专题04 解直角三角形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题04 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、比较三角函数大小 【解惑】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 【融会贯通】 1．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 2．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据锐角三角函数关系进行等量代换，然后利用锐角正弦值随着角的增大而增大即可判断． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是解题关键． 3．比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】正弦函数值小于1，而，故，即可比较二者大小． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，正弦函数值，正切函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 类型二、解非直角三角形 【解惑】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 2．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先证，，再由旋转的性质及已知条件求出，，然后由，求出，过点作于，过点作于，在中求出，进而求出，，由此可求出，，据此即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， 过点作于，过点作于，如图所示： ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ∵， 又， 在中，，，，， ∴， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、三角函数中的最值 【解惑】如图，在中，，于点，，．若点、分别是线段、线段上的动点，则的最小值是(   ) A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，含的直角三角形的性质，根据，作作点关于的对称点，过点作于，交于，确定此时的值最小，其最小值是，根据勾股定理和三角形全等的性质可得结论． 【详解】解：， ， 如图，作点关于的对称点，过点作于，交于， 是的垂直平分线， ， 此时的值最小，其最小值是， ，， ， ， ， ，， ， ， 即的最小值是； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，最短距离等知识点，利用点A、B、C的坐标可得到，则，连接交于，利用两点间的距离公式计算出，即可得到，于是可判断a的最小值为4，熟练掌握其性质，找出最短距离的位置是解决此题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∵， ∴， 如图，连接交于， ， ∴， 即上点到A的最短距离为4， ∴a的最小值为4， 故选：B． 2．如图，中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到，连接，则长的最小值是 ． 【答案】2.5 【分析】取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在中，利用含3度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2.5， 长的最小值是2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线，理解当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大是解题关键．连接，由G，H分别为的中点，结合三角形中位线定理可知．最后根据当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵G，H分别为的中点， ∴． 当时，最短，即此时最小，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 当点F与点C重合时，最长，即此时最大，如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：，． 类型四、同角三角函数 【解惑】如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键． 2．为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 3．化简： ． 【答案】1 【分析】利用三角函数公式求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角函数公式的运用，熟练掌握三角函数公式求得是解题的关键． 类型五、三角函数的应用——仰角俯角问题 【解惑】如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用， （1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出； （2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， ∵ ∴在中， ∴ ∴ ∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为； （2）解：在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 【融会贯通】 1．在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． (1)求线段的长度和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求得，在中，利用三角函数的定义即可求得； （2）作于点，在中，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得四边形，都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 在中，； （2）解：作于点， 在中，， ∵，即， ∴， ∴． 2．某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 【答案】2.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．延长交于点，构造直角和矩形，设米．通过解直角三角形分别表示出、的长度，根据得到，解得即可求得 进而即可求得． 【详解】解：延长交于点，设米． 由题意得，，， ，， （米），（米）， （米）． 解得， （米）， （米）． 答：测温门顶部处距地面的高度约为2.5米． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．延长交于点，由题意可得：，，，，推出，证明四边形是矩形，得到，设，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， 由题意可得：，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ． 类型六、三角函数的应用——方位角问题 【解惑】我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【答案】(1)点到岛的距离为海里 (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，分别解，求出的长即可； （2）过点作，设，分别解，求出的值，比较巡航船2小时行驶的路程与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 【融会贯通】 1．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)有触礁危险，理由见解析． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点P作交的延长线于C，设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，根据正切的定义用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （2）比较与半径的大小，得到答案． 【详解】（1）解：过点P作交AB的延长线于C， 设海里， 在中，， 则海里， 在中，， 则海里，(海里)， 由题意得：，即， 解得：， 则海里， 答：A、P之间的距离为海里； （2）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：， ∴， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 2．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键． （1）过点P作于A，于B，先解，求得，再证明，从而得出，然后解，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点P作于A，于B，如图， 根据题意，得，，，， 在中，∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 答：驿站，驿站之间的距离约为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 3．