第26讲 正方形（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第26讲　正方形 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 正方形 正方形 平行四边形、矩 形、菱形、正方 形之间的关系 中点四边形 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 (1)矩形＋一组邻边相等＝正方形 (2)菱形＋一个直角＝正方形 正方形 判定 (1)四边相等，四个角相等都等于①________ (2)对角线互相垂直平分且②________，并且每条对角线平分一组对角 (3)既是中心对称图形，又是轴对称图 形(4条对称轴) 性质 90° 相等 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 平行四边形、矩 形、菱形、正方 形之间的关系 从边、角的角度看： 从对角线的角度看： 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 定义：顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形叫中 点四边形 中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定： 中点四边形 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 【温馨提示】 1．特殊四边形的中点四边形：(1)平行四边形→平行四边形；(2)矩形→菱形；(3)菱形→矩形；(4)正方形→正方形． 2．中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和，面积是原四边形面积的一半． 中点四边形 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 2 素养积累 例 1 1.(2023·常德) 如图1，在正方形ABCD中，对 角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的 一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°， 则∠AED的度数为(　　) A．80° B．90° C．105° D．115° 正方形的性质 核心知识 1 C 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解析] 先根据正方形的性质及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，进而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后证△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，从而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2．(2023·重庆A) 如图，在正方形ABCD中，点E， F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝ 45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(　　) A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α [解析] 根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌ △FAE(SAS)，根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB求解即可． A 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3．(2023·杭州) 在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F. (1)若ED＝，求DF的长； [解答]解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1. ∴△DEF∽△CBF.∴＝. ∴＝.∴DF＝. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)求证：AE·CF＝1； [解答]证明：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F. 又∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴△ABE∽△CFB. ∴＝.∴AE·CF＝AB·BC＝1. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长． [解答]解：设EG＝ED＝x，则AE＝AD－AE＝1－x，BE＝BG＋GE＝BC＋GE＝1＋x. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2.∴x＝. ∴ED＝. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 1.在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是 (－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是_________． (2，5) 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2．(2023·金华)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在 AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交 于点Q，若HF＝FG，则的值是(　　) A． B． C． D． B 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3．(2023·绍兴) 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH； 证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°.∴AD∥GE. ∴∠DAG＝∠EGH. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由． 解：AH⊥EF.理由：连接GC交EF于点O.∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形．∴OE＝OC. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 ∴∠OEC＝∠OCE.∴∠DAG＝∠OEC. 由(1)，得∠DAG＝∠EGH. ∴∠EGH＝∠OEC.∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋ ∠GEH＝∠GEC＝90°. ∴∠GHE＝90°.∴AH⊥EF. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 正方形是中心对称与轴对称图形，含四大与四小的八个等腰直角三角形，是正方形性质的核心，故中考中以正方形为背景考查几何综合运用的几何题非常普遍． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 2 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两 组对边分别相等；b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等；d.一个角是 直角．顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.则正确的 是(　　) A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 正方形的判定 核心知识 2 C 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AC的中点，连接DO并延长到E，使OE＝OD，连接AE，CE. (1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由； [解答] 解：四边形ADCE是矩形． 理由：∵O是AC的中点，∴AO＝CO. 又∵OE＝OD， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴四边形ADCE是矩形． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？请说明理由． [解答] 解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是正方形． 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，AD平分∠BAC， ∴AD＝CD＝BC. 