特训10 期末解答压轴题（十三大题型，最新江苏期末精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训10 期末解答压轴题（十三大题型，最新江苏期末精选） 目录： 题型1：构造平行 题型2：构造全等三角形寻求中间数量关系 题型3：动点问题 题型4：旋转问题 题型5：情景探究题 题型6：数学活动题 题型7：一次函数—根据已知条件求参数 题型8：一次函数—存在性问题 题型9：一次函数—取值范围问题 题型10：一次函数—定值问题 题型11：一次函数—新定义题 题型12：一次函数—动点问题 题型13：一次函数—旋转问题 题型1：构造平行 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知是等边三角形，D是射线上一个动点，延长至E，使．连接，． (1)如图，若D是的中点，求证； (2)若D是边上一点（不与中点重合），则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)若D是边延长线上一点，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3)的长为7 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，再证，得，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； （2）过点D作交于F，则，，证为等边三角形，得，再证，即可得出结论； （3）证，则，再由勾股定理得，同（2）得：，进而证明，然后由勾股定理即可求出的长． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 如图1，过点D作交于F， 则，， 是等边三角形 ，， ， 为等边三角形， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图2，是等边三角形 ，， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为7． 题型2：构造全等三角形寻求中间数量关系 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质． （1）先证明，在和中，，，即可解答； （2）①由（1）证明是等腰直角三角形，即可解答； ②过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，证得，进而证得是等腰直角三角形，，即可解答． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设、交于点Q， 在和中，，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在和中，，且，作射线，交于点． (1)当点在线段上． ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)和如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若，点A到的距离为2，求的长度； (3)如图3，点在边上，连接分别交于点，取中点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接．若，则__________． 【答案】(1)①见解析；②与垂直，理由见解析； (2)（1）中①和②结论仍然成立，理由见解析；的长度为或； (3)17 【分析】（1）根据图形及等式的性质得出，再由全等三角形的判定即可证明；②设与交于点O，由①得，再由对顶角相等及三角形内角和定理即可得出结果； （2）（1）中①和②结论仍然成立，设与交于点O，与交于点F，证明方法同（1）一致；然后对两个图分别作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可； （3）连接，根据等腰直角三角形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质及勾股定理、等量代换求解即可得出结果． 【解析】（1）①证明∵， ∴， ∴， ∴；②如图1，    设与交于点O， 由①得：， ∵， ∴， ∴与垂直； （2）如图所示：    （1）中①和②结论仍然成立，理由如下： 设与交于点O，与交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴与垂直； 如图3，    当与的延长线相交于点P时，连接，作交于点F， ∴， ∴， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，    当线段与线段相交于点P时，连接，作交于点F， 同理得， ∴， ∴； 综上可得：的长度为或； （3）如图5所示：    连接， ∵，O是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中点的性质及勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线图形，综合运用这些知识点是解题关键． 题型3：动点问题 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 【答案】(1)6，40或20 (2)①，理由见解析；②存在，点为的角平分线与的交点，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，，可求得，即可求得； ①当点F位于线段右侧，可求得，即可求得；②当点F位于线段左侧，利用平角可直接求得； （2）①连接，根据题意可求得为等边三角形，则有，，可证得，则有，即可判断； ②首先得到，则点O是的中点，有，假设平分，则，求得，可得到，即证得是等腰直角三角形． 【解析】（1）解：∵为等边三角形，点是边的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 则； ①当点F位于线段右侧， ∵， ∴， 则； ②当点F位于线段左侧， ∵， ∴； 故答案为：6；40或20； （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②存在，当平分，即点为的角平分线与的交点， 由①得， ∵， ∴， ∴点O是的中点， ∴垂直平分， ∴， 假设平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线性质以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定． 5．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，和都是等边三角形，点M，N分别是边上的定点，且，点D在射线上移动，如图1，当点D与点M重合时，点E与点N也重合，此时易得． (1)如图2，当点D不与点M重合时，和仍相等吗？若相等，请写出证明过程，若不相等，请说明理由； (2)如图3，延长交于点P，随着点D的移动，和的夹角是否发生改变，若不变，请求出其度数，若改变，请说明理由； (3)如图4，中，，，点D为中点，点E为边上一动点，以为边，向右作等边，连接．