2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展，小凤与小鸣精心规划，为奥运冠军们设计了两条欢迎通道．如图，点是校门所在的位置，点是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”．小风设计的欢迎通道是，小鸣设计的欢迎通道是为；已知点位于点的南偏东方向，且米；点位于点的南偏西方向，且米；点位于点的西南方向上，同时点也位于点的正西方向．（参考数据：，，） (1)求道路的长度（结果精确到个位）； (2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟，小鸣带队经过通道的速度为米/分钟，若他们同时从点处出发，并保持匀速游览，请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆． 【答案】(1)道路的长度为米 (2)小鸣的路线先到达体育馆，理由见解析 【分析】本题主要考查了特殊角的函数值求法，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，方位角，读懂题意，作出辅助线是解答关键． （1）过点作交的延长线于点，由含角的直角三角形的性质求出和，然后再利用等腰直角三角形的性质求解； （2）作于点，由含角的直角三角形的性质求出，用特殊角的函数值求出，再用勾股定理求出，结合（1）的结论求得小凤和小鸣各自到达的时间来求解． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 在中，，米，， 米，米， ， 是等腰直角三角形， 米 （米） 即道路的长度为米． （2）解：作于点， 在中，，米，， （米），（米） 米， （米）， 小鸣的游览速度为米分， 小鸣到达出口的时间是（分）， 由可得，（米）， 小凤的游览速度为米分， 小凤到达出口的时间是（分）． ， 小鸣的路线先到达体育馆． 类型七、三角函数的应用——坡度坡比问题 【解惑】如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 【答案】7.7米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交射线于点H，过点E作于点F，根据坡度比得出，，再根据求出的长即可求解． 【详解】解：延长交射线于点H，过点E作于点F， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为7.7米． 【融会贯通】 1．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米； (2)飞机距离地面的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， 米； （2）解：，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 2．如图1是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内）；（参考数据：，，） (1)求C点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果保留整数） 【答案】(1)C点到地面的距离为； (2)摩天轮的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交的延长线于M，于N，先在中，解直角三角形求出，； （2）在中，根据锐角三角函数构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点M，于N， 由题意得：， 则，， 在中，， ∴设，， ∴， 解得， ∴，， 答：C点到地面的距离为； （2）解：由得，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ∴摩天轮的高度约为． 3．彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】约为． 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 过点作，垂足为，延长交于点，证明四边形是矩形后可得，再根据解直角三角形的计算求得、，最后根据 即可得解，注意结果要精确到． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ． ， 由题意得，， ． 答：此彩虹滑道最高点到地面的距离约为． 类型八、三角函数与相似结合 【解惑】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． (1)发现：________，________（用含t的式子来表示） (2)猜想：若，则t的值为________； (3)探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3)或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键， （1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； （2）利用建立方程求解即可得出结论； （3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 由运动知，． ， 故答案为：； （2）解：∵， ， 秒． （3）解：∵与相似， 当时， 秒； 当时， ， 秒； 即：满足条件的的值为或秒． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】(1)猜想：，理由见解析 (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）由题意得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形，， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 2．如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过A作垂足为M，根据平行四边形的面积公式计算出，根据勾股定理计算出，从而得到垂直平分，再证明得到，设，分别得到，根据建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据矩形的性质推到得，得出，再根据勾股定理计算出，通过证明，通过三角形的相似比计算出； （3）根据和两种情况进行讨论，当可利用（1）得结论得到答案，当时，，得，，，根据得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）如下图所示，过A作垂足为M， ∵平行四边形的面积为96，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 设，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如下图所示，过A作垂足为M， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）如下图所示， ∵，当时，点G在AC上时， 由（1）得， 当时，点G不在AC上，如下图所示， ∵， ∴， 设， 得，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角函数、正方形、平行四边形、全等三角形和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角函数和相似三角形的相似比建立方程． 3．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    【答案】(1)2 (2)2 (3)能，或 【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解； （2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解； （3）存在两种情况，当点与在中点重合时，点在的延长线上，分别来求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，，    ∵，， ∴． 由旋转得，，， ， ∴， ， ∴的值是2． （2）解：如图2，∵， ∴． ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴当点恰好落在的中线上时，点与重合． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的长是2．    （3）解：与能相似， 当点与在中点重合时，如图2， 则，，， ， ∴． ∵，，， ∴． 点在的延长线上，连接，如图3，      ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ， ∴， ∴三点在同一条直线上． ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与能相似，此时的面积为或． 【点睛】本题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，理解相关知识是解答关键． 