（篇四）第五单元最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 30 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 30 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数及应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 .......................................................................................................4 【考点二】最小公倍数 .......................................................................................................6 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数 ................................................................ 9 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数 ................................10 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数 ................................12 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数 ............................ 14 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 ...........................................................15 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 .......................................................17 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题 ...........................................................19 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题 .............................................................. 21 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题 ...........................................................23 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题 .......................................................26 3 / 30 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题 ...........................................................27 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型 .............................................................. 29 4 / 30 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数的定义： 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大 公因数 2.求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和 48 11和 13 21，42和 70 【答案】12；1；7 【分析】根据求两个（或两个以上）数最大公因数也就是这两个数的公有质因数 的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数互 为质数，那么它们的最大公因数是 1；据此解答。 【详解】36和 48 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 则 36和 48的最大公因数是：2×2×3＝12； 11和 13 11和 13互为质数，所以 11和 13的最大公因数是：1； 21，42和 70 21＝3×7 42＝2×3×7 70＝2×5×7 则 21，42和 70的最大公因数是：7。 5 / 30 【对应练习 1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和 36 24和 72 14、26和 32 【答案】1；24；2 【分析】两数互质，最大公因数是 1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数； 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】5和 36是互质数，5和 36的最大公因数是 1； 72÷24＝3，24和 72的最大公因数是 24； 14＝2×7 26＝2×13 32＝2×2×2×2×2 14、26和 32的最大公因数是 2。 【对应练习 2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和 25 7和 15 22和 33 35和 28 【答案】5；1；11；7 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 两数互质，最大公因数是 1，据此求出各组数的最大公因数。 【详解】15＝3×5、25＝5×5 15和 25的最大公因数是 5； 7和 15是互质数，7和 15的最大公因数是 1； 22＝2×11、33＝3×11 22和 33的最大公因数是 11； 35＝5×7、28＝2×2×7 35和 28的最大公因数是 7。 【对应练习 3】 写出每组数的最大公因数。 12和 18 72和 48 78和 117 23和 32 【答案】6；24；39；1 6 / 30 【分析】当两个数为互质数时，这两个数的最大公因数是 1； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数； 其它情况可以用分解质因数找两个数的最大公因数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分 解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 【详解】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和 18的最大公因数是 2×3＝6； （2）72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和 48的最大公因数是 2×2×2×3＝24； （3）78＝2×3×13 117＝3×3×13 78和 117的最大公因数是 3×13＝39； （4）23和 32是互质数，所以 23和 32的最大公因数是 1。 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数的定义： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和 72 36和 60 76和 80 【答案】216；180；1520 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。 7 / 30 可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几 个数，直到得出的商只有公因数 1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最 小公倍数。 【详解】 3×3×3×8＝216 27和 72的最小公倍数是 216； 2×2×3×3×5＝180 36和 60的最小公倍数是 180； 2×2×19×20＝1520 76和 80的最小公倍数是 1520。 【对应练习 1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和 60 8和 14 11和 34 【答案】60；56；374 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。 两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】60÷10＝6，10和 60的最小公倍数是 60； 8＝2×2×2、14＝2×7 8 / 30 2×2×2×7＝56 8和 14的最小公倍数是 56； 11×34＝374 11和 34的最小公倍数是 374。 