圆系方程化为标准方程得(x＋1＋λ)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(λ－4,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(5,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(8,5))) eq \s\up12(2)＋eq \f(4,5)． 要使其面积最小，则圆的半径取最小值，此时λ＝eq \f(8,5)． ∴满足条件的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(4,5)． 【例题36】已知x，y满足x2＋y2＝1，则eq \f(y－2,x－1)的最小值为________． eq \f(3,4) 解析　　eq \f(y－2,x－1)表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由eq \f(|2－k|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，结合图形可知eq \f(y－2,x－1)≥eq \f(3,4)，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值为eq \f(3,4)． 解析　因为y＝ax＋b过第一、二、四象限，所以a<0，b>0．因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限．故选D． 2．若直线y＝ax＋b过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　圆心为(－1，3)，半径为eq \r(12)＝2eq \r(3)，因为eq \r(（1＋1）2＋（6－3）2)＝eq \r(13)>2eq \r(3)，所以A(1，6)在圆外．故选C． 3．(2024·厦门五中高二月考)已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1，6)在(　　) A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 解析　由题意，得a＝0，则x2＋y2＋(2b－1)y－1－eq \f(1,2)b2＝0，得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2b－1,2))) eq \s\up12(2)＝1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(（2b－1）2,4)，则r2＝1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(（2b－1）2,4)＝eq \f(3,2)b2－b＋eq \f(5,4)，当b＝eq \f(1,3)时，r2取得最小值，为eq \f(13,12)，此时圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,6))) eq \s\up12(2)＝eq \f(13,12)．故选D． 4．(2024·威海乳山市第一中学高二月考)方程x2＋y2＋ax＋(2b－1)y－1－eq \f(1,2)b2＝0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　　) A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝1 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3) D．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,6))) eq \s\up12(2)＝eq \f(13,12) 解析　线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(6－2,4－0)＝1，则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,2x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))所以圆C的圆心坐标为(3，3)，半径r＝eq \r(（3－0）2＋（3－2）2)＝eq \r(10)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0．故选C． 8．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 解析　由ax＋y－a＝0变形得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交．故选B． 9．(2024·苏州高新区一中高二月考)直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆x2－4x＋y2＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 解析　圆C1：x2＋y2＝1的半径r1＝1，圆心C1(0，0)，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的半径r2＝2，圆心C2(3，4)，两圆心的距离d＝eq \r(32＋42)＝5，因为d>r1＋r2，所以两圆外离．故选C． 14.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．外离 D．不确定 解析　圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2，圆心为O1(1，－1)，半径r＝eq \r(2)，圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2，圆心为O2(－1，1)，半径R＝eq \r(2)，∵两圆心距离为|O1O2|＝eq \r(（－1－1）2＋（1＋1）2)＝2eq \r(2)＝r＋R，∴两圆外切，有3条公切线．故选C． 15．圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　由于32＋02－2×3＋4×0－4＝－1<0，故点M(3，0)在圆内，x2＋y2－2x＋4y－4＝0化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)，半径为3．如图，设CH⊥l，垂足为H，设直线l和圆的交点是A，B，根据垂径定理，|AB|＝2eq \r(9－|CH|2)，为使得|AB|最小，必须使|CH|最大，显然|CH|≤|CM|＝2eq \r(2)，H，M重合时取等号，此时CM⊥l，由于kCM＝1，所以直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0．故选A． 16．(2024·广州白云中学高二期中)过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3，0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋4y－3＝0 D．x－4y－3＝0 17．(2024·北京十五中高二期中)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 解析　由圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圆心为(2，3)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心为(－1，－1)，半径r2＝3，则两圆的圆心距为eq \r(（2＋1）2＋（3＋1）2)＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．故选B． 解析　圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为r＝3，圆心(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|2|,\r(2))＝eq \r(2)，故弦AB的长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(9－2)＝2eq \r(7)．故选B． 18．(2024·鞍山一中高二期中)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．eq \r(7) B．2eq \r(7) C．eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析　设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1)．因为CM⊥AB，kAB＝eq \f(－2－4,3－1)＝－3，所以kCM＝eq \f(b－1,a－2)＝eq \f(1,3)，即3b＝a＋1　①，又因为|CM|＝eq \r(10)，所以(a－2)2＋(b－1)2＝10　②，联立①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝2，))即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20，故圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20．故选BD． 19．(多选)已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为eq \r(10)，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝20 B．(x＋1)2＋y2＝20 C．(x＋5)2＋(y＋2)2＝20 D．(x－5)2＋(y－2)2＝20 解析　圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2．两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D不正确．故选ABC． 20．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列结论正确的是(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b 解析　圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，半径为r1＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为C2(2，0)，半径为r2＝1，则kC1C2＝eq \f(1,\f(a,2)－2)＝eq \f(2,a－4)，C1C2的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)＋1，\f(1,2)))，因为两圆关于直线x－y－1＝0对称，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,a－4)＝－1，,\f(a,4)＋1－\f(1,2)－1＝0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1，))解得a＝2． 21．(2024·聊城高二期中)若圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝________． 解析　当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径为eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10)．则周长最小的圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（4－b）2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20． 22．已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，则周长最小的圆的方程为________________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为____________________． 解析　记A(2，0)，则eq \f(y,x－2)为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，eq \f(y,x－2)最小．此时设直线AP：y＝k(x－2)，故eq \f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0(舍去)，即kmin＝－eq \f(4,3)． －eq \f(4,3) 23．(2024·重庆云阳高级中学高二月考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则eq \f(y,x－2)的最小值为________． $$