专题04 解直角三角形（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题04 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的概念 【解惑】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 【答案】 【分析】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 3．如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为 【答案】 【分析】如图，延长交于．首先证明，由，推出，，由，推出，推出，再证明即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型二、求角的正弦值、余弦值、正切值 【解惑】在中，，若，，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形函数，利用勾股定理求出，再根据正弦、余弦和正切的定义计算即可判断求解，掌握正弦、余弦和正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 【融会贯通】 1．在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正弦，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，．若， ∴， 故选：A． 2．若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角形为直角三角形． 【详解】解：三角形三边之比，， 这个三角形是直角三角形， 如下图所示， 根据大边对大角可知：最小， 故答案为： ． 3．如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点A，B，C都在格点上，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 类型三、已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【解惑】在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意；     C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 2．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．已知，，D为中点，点E为中点，，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接、， 则，，，设，则，可得，即，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，D为中点，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 类型四、含30°角的直角三角形 【解惑】如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用直角三角形的两个锐角互余可得：，再利用线段垂直平分线的性质可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，中，，，平分交于点，，交于点，若，则长为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 2．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D． 若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握． 连接，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出，再根据含30度角的直角三角形即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 3．如图，在矩形中，点在上一点，连接，，若且，，则矩形的边长为 ．    【答案】 【分析】延长线段至点、，使得，结合矩形的性质可证明，得到，，根据，，得到，推出，设，则，得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长线段至点、，使得，   四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 类型五、斜中定理 【解惑】如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理：根据直角三角形的性质可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【融会贯通】 1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，位似的性质．连接，由题意易得出为等腰直角三角形，根据位似得出为等腰直角三角形，再根据位似比得出，则，由直角三角形斜边中线的性质得出，最后结合即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形． ∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 2．把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，再证明，得，进而证明，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，，，，， ，，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∴，则， ∴，即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 类型六、特殊三角形的三角函数 【解惑】已知锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据的正切值求出的度数是解题的关键．先根据，且是锐角求出的度数，即可求解． 【详解】解：，且是锐角， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比，叫作的正弦，记作，在度范围内，角度越大，正弦函数值越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，可有， ∴的值为可能为． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，的直径，是的一条弦，，点P在上，点Q在上，且，当点P在上移动时，长的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，则，要想使得长的最大，只需得长最短，根据垂线段最短原理，解答即可． 【详解】解：连接，的直径，， 则，，要想使得长的最大，只需最短， 根据垂线段最短原理，时，符合题意， 此时， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理，特殊角的三角形函数，圆的基本概念，熟练掌握垂线段最短，勾股定理，特殊角的三角形函数，是解题的关键． 类型七、由特殊三角函数值判定三角形形状 【解惑】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【融会贯通】 1．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 2．在中，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据两个非负数的和为0，则它们都为0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度数，由此可判断△ABC的形状． 【详解】∵，，且 ∴， ∴， ∴∠A=60゜，∠B=30゜ ∵∠A+∠B=90゜ ∴△ABC是直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了几个非负数的和为0则它们都为0的性质，已知三角函数值求角，直角三角形的判定等知识，关键是根据非负数和为0的性质求得∠A、∠B的三角函数值． 3．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 类型八、由特殊三角函数值求角的度数 【解惑】在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是    （ ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质，特殊角的三角函数值的应用，等边三角形的判定，根据非负数的性质可得，，证明，从而可得答案． 【详解】解：由， 得，． 由，均为锐角，得，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选B． 2．如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 3．在锐角中，若，则的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出及的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ，为锐角， ，， ， 的余弦值是． 故答案为：． 类型九、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值． （1）先依据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂化简，然后按照实数的混合运算顺序计算即可． （2）将特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 3．（1）计算：； （1）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算， （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 类型十、解直角三角形 【解惑】如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，， ， ， 在中， ， ， ． ． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个三角形的其他元素． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，牢记直角三角形三边之间的关系以及边角之间的关系是解题的关键．根据勾股定理可以推出的值，然后根据三边的关系可以推出，的度数． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， 2．已知：如图，是的高，．求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，先在中，利用求出的长，然后再中，运用计算是解题的关键． 【详解】在中， ， ， 在中，， ， 3．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 2．如图，在中，，，，则等于（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正切值，牢记角的正切值的定义是解题的关键：在中，，如果锐角确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 按照角的正切值的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 故选：． 3．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题关键．根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4．在中，．若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解直角三角形，利用直角三角形中“的对边除以的邻边”可得结论．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 故答案为：5． 5．已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线长为， ∴它的斜边长为， 故答案为：16． 6．如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的混合运算，涉及二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 首先化简二次根式、计算绝对值，特殊角的三角函数值，然后进行合并计算即可． 【详解】解：原式 9．如图中，，试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解：中，， ， ，，． 10．在中，，．    (1)求的度数； (2)请写出边与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形对的直角边对于斜边的一半是解题的关键； （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）根据直角三角形对的直角边对于斜边的一半即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的概念 【解惑】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 3．如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为 类型二、求角的正弦值、余弦值、正切值 【解惑】在中，，若，，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ． 3．如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点A，B，C都在格点上，若，则的值为 ． 类型三、已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【解惑】在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 3．已知，，D为中点，点E为中点，，若，则 ． 类型四、含30°角的直角三角形 【解惑】如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，，，平分交于点，，交于点，若，则长为（   ） A．2 B． C． D．3 2．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D． 若，则 ． 3．如图，在矩形中，点在上一点，连接，，若且，，则矩形的边长为 ．    类型五、斜中定理 【解惑】如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为 ． 3．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ． 类型六、特殊三角形的三角函数 【解惑】已知锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的值为（　　） A． B． C． D． 2．请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为 ． 3．如图，的直径，是的一条弦，，点P在上，点Q在上，且，当点P在上移动时，长的最大值为 ． 类型七、由特殊三角函数值判定三角形形状 【解惑】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【融会贯通】 1．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，，则为 三角形． 3．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 类型八、由特殊三角函数值求角的度数 【解惑】在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是    （ ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 2．如果是锐角，，那么 ． 3．在锐角中，若，则的余弦值是 ． 类型九、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算 (1) (2) 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： 3．（1）计算：； （1）计算：． 类型十、解直角三角形 【解惑】如图，在中，，求的长． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个三角形的其他元素． 2．已知：如图，是的高，．求． 3．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【一览众山小】 1．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，，，，则等于（　　） A． B．2 C． D． 3．如图，直角中，，，且，，则（   ） A．6 B． C． D． 4．在中，．若，，则的长是 ． 5．已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为 ． 6．如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 7．计算： 8．计算： 9．如图中，，试求出的三个三角函数值． 10．在中，，．    (1)求的度数； (2)请写出边与的数量关系，并给出证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$