【对应练习 2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和 24 15和 25 11和 19 【答案】最大公因数 6；最小公倍数 72；最大公因数 5；最小公倍数 75；最大公 因数 1；最小公倍数 209 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到 得出的商只有公因数 1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数 的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公 倍数，据此解答。 【详解】（1） 18和 24的最大公因数：2×3＝6 18和 24的最小公倍数：2×3×3×4＝72 （2） 15和 25的最大公因数：5 15和 25的最小公倍数：5×3×5＝75 （3）11和 19的最大公因数：1 11和 19的最小公倍数：11×19＝209 【对应练习 3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和 12 4和 13 7和 49 24和 15 【答案】12；52；49；120 9 / 30 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；若两个数互为倍数关 系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是 它们的乘积。据此计算即可。 【详解】因为 12÷3＝4，所以 3和 12互为倍数关系，所以 3和 12的最小公倍数 是 12； 因为 4和 13互质，所以 4和 13的最小公倍数是 4×13＝52； 因为 49是 7的倍数，所以 7和 49的最小公倍数是 49； 因为 24＝2×2×2×3 15＝3×5 所以 24和 15的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和 117 42、56和 84 240、840和 360 解析： （13,39,117）=13 （42,56,84）=14 (240,840,360)=120 [13,39,117]=117 [42,56,84]=168 [240,840,360]=5040 【对应练习 1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和 90 60，90和 120 解析：略。 【对应练习 2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和 429 384，192和 64 解析： 143，858；64，384 10 / 30 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这 几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题 1】问题一。 如果 A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 解析： A和 B公因数只有 3，所以 3就是最大公因数； A＝2×3×5 ＝6×5 ＝30 B＝3×7＝21 最小公倍数：30×21÷3 ＝630÷3 ＝210 【对应练习 1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和 N的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 解析：21 462 【对应练习 2】 2 3 4A    ， 3 4 5B    ，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 解析：12 120 【对应练习 3】 A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和 B的最大公因数是( )，A和 B的最小公倍 数是( )。 解析：6 84 11 / 30 【典型例题 2】问题二。 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最大公 因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和 B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和 B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当 N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和 B的最小公倍数是 210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习 1】 把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y的最 大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和 Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数 只有 3，6÷3＝2，那么 n是 2，才能保证这两个数的最大公因数是 6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出 X和 Y 的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 所以，n＝2，X和 Y的最小公倍数是 60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的 求法是解题的关键。 【对应练习 2】 12 / 30 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是( )，a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 据此可知 2×m＝14，根据等式的性质 2，两边同时÷2，即可求出 m的值。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍 数。 【详解】2×m＝14 解：2×m÷2＝14÷2 m＝7 2×3×5×7＝210 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是 7，a和 b的最小公倍数是 210。 【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公 倍数的求法。 【对应练习 3】 如果 A＝2m×5，B＝2×3m，已知 A和 B的最大公因数是 8，那么 m＝( )， A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【分析】由题意可知，B＝2×3m＝2m×3，则 A和 B的最大公因数是 2m，A和 B 的最小公倍数是 2m×3×5，据此解答。 【详解】A＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，则 2m是两个数的最大公因数，m＝8÷2 ＝4，A和 B的最小公倍数是 2×4×3×5＝120，所以 m＝4，A和 B的最小公倍数 是 120。 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的求法，根据两个数的最大公因 数求出 m的值是解答题目的关键。 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 1.公因数只有 1的两个数，叫做互质数。 13 / 30 2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 b和 t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1 bt 【对应练习 1】 两个连续的自然数（均不为 0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数 是( )。 解析：1 它们的乘积 【对应练习 2】 如果 a，b的公因数只有 1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 解析：1 ab 【对应练习 3】 如果 a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的 最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数 是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个 数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质 因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】如果 a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），则 a和 b是两个相邻的自 然数，它们的公因数只有 1，所以 a和 b互质，它们的最大公因数是 1，最小公 倍数是 ab。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握相应的计算方法是解 答本题的关键。 14 / 30 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍 数。 