若，则的最小值为___________，此时___________° 【答案】(1)，见解析 (2)没有改变，见解析 (3)； 【分析】（1）结论：，证明，可得结论； （2）没有改变，如图3中，BP与AC交点记为点，利用全等三角形的性质可解决问题； （3）如图4中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点J，交于点T，连接，由推出 推出点F在直线上运动，当时，的值最小 【解析】（1）   ∵和是等边三角形 ∴，，， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）没有改变， 理由：如图3，BP与AC交点记为点 ∵   ∴ 又∵   ∴ 即 （3）如图4中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点J，交于点T，连接， 是等边三角形， ∴同法可证 ∴点F在直线上运动，当时，的值最小 是的中点， 的最小值为，此时， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题 题型4：旋转问题 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图1，在四边形中，是等边三角形，点是直线上（异于点）的动点，点绕着点逆时针旋转至点处，连接． (1)______． (2)当点在线段上时，如图2，连接． ①求证：； ②在线段上一定存在一个定点，满足，请说明理由． (3)当点在直线上时，②中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)不一定成立，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形与等边三角形的性质即可求解； （2）①由旋转的性质得到，结合，证明，即可得出结论；②延长交于点H，由三角形全等的性质及等腰三角形、等边三角形的性质得到，利用勾股定理即可证明； （3）分当点E在射线上时，点E在射线上，点F在内部时，点E在射线上，点F在外部时，三种情况，依照（2）中②的证明过程证明即可． 【解析】（1）解：是等边三角形， ，， ， 故答案为：105； （2）①证明：由旋转的性质得到， ， ， 在与中， ， ， ； ②解：如图1，延长交于点H， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 在中，， ； （3）解：不一定成立，理由如下： 如图2，当点E在射线上时， 同理得：； 如图3，点E在射线上，点F在内部时， 同理得：； 如图4，点E在射线上，点F在外部时， 同理得：． 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 题型5：情景探究题 7．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与；（2）见解析；（3）或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图，时，， ∴， ∴    当是等腰三角形， 如图，时，，    ， ∴， ∴ 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图，时，    ， 当是等腰三角形， 如图，时， ，    设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ABC的度数为或或或． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键. （1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解； 【解析】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 9．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】 三角形纸片，，，点是底边上一点． 【换作探究】 (1)如图，若，，连接，求的长度； (2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长； (3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）作于，求得，从而得出，，进而得出，进一步得出结果； （2）当时，连接，作于，依次得出，，，，，，从而，进一步得出结果；当时，设交于点交于，可推出，，从而，进一步得出结果；当时，可推出，从而，进一步得出结果； （3）可推出和及是直角三角形，且，，，进一步得出结果． 【解析】（1）解：如图1， 作于， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：如图2， 当时，连接，作于， 由翻折得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：，， ； 如图3， 当时，设交于点交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图4， 当时， ， ， ， ， ， 综上所述：或或； （3）解：如图5， ∵，， ，， ， ， ， 将沿所在直线翻折得到， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答； （2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得； (3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答． 【解析】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：延长至H，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴.， ∴． ∴． （3）解：当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由如下： 当点P在上时，由（2）可知： ， ∴， ∴； 如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． 综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，． 题型6：数学活动题 11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【阅读教材】 苏科版八年级上册第《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢? 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢?小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】 在中，，，，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若，则________； （2）如图4（2），若平分，则________． 【答案】[类比探究]见解析；[方法运用]（1）；（2），理由见解析；[拓展提升]（1）； 【分析】[类比探究]由翻折的性质可知，，由，可得； [方法运用]（1）如图（1），将沿翻折，则在上，，由，可得 ，则，进而可得；（2）如图（2），在上取，使，连接，证明，同理（1）可得，则； [拓展提升]（1）如图（3），由翻折的性质可知，，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理求，进而可求；（2）解：如图（4），延长交于，则，，设，则，由勾股定理得，，即；，即；，求，进而可求． 【解析】[类比探究]证明：由翻折的性质可知，， ∵， ∴，即； [方法运用]（1）解：如图（1），将沿翻折， ∵平分， ∴在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图（2），在上取，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； [拓展提升]（1）解：如图（3），由翻折的性质可知，，    由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图（4），延长交于，则， ∵平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 12．