由(1)知，四边形ADCE是矩形． ∴四边形ADCE是正方形． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 正方形的判定方法较多，可从平行四边形增加两个条件，或从矩形，菱形增加一个条件都可得到，各种四边形的定义与相互间的关系应灵活掌握，深度理解． 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 3 (2023·广东) 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三 等分，画出九个相同的小正方形，并剪 去四个角上的小正方形； 正方形中的操作性问题 核心知识 3 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1 的大小关系； [解答] 解：∠ABC＝∠A1B1C1. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)证明(1)中你发现的结论． [解答]证明：∵A1B1为正方形对角线， ∴∠A1B1C1＝45°. 设每个方格的边长为1，则AB＝ ＝，AC＝BC＝＝. ∵AC2＋BC2＝AB2，∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC＝45°.∴∠ABC＝∠A1B1C1. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不 重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　) A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积 C．△BEF的面积 D．△AEH的面积 C 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 正方形与正方体的关系从平面走向空间，正方形与代数转化沟通了数与形的关系，特别是弦图在勾股定理与公式中的作用同学们更要细品，此类问题也对核心素养中的空间观念、几何直观与数学抽象的培育密切相关. 返回首页 第26讲　正方形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养提升 例 4 (2016·达州) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF. (1)观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：___________； ②BC，CD，CF之间的数量关系为：______________；(将结论直接写在横线上) BC⊥CF BC＝CF＋CD 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 (2)数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是 否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你 写出正确结论再给予证明； [解答]　解：结论①成立． 结论②不成立，应为CD＝CF＋BC. 证明：∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°. ∴∠BAD＝∠CAF. 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 在△DAB和△FAC中， ∴△DAB≌△FAC(SAS)． ∴∠ABD＝∠ACF，BD＝CF. ∴∠ACB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BCF， ∴∠BCF＝∠BAC＝90°，即BC⊥CF. ∵CD＝BD＋BC， ∴CD＝CF＋BC. 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 (3)拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长． [解答]　解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC， ∴BC＝AB＝4，BH＝CH. ∴CD＝BC＝1，AH＝CH＝BC＝2. ∴DH＝3，BD＝5. 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 由(2)同理可得BC⊥CF，CF＝BD＝5. ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°. ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形CMEN是矩形． ∴EN＝CM，EM＝CN. ∵∠AHD＝∠ADE＝∠DME＝90°， ∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°. ∴∠ADH＝∠DEM. 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 在△ADH和△DEM中， ∴△ADH≌△DEM(AAS)． ∴DH＝EM＝3，AH＝DM＝2. ∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝CD＋DM＝3. ∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°. ∴△BCG是等腰直角三角形． ∴GC＝BC＝4.∴GN＝4－3＝1. ∴GE＝＝. 返回首页 第26讲　正方形 首页 总目录 4 素养发展 1．(2023·创编) 已知▱ABCD的对角线相交于点O，要使▱ABCD成为正 方形，在下列给出的条件中，应添加的条件是(　　) A．∠BAC＝90°，AC＝BD B．AB＝AD，AC⊥BD C．AB＝BC，AC＝BD D．OA＝OC，OB＝OD C 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 2．(2022·达州) 如图，在边长为2的正方形ABCD中， 点E，F分别为AD，CD边上的动点(不与端点重合)，连 接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q.点E，F在运动 过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD. 下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA＋CQ； ④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接 DH，则DH的最小值为2－2，其中所有正确结论的序号是_________. ①②④⑤ 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 3．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD. (1)求证：△ABE≌△FMN； 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝90°. 又∵MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形． ∴∠MFN＝∠A＝90°，AD＝MF＝AB. 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 ∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O， ∴∠FMN＋∠BMO＝∠BMO＋∠ABE＝90°. ∴∠FMN＝∠ABE. 在△ABE和△FMN中， ∴△ABE≌△FMN(ASA)． 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 (2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长． 解：连接ME. ∵MN垂直平分BE，∴BM＝EM. 设BM＝EM＝x，则AM＝8－x. 在△AME中，x2＝(8－x)2＋62. ∴x＝.∴BM＝. 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 ∵∠MOB＝∠A＝90°，∠MBO＝∠EBA， ∴△BOM∽△BAE.∴OM∶AE＝BM∶BE. ∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10. ∴OM∶6＝∶10.∴OM＝. ∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10. ∴ON＝MN－MO＝. 返回首页 第26讲　正方形 首页 1 2 3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P62～63第26讲 (4)面积：S＝a2＝AC2　 (1)任意四边形平行四边形 (2)对角线相等的四边形菱形 (3)对角线互相垂直的四边形矩形 (4)对角线互相垂直且相等的四边形正方形 $$