【方法点拨】 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 如果 a＝3b，且 a，b都是大于 0的自然数，那么 a和 b的最大公因数是( )； 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】若两个数是倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它 们的最小公倍数。据此填空即可。 【详解】因为 a＝3b，所以 a÷b＝3 则 a和 b的最大公因数是 b；最小公倍数是 a。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确互为倍数关系的特殊求法是解 题的关键。 【对应练习 1】 如果 a＝2b（a、b均为大于 9的整数），则 a、b的最小公倍数是( )，最 大公因数是( )。 【答案】 a b 【分析】若两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它 们的最大公因数。 【详解】因为 a＝2b，所以 a÷b＝2；则 a和 b成倍数关系； a和 b的最小公倍数是 a，a和 b的最大公因数是 b。 因此如果 a＝2b（a、b均为大于 9的整数），则 a、b的最小公倍数是 a，最大公 因数是 b。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确两个数成倍数关系，则较大数 就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数是解题的关键。 【对应练习 2】 如果自然数 C是 B的 5倍，则 B与 C的最小公倍数是( )，最大公因数 15 / 30 是( )。 【答案】 C B 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的 最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个 数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不 互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数 是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有 的质因数的乘积，据此解答。 【详解】由分析可知：如果自然数 C是 B的 5倍，则 B与 C的最小公倍数是 C， 最大公因数是 B。 【点睛】本题主要考查了求最大公因数和最小公倍数的方法，熟练掌握相应的方 法是解答本题的关键。 【对应练习 3】 如果 A＝7B，那么 A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两 个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。 【详解】如果 A＝7B 则 A和 B是倍数关系，那么 A和 B的最大公因数是 B，最小公倍数是 A。 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每 段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 16 / 30 解析： 56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8 每段最长是 8分米， （56＋48）÷8 ＝104÷8 ＝13（段） 答：每段最长是 8分米，一共能剪成 13段。 【对应练习 1】 有两根彩带，一根长 45厘米，另一根长 60厘米。现在要把它们剪成长度一样的 短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 解析： 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和 60的最大公因数是：3×5＝15。 即每根短彩带最长是 15厘米。 （45÷15）＋（60÷15） ＝3＋4 ＝7（根） 答：每根短彩带最长是 15厘米，一共可以剪成 7根。 【对应练习 2】 有两根绳子，一根长 36米，另一根长 42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小 段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 解析： 36＝2×2×3×3 17 / 30 42＝2×3×7 26和 42的最大公因数是 2×3＝6。 （36＋42）÷6 ＝78÷6 ＝13（段） 答：每小段最长 6米；一共可以剪成 13段。 【对应练习 3】 有两根钢管，分别长 45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩 余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 解析： 45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和 30的最大公因数是：3×5＝15。 即每一小段最长是 15厘米。 （45÷15）＋（30÷15） ＝3＋2 ＝5（段） 答：每一小段最长 15厘米，一共可以截成 5段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 选修课上，老师要求同学们将一张长 28厘米，宽 12厘米的长方形彩纸。在无剩 余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可 以裁成多少张？ 解析： 18 / 30 28＝2×2×7 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 28×12÷（4×4） ＝336÷16 ＝21（张） 正方形的边长是 4厘米，一共可以裁成 21张。 【对应练习 1】 把一块长 48厘米，宽 36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方 形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘 米？ 解析： 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（厘米） 48×36÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（个） 答：至少可以裁成 12个正方形，每个正方形的边长是 12厘米。 【对应练习 2】 爸爸打算给长 72分米、宽 48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使 用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是 整分米数且在 5～10分米之间） 解析： 72的因数有 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 48的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 72和 48在 5～10的公因数有 6、8； 答：可以选择边长是 6分米或 8分米的正方形地砖。 【对应练习 3】 19 / 30 李伯伯家挖了一个长 15分米，宽 10分米，深 8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用 的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的 蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要 10块同样大小的白色 瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不 计） 解析： （1） 5 1 5 1 0 3 2 15和 10的最大公因数为 5，所以蓝色地砖的边长最大是 5分米。 （15×10）÷（5×5） ＝150÷25 ＝6（块） 答：蓝色地砖的边长最大是 5分米，一共需要 6块这样的蓝色地砖。 （2）（15×8＋10×8）×2 ＝（120＋80）×2 ＝200×2 ＝400（平方分米） 400平方分米＝4平方米 4×10＝40（块） 答：这个水池一共需要 40块这样的白色瓷砖。 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给 m个小朋友可以恰好分完，那么总数是 m的倍数，若平均分给 n个 小朋友可以恰好分完，那么总数也是 n的倍数，所以总数是 m和 n 的公倍数， 根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 20 / 30 篮子里的萝卜无论是分给 12只小兔子，还是分给 15只小兔子，都能正好分完。 篮子里至少有多少根萝卜？ 解析： 12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和 15的最小公倍数是 60， 答：篮子里至少有 60根萝卜。 【对应练习 1】 学校新买一批故事书，不论分给 15个小朋友，还是 20个小朋友，都正好分完。 这批书至少有多少本？ 解析： 15＝3×5 20＝2×2×5 15和 20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。 答：这批书至少有 60本。 【对应练习 2】 妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给 5个人还是 7个人，都刚好分完，那么这盒 巧克力最少有多少颗？ 解析：依题意得，巧克力总数应该是 5和 7的公倍数.其中最小的是 35，所以这 盒巧克力最少有 35颗。 