（22-23八年级上·江苏南京·期末）【问题提出】 数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究． 【问题解决】 （1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证． （Ⅰ）根据小红的思考，请将小红的解答过程补充完整； 小红的思考 设，的周长的周长，． 在中，根据勾股定理，得______，解得； 同理可得．由此可得．又， 根据______，可以知道． （Ⅱ）根据小明的思考，请继续完成小明的证明； 小明的思考 如图②，在和中，分别延长，至G，H，使得，，连接． 【问题拓展】 （2）如图③，已知线段m，n．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为n．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）下列命题是真命题的有______．（填写所有正确的选项） A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等 B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等 C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等 D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等 【答案】（1）（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（2）见解析；（3）A，C 【分析】（1）（I）根据勾股定理和直角三角形全等的判定可得结论； （II）先证明，再根据可证明两三角形全等； （2）在线段上截取，过点B作，使得，连接，作线段的垂直平分线交于点C，连接，即为所求； （3）根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【解析】解：（1）（I）设，的周长的周长，． ∴， 在中，根据勾股定理，得： ， ∴， 解得； 同理可得：． 由此可得．又， 根据，可以知道． 故答案为：，； （II）∵，且和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）如图，即为所求； （3）A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确； B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等，错误； C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确； D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等，错误． 故答案为：A，C． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．（22-23八年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，在中，，．求证． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴______； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：____________． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 【答案】（1）①；等边；②在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）①方案三最短，方案一最长；②方案三最短，方案一最长，理由见解析 【分析】（1）取中点D，连接．由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，可证为等边三角形，即可证明； （2）①方案二中，利用腰三角形三线合一的性质、勾股定理可求得；方案三中，根据垂直平分线的性质可证，利用含30度角的直角三角形的性质可证，进而可求得，分别计算出三种连接方案中铺设的光缆长度，比较大小即可；②过O作，，垂足为H，I，利用含30度角的直角三角形的性质可证，再根据可得． 【解析】解：（1）补全证明过程如下： 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴； ∴． 又， ∴． ∴为等边三角形． ∴． 故答案为：；等边；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （2）①方案1：； 方案2：∵是等边三角形， ∴，． ∵G为的中点， ∴，，． ∴， ∴， ∴． 方案3：如图3，延长交于H， ∵O为三边的垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴方案三最短，方案一最长． ②在中，，． ∴． 易证． 过O作，，垂足为H，I， ∴． ∵，， ∴E，O在的垂直平分线上． ∴．即E，O，I在一条直线上． 同理，D，O，H在一条直线上， ∴， 易证，， ∴，即． ∴． ∴方案三最短，方案一最长． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质定理等，综合性较强，难度较大，解题的关键是正确作辅助线，综合运用上述知识点，逐步进行推导论证． 题型7：一次函数—根据已知条件求参数 14．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m． （1）点C的坐标为　 　； （2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围； （3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值． 【答案】（1）（12，9）；（2）E(12，2m+12)，﹣6≤m≤﹣；（3）m=﹣4 【分析】（1）先由直线y＝x﹣12求得A、B的坐标，再将A的横坐标即为C的横坐标代入直线y＝x即可求得C的坐标； （2）用m表示点D坐标为（m+12，m），根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△OGD≌△DPE，则有EP=DG，再根据点E在线段AC上可求得点E坐标和m的取值范围； （3）根据点B、E坐标求出直线BE的表达式，根据题意可求得点F的坐标为（6，m），根据EF=DF﹣2m和两点间距离公式即可求得m的值． 【解析】解：（1）∵直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴令x=0，则y=0﹣12=﹣12，∴B（0，﹣12）， 令y=0，由0=x﹣12得：x=12，∴A(12，0)， ∵过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C， ∴将x=12代入y＝x中，得：y=9， ∴点C坐标为（12，9）, 故答案为：（12，9）； （2）∵D点是线段AB上一点且D点的纵坐标为m， ∴D（m+12，m）， 延长EA交直线GD于P，如图1， 由题意知， ∠EPD=∠DGO=90°，P(12，m)， ∵△ODE是等腰直角三角形且∠ODE=90°， ∴OD=DE， ∠ODG=∠DEP, ∴△OGD≌△DPE（AAS）， ∴EP=GD=m+12， ∴EA=EP﹣AP=2m+12， ∵E点在线段AC上， ∴E(12，2m+12)， 由0≤2m+12≤9得：﹣6≤m≤﹣， 即点E坐标为（12，2m+12），m的取值范围为﹣6≤m≤﹣； （3）设直线BE的表达式为y=kx+b， 将B(0，﹣12)、E（12，2m+12）代入， 得：，解得：， ∴设直线BE的表达式为y= x﹣12， 由题意，将y=m代入y= x﹣12中，解得：x=6， ∴F(6，m)， ∵EF=DF﹣2m， ∴=（m+12﹣6）﹣2m， 解得：m=﹣4． