第8单元数与形应用题2大考点汇总与跟踪训练-2024-2025学年数学六年级上册人教版

第8单元数与形应用题2大考点汇总与跟踪训练 目录 第一部分：考点汇总。 第二部分：跟踪训练。 第一部分 考点汇总 考点一：数字规律。 考点二：图形规律。 第二部分 跟踪训练 考点一：数字规律。 1．“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。 （1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？ （2）填出第5行两个括号中的数。 2．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 3．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（    ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 4．通过计算并观察①②③小题，猜想出④的结果，写出你的发现，并用图形进行说明。 ① ② ③… 则：④ 发现：____________________________________________________ 说明： 5．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。 （1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。 （2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。 序号 1 2 3 4 …… 图形 …… 算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 …… ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 12＋12＝1×2 12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5 12＋12＋22＋32＋52＝（    ）×（    ） 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（    ）×（    ） ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（    ）。 6．认真观察，发现规律。 序号 算式 第一行 1＝12 第二行 1＋3＝4＝22 第三行 1＋3＋5＝9＝32 第四行 1＋3＋5＋7＝42 第五行 1＋3＋5＋7＋□＝（    ） 第六行 □＋□＋□＋□＋□＋□＝（    ） …… …… （1）按规律把上面表格填完整。 （2）按规律写出第10行的算式并说出理由。 考点二：图形规律。 7．观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 8．摆一摆，找规律。 （1）依次摆下去，第6个图形是什么图形？ （2）摆第7个图形需要用多少根小棒？ （3）摆第n个图形需要用多少根小棒？ 9．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 10．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 11．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？ 照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？ 12．数一数。    （1）图中各有多少个▲和△？ 序号 ① ② ③ ④ ▲ （    ） （    ） （    ） （    ） △ （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？ 13．将小正方体按下图方式摆放在地上。 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？ 14．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①               ②                 ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 参考答案： 1．（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的； （2）27；52 【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数； （2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。 【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的； （2）20＋7＝27；37＋15＝52 【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。 2．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．（1）小刚；小红；小丽； （2）120 【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确； （2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。 【详解】（1） 小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 ＝（3＋21）×10÷2 ＝120 【点睛】本题考查了奇数列的连加，有一定计算能力是解题的关键。 4．① ② ③ ④ 发现及说明见详解 【详解】① ② ③… 则：④ 发现：计算结果以最后一个分数的分母作分母，分子等于分母减1。 如图：依次选取余下的一半，就会出现这种情况： 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 5．见详解 【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积； （2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52； ②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空； ③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。 【详解】（1）可表示为： ； （2）① 序号 1 2 3 4 …… 图形 …… 算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 …… ②将算式补充完整： 12＋12＝1×2 12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5 12＋12＋22＋32＋52＝5×8 12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21 ③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。 【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。 6．见详解 【分析】根据前面4个算式可知，从1开始，几个连续奇数相加的和就等于几的平方，据此即可解答。 【详解】（1） 序号 算式 第一行 1＝12 第二行 1＋3＝4＝22 第三行 1＋3＋5＝9＝32 第四行 1＋3＋5＋7＝42 第五行 1＋3＋5＋7＋9＝52 第六行 1＋3＋5＋7＋9＋11＝62 …… …… （2）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝102，因为从1开始，几个连续奇数相加的和就等于几的平方。 【点睛】本题主要考查学生的分析推理能力。 7．（1）49个；225个（2）（n2）个 【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【详解】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 8．（1）平行四边形；（2）15；（3）2n＋1 【分析】第1个图形是1个三角形，用3根小棒摆成的； 第2个图形是一个由2个三角形组成的平行四边形，用5根小棒摆成的； 第3个图形是一个由3个三角形组成的梯形，用7根小棒摆成的； 第4个图形是一个由4个三角形组成的平行四边形，用9根小棒摆成的； 依次摆下去： 第5个图形是一个由5个三角形组成的梯形，用11根小棒摆成的； 第6图形是一个由6个三角形组成的平行四边形，用13根小棒摆成的； 第7个图形是一个由7个三角形组成的梯形，用15根小棒摆成的； … 通过观察可以发现，从第2个图开始，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；小棒的根数则是每次比前一次增加2根。 【详解】答：（1）第6个图形是平行四边形。   （2）1个三角形所需小棒的根数是3； 2个三角形所需小棒的根数是3＋2； 3个三角形所需小棒的根数是3＋2×2： … n个三角形所需小棒的根数是3＋2×（n－1）＝2n＋1， 当n＝7时，2n＋1＝2×7＋1＝15（根） 摆第7个图形需要 15根小棒。   （3）由（2）可知，摆成第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。 9．（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 10．（1）相等；过程见详解 （2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解 【分析】 （1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。 （2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。 【详解】 （1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 （2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。 第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个） 第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个） 第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个） 第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个） 第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个） 第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个） 第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个） …… 第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 11．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解 【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6； 第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6； 第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6； 第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6； …… 规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。 【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。 当n＝6时，有6个绿色小正方形； 蓝色小正方形有： 2n＋6 ＝2×6＋6 ＝12＋6 ＝18（个） 当n＝10时，有10个绿色小正方形； 蓝色小正方形有： 2n＋6 ＝2×10＋6 ＝20＋6 ＝26（个） 答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。 道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 12．（1）1；3；6；10 3；6；10；15 （2）▲有28个；△有36个 【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。 第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 【详解】（1）▲的个数： 第1个图：1个 第2个图：1＋2＝3（个） 第3个图：1＋2＋3＝6（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个） △的个数： 第1个图：1＋2＝3（个） 第2个图：1＋2＋3＝6（个） 第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 如下表： 序号 ① ② ③ ④ ▲ 1 3 6 10 △ 3 6 10 15 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 13．表格见详解；201个；32个 【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。 【详解】当n＝4时 4n＋1＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 当n＝5时 4n＋1＝4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 当n＝6时 4n＋1＝4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 当n＝50时 4n＋1＝4×50＋1 ＝200＋1 ＝201（个） 解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。 4n＋1＝129 4n＋1－1＝129－1 4n＝128 4n÷4＝128÷4 n＝32 则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。 如图所示： 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 5 9 13 17 21 25 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 14．（1）见详解；（2）78.5平方厘米 【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。 （2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。 【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2 图②的最外圈正方形个数：12＝4×3 图③的最外圈正方形个数：16＝4×4 …… 图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个 因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等， 所以图n的阴影部分的边长为n厘米， 当n＝4时， 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。 如下表： 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 … （2）图⑩的阴影部分边长为10厘米， 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 学科网（北京）股份有限公司 $$