【对应练习 3】 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分 4颗或 6颗，都正好分 完。这些糖果的颗数在 30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 解析： 4＝2×2 6＝2×3 4、6的最小公倍数是：3×2×2＝12 因为 12×3＝36，糖果总数在 30 ~ 40之间，所以张老师一共买来 36颗糖果。 21 / 30 答：张老师买了 36颗糖果。 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 注意在限定范围内取值。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成 6人一组或 8人一组都多 4人，已知篮球队的人 数在 50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】52人 【分析】由题意可知，篮球队的人数应是 6和 8的公倍数再 4，先求出 6和 8 的最小公倍数，再结合人数在 50－60人之间解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则 6和 8的最小公倍数是 2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有 52人。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解 题的关键。 【对应练习 1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站 12人或站 16人，都能正好站成整 排，参加体操表演的学生在 90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】96人 【分析】由题意可知：参加体操表演的学生人数是 12的倍数，也是 16的倍数， 即是 12和 16的公倍数。先求出 12和 16的最小公倍数，然后再求出 90~100之 间 12和 16的最小公倍数的倍数，即是参加体操表演的人数。 22 / 30 【详解】 12和 16的最小公倍数是 2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有 96人参加体操表演。 【点睛】当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数 的知识解决。 【对应练习 2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65瓶。已知平均每 2人用一瓶 A饮料，每 3人用一瓶 B饮料，每 4人用一瓶 C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】60人 【分析】根据题意可知参加会餐的人数是不变的，一定是 2、3、4的公倍数，那 就先求出 2、3、4的最小公倍数是 12，若安排 12人一桌，那么一桌共需要饮料 12÷2＋12÷3＋12÷4＝13瓶，而三种饮料共用了 65瓶，所以一共有 65÷13＝5桌， 用一桌的 12人乘 5即得参加会餐的人数；据此解答。 【详解】2、3、4的最小公倍数是 12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有 60人参加会餐。 【点睛】此题主要是考查了公倍数的应用，此题的关键是参加会餐的人数是不变 的，一定是 2、3、4的公倍数。 【对应练习 3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在 40－50人之间，如果把参赛的人数分成 6人一 组或分成 8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 23 / 30 【答案】48人 【分析】把参赛的人数分成 6人一组或分成 8人一组，都正好分完，说明参赛人 数是 6和 8的公倍数，先求出 6和 8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到 40 －50之间的公倍数即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有 48人。 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除 0以外最小的一 个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一 天是几号。 【典型例题 1】问题一。 我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后， 过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过 24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过 24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习 1】 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分钟 发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 24 / 30 解析： 因为 20＝2×2×5 35＝5×7 所以 20和 35的最小公倍数是 4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是 6时 25分 6时 25分＋140分＝8时 45分 答：下一次同时发车至少是 8时 45分。 【对应练习 2】 偃师 802路和 803路公交车早上 7时同时从起始站发车，802路车每 10分钟发 一辆，803路车每 15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 5 10 15 2 3 10和 15的最小公倍数是 5×2×3＝30。即 30分钟后，两车第二次同时发车。 7时 30 分 7 时 30分 答：这两路车第二次同时发车是 7时 30分。 【对应练习 3】 1路车每 5分钟发一次车，2路车每 8分钟发一次车，15路车每 10分钟发一次 车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几 分？ 解析： 5 5 8 1 0 2 1 8 2 1 4 1 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过 40分钟 1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时 40分 答：它们第二次同时发车是 6时 40分。 25 / 30 【典型例题 2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每 12天去一次，乙每 16天去一次，如果 4 月 25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 2 1 2 1 6 2 6 8 3 4 12和 16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月 25日＋48天＝6月 12日 答：下一次都到图书馆是 6月 12日。 【对应练习 1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每 6天去一次，小军每 8天去一 次。7月 31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和 8的最小公倍数是 24。 7月 31日的 24日之后是 8月 24日。 答：8月 24日他们又再次相遇。 【对应练习 2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每 5天去一次，小红每 4天去一次，5月 3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 26 / 30 5和 4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在 5月 23日。 【对应练习 3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4天轮 休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休 息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为 4和 5是互质数，所以 4和 5的最小公倍数是；4×5＝20。 即 20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即 3月 25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有 31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即 4月 14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有 3天，分别是 3月 5日，3月 25日，4 月 14日。 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 27 / 30 8和 14的最小公倍数是 2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有 57个。 