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及求直线与坐标轴的交点、求两直线的交点坐标、坐标与图形、待定系数法求直线表达式、两点间距离公式、全等三角形的判定与性质、解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，解答的关键是仔细审题，寻找知识点的关联点，利用数形结合等思想方法进行探究、推理和计算． 题型8：一次函数—存在性问题 15．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式； （2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE； （3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题． 【解析】（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得， ，解得 ∴直线l2：y＝-2x+2； （2）当-2x+2= x﹣4时，x=2 ∴E(2，-2) ∴ ∴ ∴CD＝CE； （3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE， ∴点P在l1上有两个位置， ①当点P在点B上方时，如图， ∵OP∥DE， ∴直线OP的函数解析式为y=-2x， ∴-2x=x-4 ∴ ∴ ∴ ②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'， ∴ ∴直线OQ的解析式为：y=2x ∴2x= x-4 ∴x=-4 ∴y=-8 ∴P'（-4，-8） 综上所述：或（-4，-8）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键． 16．（21-22八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10 (1)若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式； (2)已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； (3)直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（3，6）或（，） (3)存在，(12,12)或(-3,12) 【分析】（1）由对称性可得AB=8，OC=4，如图，由S△ABD=AD·OB=AB·DT求出D（3，0），用待定系数法即可求BD的解析式； （2）分两种情况：当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB，求出直线BA的解析式为y=x+6，设E（t，t+6），再由DE=3=，即可求E（，）；②当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB此时四边形BOCE是矩形，则E（3，6）； （3）当F点与D点关于B点对称时，BF=BD，设F（m，-2m+6），再由BD=BF=3=，即可求F点坐标；同理，当C点在y轴正半轴上时，求F点坐标． 【解析】（1）解：∵直线AB沿直线BD翻折点A对应点C落在y轴上， ∴直线BD为∠ABO的平分线所在直线， 如图所示，过点D作线段，DT⊥AB于点T．设点D（d，0），则 ∴OD=DT=d， 由对称性可知，AB=BC=10， ∵点B坐标为（0，6）， ∴OB=6 ∴在Rt△AOB中，OA===8 ∴AD=OA-OD=8-d， ∵S△ABD=AD·OB=AB·DT ∴(8-d)6= 解得：d=3 ∴D（3，0）， 设直线BD的解析式为y=kx+6（k≠0）， ∴， ∴， ∴y=-2x+6； （2）①如图2， 当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB， ∴E点在直线AB上， ∵D（3，0），A（8，0）， ∴AD=5， ∵OD=3， ∴DE=3， 设直线BA的解析式为y=k'x+b'， ∴， ∴， ∴y=x+6， 设E（t，t+6）， ∴3=， ∴t=， ∴E（，）； ②如图3， 当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB 此时四边形BOCE是矩形， ∴E（3，6）； 综上所述：E点坐标为（，）或（3，6）； （3）存在，理由如下： 如图4， 当F点与D点关于B点对称时，BF=BD， ∴S△ABD=S△ABF， ∵F点在直线BD上， 设F（m，-2m+6）， ∵BD===3， ∴BF=3=， ∴m=±3， ∴F（3，0）（舍）或F（-3，12）； 故点F坐标为（-3，12）； 如图5，当C点在y轴正半轴时 ∵点B(0，6)，BC=10， ∴C(0，16) ∴OC=16， ∴OB=6， 由对称性可知，AB= BC= 10， ∴OA= 8， ∵BD⊥AC， ∴∠OAC +∠OCA=90°，∠ADN+∠NAD=90°， ∵∠CAO=∠DAN， ∴∠ADN=∠OCA， ∴tan∠OCA=， ∴， ∴OD=12， ∴D(－12，0) 设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∴ 解得： ∴， ∵F点在直线BD上， 设F(m，)， ∵BD=， ∴BF=， ∴m=12， F(12，0)(舍)或F(12，12) 综上所述，F点的坐标为(12，12)或(-3，12)． 【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（）的条件下，求直线的表达式； (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】（）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （）由待定系数法可求解； （）由 “”可证 ，可得，，即可求解； 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 【解析】（1）∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 题型9：一次函数—取值范围问题 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与直线交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点B、C．点P是射线上一动点，轴交直线于点Q，以为斜边向下作等腰直角，设点P的横坐标为m，与重叠部分的面积为S． (1)填空：请用m表示以下各点的坐标：P______；Q______； (2)当点R落在x轴上时，求m的值； (3)当点P在线段上运动时，求S与m之间的函数关系式； (4)当S最大时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，直线的交点坐标的求法，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设点P的横坐标为m，即可求解； （2）当点R落在x轴上时，点的坐标为，根据勾股定理即可求解； （3）分两种情形，时，时，分别求解即可； （4）根据题意和图象即可得出答案． 