类型九、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示， (1)在图中，画线段于点，使； (2)在图中，点为与网格线的交点，先将线段绕点顺时针旋转得线段，在线段上画出点的对应点： (3)在图中，画出点关于的对称点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（）如图，取格点，连接，交与点，易得，得，，即得，进而由，得，得到，即得，故线段即为所求； （）如图，取格点，连接，与网格线相交于点，易得，得到，即得，又因为，，所以，即得到，故线段及点即为所求； （）取格点，连接，则，取格点，连接，则，即可得，得到，因为点为的中点，所以由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，即得，故点关于对称． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段及点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角性质，直角三角形性质，旋转作图，等腰三角形的性质，轴对称，掌握以上知识点是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质作图即可求解； （2）先过点作的垂直线，再结合中位线的性质，作关于的对称点，根据题意连接即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，根据网格的特点，找到距离A点下方一个单位格点，距离B点上方三个单位长的格点，连接两格点交于，则， 同理找到右边的格点连线交于，连接，则，， ， ， ； 则即为所求， ； （2）解：如图2所示，根据题格点可得，找到点，使得， 则， ， ， 即于点， 作平行四边形，设交于点， 倍长找到，，延长交于，同理得，， 是关于的对称点， 连接交于点，点即为所求， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，三角函数的定义，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，找出格点中符合题意角度的正切值是解题的关键． 2．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，借助网格中平行线可得比例线段，从而求解． （2）利用矩形性质，可得，四边形是平行四边形，，即可求解． 本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，根据旋转的性质可得线段，取格点P，Q，连结交于点O， 此时，则 即， 连结交于点N， ， 则点N即为所求．    （2）解：如图2，连结，交于点O， 四边形是矩形， ， 与交于点， 四边形是平行四边形， ， 连结交于点E，点E即为所求． 连结、 交于点Q，连结  、交于点， 连结交于点，连结交于点F， 点F即为所求．    3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过点B画边上的高（H为垂足）． (2)在图2中，在边上找一点D，连结，使． (3)在图3中，在边上找一点P，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点，连接，延长交于，则即为所求； （2）由三角形面积可知，，取格点、，连接、、，利用相似三角形对应边成比例可知，与的交点为点， （3）取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 取格点，连接，延长交于，则即为所求； 由网格的特点可知，则； （2）解：如图所示，即为所求； ，，， ， 即求的三等分点； 取格点、，连接、、，与的交点为点； （3）解：如图所示，点即为所求； 取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求；由网格的特点可知，，，则，即． 类型十、三角函数中的新定义 【解惑】【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，勾股定理，含角直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据定义即可求解． （2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解； （3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 【详解】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． ∴， 在中，设，则， ∴， ∴ 则 ∴ 2．【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图① ，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图② ，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③ ，在中，，垂足为D，若，，．求证：C是A、B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④ ，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． （4）如图⑤，在中，，，，P、Q分别为边、上的两个动点，若要使是轴对称图形且Q是B、P两点的勾股点，则_____． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）4或或或16；（4）或 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）分四种情况：点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是，两个顶点的强勾股点时，点是，两个顶点的强勾股点时，点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； （4）分两种情况进行讨论：当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形，， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵， D是的中点， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为4或或或16． （4）∵，，， ∴， ∵是轴对称图形，Q是B、P两点的勾股点， ∴是等腰三角形，为直角三角形； 当，时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当，时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 3．如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 【答案】(1)它们的相反数取负值的是； (2)或； (3)； (4)． 【分析】（1）由，推出，，根据，，，，即可判断； （2）分两种情形讨论即可解决问题； （3）如图2中，作轴于E．勾股定理求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题； （4）首先求出当时，，当时，根据三角形的两边之和大于第三边得到，然后由整理得到，进而得到，然后求出，即可求解． 本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 【详解】（1）解：， ，， 角的三角函数值、、、，其中取正值的是，取负值的是、、． 它们的相反数取负值的是； （2）解：角的终边与直线重合， 如图1中， ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴， ， ∴； ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴， ∴同理可得，， ∴； 综上所述，或； （3）解：如图2中，作轴于E． 由题意，， ∴ ∴， ∴； （4）解：若，设， 则， 当时，， 当时，根据三角形的两边之和大于第三边，则， ∴ ∴， ∴； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【一览众山小】 1．题目：“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形，由题意画出图形，由如下两种情况：作于，当为钝角时，当为锐角时，分别求解即可，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意画出图形，由如下两种情况：作于， ， 当为钝角时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当为锐角时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或 故选：C． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理及其逆定理，能求出是解此题的关键．