【对应练习 1】 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队，还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有 33人。 【对应练习 2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分 4个苹果，还是每人分 7个苹果， 都多 3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有 31个。 【对应练习 3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分 9棵，余 1棵：每组同 学分 11棵，也余 1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有 100棵。 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 28 / 30 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给 8个人多 7块，平均分给 6个人多 5块，这些糖果最少有 多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上 1块就变为了 8和 6的公倍数，通过短除法求出最小公 倍数为 24，则这些糖果最少有 23块。 【对应练习 1】 某班同学排队，排成 7排多 3人，排成 8排少 4人。这个班至少有( )人。 加上 4人后，总人数既是 7的倍数，也是 8的倍数； 解析： 7 8 56  （人） 56 4 52  （人） 所以这个班至少有 52人。 【对应练习 2】 把一些糖果平均分给 4个小朋友或 6个小朋友都少 2颗，这些糖果至少有 ( )颗。 解析： 4和 6的最小公倍数是 12； 12 2 10  （颗） 所以这些糖果至少有 10颗。 【对应练习 3】 一些贝壳，4个 4个地数，最后多 1个；5个 5个地数，最后多 2个；7个 7个 地数，最后少 3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有 137个。 29 / 30 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果这 盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 解析： 4、6和 5的最小公倍数是 60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【对应练习 1】 育才小学五年级同学排成 3路纵队多出 1人，排成 5路纵队多出 1人，排成 7 路纵队还多出 1人，五年级的人数在 200人左右。五年级有多少人？ 解析： 3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是 210 210＋1＝211（人） 答：五年级有 211人。 【对应练习 2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在 40～50人，分为 6人一组或 8人一 组，都多 1人，一共有多少学生参加比赛？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8 的最小公倍数是 2×2×2×3＝24，它们的公倍数有：24、48、72… 30 / 30 满足 40～50之间的是 48 48＋1＝49（人） 答：一共有 49人参加比赛。 【对应练习 3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋 4个 4个地数多 3个，6个 6个地数多 5个，15 个 15个地数多 14个。已知这些鸡蛋的个数在 150~200个之间，食堂买来了多少 个鸡蛋？ 解析： 2 4 6 15 3 2 3 15 2 1 5 ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在 150和 200之间， 180－1＝179（个） 答：食堂买来了 179个鸡蛋。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数及应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 4 【考点二】最小公倍数 6 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数 9 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数 10 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数 12 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数 14 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 15 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 17 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题 19 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题 21 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题 23 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题 26 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题 27 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型 29 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数的定义： 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2.求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和48                    11和13             21，42和70 【答案】12；1；7 【分析】根据求两个（或两个以上）数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数互为质数，那么它们的最大公因数是1；据此解答。 【详解】36和48 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 则36和48的最大公因数是：2×2×3＝12； 11和13 11和13互为质数，所以11和13的最大公因数是：1； 21，42和70 21＝3×7 42＝2×3×7 70＝2×5×7 则21，42和70的最大公因数是：7。 【对应练习1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和36        24和72     14、26和32 【答案】1；24；2 【分析】两数互质，最大公因数是1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数；全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】5和36是互质数，5和36的最大公因数是1； 72÷24＝3，24和72的最大公因数是24； 14＝2×7 26＝2×13 32＝2×2×2×2×2 14、26和32的最大公因数是2。 【对应练习2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和25                7和15            22和33            35和28 【答案】5；1；11；7 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 两数互质，最大公因数是1，据此求出各组数的最大公因数。 【详解】15＝3×5、25＝5×5 15和25的最大公因数是5； 7和15是互质数，7和15的最大公因数是1； 22＝2×11、33＝3×11 22和33的最大公因数是11； 35＝5×7、28＝2×2×7 35和28的最大公因数是7。 【对应练习3】 写出每组数的最大公因数。 12和18       72和48        78和117        23和32 【答案】6；24；39；1 【分析】当两个数为互质数时，这两个数的最大公因数是1； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数； 其它情况可以用分解质因数找两个数的最大公因数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 【详解】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6； （2）72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和48的最大公因数是2×2×2×3＝24； （3）78＝2×3×13 117＝3×3×13 78和117的最大公因数是3×13＝39； （4）23和32是互质数，所以23和32的最大公因数是1。 