【解析】（1）解：∵在上， ∴ 轴交直线于点， ∴点的纵坐标为， 解得， ∴点的坐标为 （2）解：∵等腰， ∴的横坐标为， 当点R落在x轴上时，点的坐标为， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴ 解得(舍去) （3）解：当时，在轴之下， 的横坐标为 的纵坐标为：， 即： 此时 与重叠部分的面积为 当时，与重叠部分的面积为： （4）解：由（3）可知：当时，有最大值， ∴当最大时，． 19．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．    (1)求点的“倾斜系数”的值； (2)已知点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可； （2）由或，又因，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解； （3）当点P与点D重合时，且时，a有最小临界值，此时，，则，求得；当点P与B点重合，且时，a有最大临界值，此时，，则，求得：；即可求得时，a的取值范围． 【解析】（1）解：由题意，得，， ∵， ∴点的“倾斜系数”； （2）解：∵的“倾斜系数”， 当时，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上，； （3）解：①由题意知，当点P与点D重合时，且时，a有最小临界值，如图，连接，延长交x轴于E，    此时，， 则， 解得：； ∵则； ②当点P与B点重合，且时，a有最大临界值，如图，连接，延长交x轴于F， 此时，， 则， 解得：， ∵，则； 综上①②两种情况，若P的“倾斜系数”，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值． 题型10：一次函数—定值问题 20．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，线段轴．动点从点出发，沿方向运动；同时，动点从原点出发，沿轴向右运动，动点，的运动速度均为1个单位长度/秒．当点到达终点时，点也随之停止运动．连接，过的中点作垂直于的线段，点在右侧且，如图①．设运动时间为秒． (1)当时，点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)如图②，连接，，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的面积为定值10 【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得，，进而可求解M、N的坐标； （2）证明是等腰直角三角形，，得到，，分两种情况列方程求解即可； （3） 过N作轴于D，交于C，连接，，证得到，，进而求得，，然后由求得，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可得出结论． 【解析】（1）解：由题意，当时，，， ∵点的坐标为，轴， ∴，， ∴， ∴，，则， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图③，连接， 由题意，t秒时，，则， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，即轴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上，当点落在轴上时，； （3）解：过N作轴于D，交于C，连接，， 则，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，则 ， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，，∴， ∴，又， ∴， ∴， 故的面积为定值10. 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 题型11：一次函数—新定义题 21．（22-23八年级上·江苏南京·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时， ． 当时， ． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称 (3)当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解 【分析】（1）去绝对值符号，化简即可； （2）由（1）的结论可画出函数图象，结合函数图象可得出函数的性质； （3）根据直线与交点的交点的情况判断出的范围 【解析】（1）当时，． 当时， 故答案为：； （2）根据（1）的结论画出函数图象，如图， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称 （3）解：∵ 解得： ∴两直线的交点为， ∵，令，解得， 则直线过定点， 由（2）可知，当经过时，方程只有一解 ∴， 解得：， 当与平行时，，此时与无交点， 当时，与有1个交点， 当与平行时，，此时与有1个交点， 当时， 与有1个交点， 当或时，方程有一个解； ∴当时，与，各有1个交点，即方程有两个解； 综上所述，当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 【答案】（1）1；（2）的坐标为或或；（3）且 【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：； （2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作于，可得，；当在下方时，； （3）求出直线过定点，当时，，，当时，，，直线过时，，把代入得，根据线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ，可得直线与平行四边形无公共点，画出图形可得答案． 【解析】解：（1）与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， 根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1； （2）当在上方时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， ； 当在下方时，如图：   ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图：    当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故答案为：且． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 题型12：一次函数—动点问题 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知，平分．    (1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系： ①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到； ②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）； (2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上； (3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为． ①求点P的坐标； ②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为 ． 