根据已知图形得出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由勾股定理得：，， ∴， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，现有以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③如图，记，的交点为，证明，与题干矛盾，故③错误；④连接、，然后证明≌，从而得到，从而可证明④． 【详解】解：如图所示：连接、． ①∵平分，，， ∴．故①正确． ②∵，平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 同理：，． ∴．故②正确． ③如图，记，的交点为， ∵，，， ∴，， 当平分． ∴， ∵， ∴，与题干矛盾，故③错误． ④∵是的垂直平分线， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴， 又∵，， ∴．故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．如图，在三角形纸片中，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的性质，等边三角形的判定及性质，含30度的直角三角形的性质． 由折叠的性质可证得是等边三角形，得到，进而得到，，由折叠可得，，进而推出是直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质即可得到，再结合即可解答． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， 由折叠可得，， ∴， ∴，即 ∵， ∴． 故答案为：4 5．如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 【答案】 /30度 15.2 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义是解题关键． （1）先利用锐角三角函数求出三角函数值，再求角即可； （2）如图，过点B作交的延长线于D，先求出，据三角函数求，可证，，在同一直线上，计算和差即可． 【详解】解：（1）于C，， ， ． 故答案为：； （2）如图，过点B作交的延长线于D， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，在同一直线上， ， ∴显示屏的顶部比原来升高了． 故答案为：． 6．如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】如图，记的交点为，设，则，由是直角三角形斜边上的中线可知，则，证明，则，，即，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，设，则， 由题意知，， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切是解题的关键． 7．如图，、、、分别是某公园的四个景点，在的南偏东方向，在的正北方向，且在的北偏东方向；在的北偏东30°方向，且在的东南方向，千米． (1)求的长度（结果保留根号） (2)某人此刻正在地游玩，5分钟后地将会有一场表演，此人即刻搭乘摆渡车从地出发前往地（摆渡车中途不停，上、下车时间忽略不计），摆渡车平均速度为每分钟700米，则此人能否在表演开始前到达地？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）过点A作于点E，首先证明出，得到，然后根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点C作于点F，首先得到是等腰直角三角形，设，表示出，，然后根据列方程求出，得到（千米）（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点E 根据题意得 ∵， ∴ ∴ 根据题意得， ∴（千米） ∴（千米） ∴（千米）； （2）解：如图所示，过点C作于点F， 根据题意得， ∴是等腰直角三角形 ∴设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（千米）（米） ∴ ∴此人能在表演开始前到达地． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 8．小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点A到地面的距离； (2)当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （）过点作，解直角三角形，求出，即可求解； （）过点作，解直角三角形，求出，根据即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得， 过点作， 在中， ， ， ， ， ∴点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中， ， ∴， ， ， ∴． 9．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线向点C以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)当点P在上时，若，求的正弦值； (3)当点P到直线的距离是4时，求t的值； (4)过点P作，交AC于点Q．当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)8 (2) (3)5或 (4)或 【分析】本题考查了解直角三角形有关的计算，等腰直角三角形的性质等，掌握三角函数是解题的关键． （1）根据，求解即可； （2）过点P作于点D，求出和的长度，即可求出的正弦值； （3）分点P在上时和点P在上时两种情况进行讨论即可； （4）分点P在上时和点P在上时两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）解：过点P作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作于，当点P到直线的距离是4时，则， ， 分以下两种情况： ①当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当点P到直线的距离是4时，t的值为5或； （4）解：分以下两种情况： ①当点P在上时，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时，过点Q作于点M， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述：或． 10．【概念认知】 在凸四边形中（内角度数都小于），若其中有三个顶点构成的三角形是等腰直角三角形，则称该四边形为直等腰四边形． 【理解应用】 （1）如图1，如图所示，请用无刻度的直尺和圆规作出点D（只需作出一个即可），使A、B、C、D四个点构成的四边形是直等腰四边形； （2）如图2，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿着翻折得到，当A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在直等腰四边形中，，，为等腰直角三角形，且，若，则的长为__________（直接写出答案）． 【答案】（1）作图见解析（2）或；（3） 【分析】（1）以A、B为圆心，大于为半径作弧，交于点，，作直线交于点N，以N为圆心，为半径作弧交于D，即可得直等腰四边形； （2）分两种情况：当点E在下方时，当点E在上方时，作于点F，根据等腰三角形的性质及勾股定理解答即可； （3）作的中垂线交于S、于P，连接，作，交于Q，作，交于T，利用勾股定理及含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：以A、B为圆心，大于为半径作弧，交于点，，作直线交于点N，以N为圆心，为半径作弧交于D，四边形即为所求． 由作法可知：直线为线段的垂直平分线，点D在直线上， ，， ， ， ， ，即， 四边形为直等腰四边形； ； （2）Ⅰ当点E在下方时， A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 沿着翻折得到， ，， 即， 作于点F， ，，， 为等腰直角三角形， 在中，， ，， 在中，， ，； Ⅱ当点E在上方时，如图所示： A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 沿着翻折得到， ， ， ， 作于点F， ，， 为等腰直角三角形， 在中，， ，， 在中，， ，； 综上所述，的长为或； （3）作的中垂线交于S、于P，连接，作，交于Q，作，交于T， ，， ， 为中垂线， ，， 在中， ，， 在中 ， ，， 在中，设 ，， 解得：， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、翻折变换、勾股定理及三角形内角和定理、外角的性质、含30度角直角三角形的性质等，正确添加辅助线，运用数形结合、分类讨论的思想是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、比较三角函数大小 【解惑】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【融会贯通】 1．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 3．比较大小： （填“”或“”或“=”）． 类型二、解非直角三角形 【解惑】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 2．