【答案】(1)①角平分线上的点到角两边的距离相等；② (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等，即可得到； （2）如图2，过点P作、，垂足分别为M、N，可证≌△，可证得，根据角平分线的性质可证为的角平分线，从而证得结论； （3）根据角平分线的性质，可得点的横纵坐标相等，据此求出的值，可求出点的坐标，设、的中点分别为M、N，根据P点坐标，可以求出、的长度，根据中点和勾股定理可以求出的长度，当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合，可得到当点E从点H运动到点O时，的中点Q点从点M运动到N，即它的运动轨迹为，即可求解． 【解析】（1）解：①角平分线上的点到角两边的距离相等 ②根据角平分线性质可得，， 故答案是： （2）证明：如图2，过点P作、，垂足分别为M、N，    ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴≌， ∴ 又∵平分． ∴P在上； （3）解：①∵是第一象限的角平分线，若点P的坐标为，在P上， ∴， 解得：， ∴； ②依题意，，是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵是第一象限的角平分线，，则是等腰直角三角形， 如图3所示，    设、的中点分别为M、N，则，， ∴， 当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合， ∴当点E从点H运动到点O时，的中点Q点从点M运动到N， 即Q的运动路径长为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识，数量掌握这些基本性质和定理是求解的关键． 题型13：一次函数—旋转问题 24．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，若点B到经过原点的直线l的距离的长为4，求点A到直线l的距离的长； (2)如图3，有一个点，若是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式； (3)如图4，在平面直角坐标系中，Q是直线上一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)3 (2)或或 (3) 【分析】 （1）利用“K型全等”可证明，得出，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）分，讨论 即可； （3）设，利用“K型全等”可证明，可求，利用材料二中的方法求出所在直线对应的函数关系式，则当与直线垂直时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【解析】（1）解：对于， 当时，，则， 当时，，解得，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点A到直线l的距离的长3； （2）解：①当时， 当时，如图，过M作轴于N， 同理可证， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 代入，得， 解得， ∴； 当时，如图，过M作轴于N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， 代入，得， 解得， ∴； ②当时， 当时，如图，过M作轴于N， 同理可证， ∴，， ∵， ∴，， ∴（不符合题意，舍去）， 当时，如图，过M作轴于N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， 代入，得， 解得， ∴； 综上，直线的表达式为或或； （3）解：设， 如图，过Q作轴于M，过作于， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 令，， ∴， ∴点在直线上运动， 当与直线垂直时，最小， 设与x轴交于H、y轴交于K， 当时，， ∴ 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∴设上的高为h， 则， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，旋转的性质，等腰直角三角的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 期末解答压轴题（十三大题型，最新江苏期末精选） 目录： 题型1：构造平行 题型2：构造全等三角形寻求中间数量关系 题型3：动点问题 题型4：旋转问题 题型5：情景探究题 题型6：数学活动题 题型7：一次函数—根据已知条件求参数 题型8：一次函数—存在性问题 题型9：一次函数—取值范围问题 题型10：一次函数—定值问题 题型11：一次函数—新定义题 题型12：一次函数—动点问题 题型13：一次函数—旋转问题 题型1：构造平行 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知是等边三角形，D是射线上一个动点，延长至E，使．连接，． (1)如图，若D是的中点，求证； (2)若D是边上一点（不与中点重合），则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)若D是边延长线上一点，，，请直接写出的长． 题型2：构造全等三角形寻求中间数量关系 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在和中，，且，作射线，交于点． (1)当点在线段上． ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)和如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若，点A到的距离为2，求的长度； (3)如图3，点在边上，连接分别交于点，取中点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接．若，则__________． 题型3：动点问题 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 5．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，和都是等边三角形，点M，N分别是边上的定点，且，点D在射线上移动，如图1，当点D与点M重合时，点E与点N也重合，此时易得． (1)如图2，当点D不与点M重合时，和仍相等吗？若相等，请写出证明过程，若不相等，请说明理由； (2)如图3，延长交于点P，随着点D的移动，和的夹角是否发生改变，若不变，请求出其度数，若改变，请说明理由； (3)如图4，中，，，点D为中点，点E为边上一动点，以为边，向右作等边，连接．若，则的最小值为___________，此时___________° 题型4：旋转问题 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图1，在四边形中，是等边三角形，点是直线上（异于点）的动点，点绕着点逆时针旋转至点处，连接． (1)______． (2)当点在线段上时，如图2，连接． ①求证：； ②在线段上一定存在一个定点，满足，请说明理由． (3)当点在直线上时，②中的结论还成立吗？说明理由． 题型5：情景探究题 7．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 9．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】 三角形纸片，，，点是底边上一点． 