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 3．如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ． 类型三、三角函数中的最值 【解惑】如图，在中，，于点，，．若点、分别是线段、线段上的动点，则的最小值是(   ) A．6 B．12 C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到，连接，则长的最小值是 ． 3．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 类型四、同角三角函数 【解惑】如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．为锐角，若，则的值为 ． 3．化简： ． 类型五、三角函数的应用——仰角俯角问题 【解惑】如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 【融会贯通】 1．在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． (1)求线段的长度和的值； (2)求的值． 2．某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 类型六、三角函数的应用——方位角问题 【解惑】我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【融会贯通】 1．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 2．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 3．2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展，小凤与小鸣精心规划，为奥运冠军们设计了两条欢迎通道．如图，点是校门所在的位置，点是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”．小风设计的欢迎通道是，小鸣设计的欢迎通道是为；已知点位于点的南偏东方向，且米；点位于点的南偏西方向，且米；点位于点的西南方向上，同时点也位于点的正西方向．（参考数据：，，） (1)求道路的长度（结果精确到个位）； (2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟，小鸣带队经过通道的速度为米/分钟，若他们同时从点处出发，并保持匀速游览，请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆． 类型七、三角函数的应用——坡度坡比问题 【解惑】如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 【融会贯通】 1．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 2．如图1是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内）；（参考数据：，，） (1)求C点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果保留整数） 3．彩虹滑道又叫七彩滑道，是一款颜值高又好玩的网红设备，深受游客的喜爱，该游乐设施对场地没有特别要求，只要有坡度就可以搭建，由助跑段、缓冲段、着陆段、终点四部分组成．图是某数学爱好者根据彩虹滑道（图）抽象出来的示意图．已知：，，点到的距离为，点、、在同一条水平直线上，，，．求此彩虹滑道的最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 类型八、三角函数与相似结合 【解惑】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． (1)发现：________，________（用含t的式子来表示） (2)猜想：若，则t的值为________； (3)探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 2．如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 3．【数学实验】 将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，． (1)【感知】 如图，在绕点旋转过程中，若连接，，求的值． (2)【探究】 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)【拓展】在绕点旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．    类型九、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示， (1)在图中，画线段于点，使； (2)在图中，点为与网格线的交点，先将线段绕点顺时针旋转得线段，在线段上画出点的对应点： (3)在图中，画出点关于的对称点． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 2．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过点B画边上的高（H为垂足）． (2)在图2中，在边上找一点D，连结，使． (3)在图3中，在边上找一点P，画射线，使． 类型十、三角函数中的新定义 【解惑】【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【融会贯通】 1．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 2．【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图① ，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图② ，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③ ，在中，，垂足为D，若，，．求证：C是A、B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④ ，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． （4）如图⑤，在中，，，，P、Q分别为边、上的两个动点，若要使是轴对称图形且Q是B、P两点的勾股点，则_____． 3．如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 【一览众山小】 1．题目：“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙答案合在一起才完整 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，现有以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．如图，在三角形纸片中，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，若，则 ． 5．如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 6．如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 7．如图，、、、分别是某公园的四个景点，在的南偏东方向，在的正北方向，且在的北偏东方向；在的北偏东30°方向，且在的东南方向，千米． (1)求的长度（结果保留根号） (2)某人此刻正在地游玩，5分钟后地将会有一场表演，此人即刻搭乘摆渡车从地出发前往地（摆渡车中途不停，上、下车时间忽略不计），摆渡车平均速度为每分钟700米，则此人能否在表演开始前到达地？请说明理由．（参考数据：） 8．小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点A到地面的距离； (2)当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 9．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线向点C以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)当点P在上时，若，求的正弦值； (3)当点P到直线的距离是4时，求t的值； (4)过点P作，交AC于点Q．当时，请直接写出的长度． 10．【概念认知】 在凸四边形中（内角度数都小于），若其中有三个顶点构成的三角形是等腰直角三角形，则称该四边形为直等腰四边形． 【理解应用】 （1）如图1，如图所示，请用无刻度的直尺和圆规作出点D（只需作出一个即可），使A、B、C、D四个点构成的四边形是直等腰四边形； （2）如图2，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿着翻折得到，当A、D、E、C四个点构成的四边形是直等腰四边形时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在直等腰四边形中，，，为等腰直角三角形，且，若，则的长为__________（直接写出答案）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$