【换作探究】 (1)如图，若，，连接，求的长度； (2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长； (3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型6：数学活动题 11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【阅读教材】 苏科版八年级上册第《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢? 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢?小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】 在中，，，，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若，则________； （2）如图4（2），若平分，则________． 12．（22-23八年级上·江苏南京·期末）【问题提出】 数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究． 【问题解决】 （1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证． （Ⅰ）根据小红的思考，请将小红的解答过程补充完整； 小红的思考 设，的周长的周长，． 在中，根据勾股定理，得______，解得； 同理可得．由此可得．又， 根据______，可以知道． （Ⅱ）根据小明的思考，请继续完成小明的证明； 小明的思考 如图②，在和中，分别延长，至G，H，使得，，连接． 【问题拓展】 （2）如图③，已知线段m，n．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为n．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）下列命题是真命题的有______．（填写所有正确的选项） A、斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等 B、斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等 C、一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等 D、斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等 13．（22-23八年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，在中，，．求证． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴______； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：____________． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 题型7：一次函数—根据已知条件求参数 14．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m． （1）点C的坐标为　 　； （2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围； （3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值． 题型8：一次函数—存在性问题 15．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 16．（21-22八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10 (1)若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式； (2)已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； (3)直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（）的条件下，求直线的表达式； (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型9：一次函数—取值范围问题 18．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与直线交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点B、C．点P是射线上一动点，轴交直线于点Q，以为斜边向下作等腰直角，设点P的横坐标为m，与重叠部分的面积为S． (1)填空：请用m表示以下各点的坐标：P______；Q______； (2)当点R落在x轴上时，求m的值； (3)当点P在线段上运动时，求S与m之间的函数关系式； (4)当S最大时，请直接写出m的取值范围． 19．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．    (1)求点的“倾斜系数”的值； (2)已知点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______． 题型10：一次函数—定值问题 20．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，线段轴．动点从点出发，沿方向运动；同时，动点从原点出发，沿轴向右运动，动点，的运动速度均为1个单位长度/秒．当点到达终点时，点也随之停止运动．连接，过的中点作垂直于的线段，点在右侧且，如图①．设运动时间为秒． (1)当时，点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)如图②，连接，，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型11：一次函数—新定义题 21．（22-23八年级上·江苏南京·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时， ． 当时， ． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 题型12：一次函数—动点问题 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知，平分．    (1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系： ①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到； ②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）； (2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上； (3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为． ①求点P的坐标； ②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为 ． 题型13：一次函数—旋转问题 24．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，若点B到经过原点的直线l的距离的长为4，求点A到直线l的距离的长； (2)如图3，有一个点，若是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式； (3)如图4，在平面直角坐标系中，Q是直线上一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$