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数的定义： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60    76和80 【答案】216；180；1520 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】 3×3×3×8＝216 27和72的最小公倍数是216； 2×2×3×3×5＝180 36和60的最小公倍数是180； 2×2×19×20＝1520 76和80的最小公倍数是1520。 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【答案】60；56；374 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】60÷10＝6，10和60的最小公倍数是60； 8＝2×2×2、14＝2×7 2×2×2×7＝56 8和14的最小公倍数是56； 11×34＝374 11和34的最小公倍数是374。 【对应练习2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24                 15和25                  11和19 【答案】最大公因数6；最小公倍数72；最大公因数5；最小公倍数75；最大公因数1；最小公倍数209 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】（1） 18和24的最大公因数：2×3＝6 18和24的最小公倍数：2×3×3×4＝72 （2） 15和25的最大公因数：5 15和25的最小公倍数：5×3×5＝75 （3）11和19的最大公因数：1 11和19的最小公倍数：11×19＝209 【对应练习3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【答案】12；52；49；120 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；若两个数互为倍数关系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是它们的乘积。据此计算即可。 【详解】因为12÷3＝4，所以3和12互为倍数关系，所以3和12的最小公倍数是12； 因为4和13互质，所以4和13的最小公倍数是4×13＝52； 因为49是7的倍数，所以7和49的最小公倍数是49； 因为24＝2×2×2×3 15＝3×5 所以24和15的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和117                       42、56和84                           240、840和360 解析： （13,39,117）=13        （42,56,84）=14          (240,840,360)=120 [13,39,117]=117            [42,56,84]=168          [240,840,360]=5040 【对应练习1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和90　　　 60，90和120 解析：略。 【对应练习2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和429             384，192和64 解析： 143，858；64，384 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题1】问题一。 如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析： A和B公因数只有3，所以3就是最大公因数； A＝2×3×5 ＝6×5 ＝30 B＝3×7＝21 最小公倍数：30×21÷3 ＝630÷3 ＝210 【对应练习1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：21     462 【对应练习2】 ，，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：12     120 【对应练习3】 A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 解析：6     84 【典型例题2】问题二。 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和B的最小公倍数是210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数只有3，6÷3＝2，那么n是2，才能保证这两个数的最大公因数是6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出X和Y的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 所以，n＝2，X和Y的最小公倍数是60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此可知2×m＝14，根据等式的性质2，两边同时÷2，即可求出m的值。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×m＝14 解：2×m÷2＝14÷2 m＝7 2×3×5×7＝210 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是7，a和b的最小公倍数是210。 【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【分析】由题意可知，B＝2×3m＝2m×3，则A和B的最大公因数是2m，A和B的最小公倍数是2m×3×5，据此解答。 【详解】A＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，则2m是两个数的最大公因数，m＝8÷2＝4，A和B的最小公倍数是2×4×3×5＝120，所以m＝4，A和B的最小公倍数是120。 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的求法，根据两个数的最大公因数求出m的值是解答题目的关键。 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。 2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。【典型例题】 b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     bt 【对应练习1】 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     它们的乘积 【对应练习2】 如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     ab 【对应练习3】 如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），则a和b是两个相邻的自然数，它们的公因数只有1，所以a和b互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】若两个数是倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。据此填空即可。 【详解】因为a＝3b，所以a÷b＝3 则a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确互为倍数关系的特殊求法是解题的关键。 【对应练习1】 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b 【分析】若两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数。 【详解】因为a＝2b，所以a÷b＝2；则a和b成倍数关系； a和b的最小公倍数是a，a和b的最大公因数是b。 因此如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是a，最大公因数是b。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数是解题的关键。 【对应练习2】 如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 C B 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】由分析可知：如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是C，最大公因数是B。 【点睛】本题主要考查了求最大公因数和最小公倍数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 【对应练习3】 如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。 【详解】如果A＝7B 则A和B是倍数关系，那么A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 解析： 56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8 每段最长是8分米， （56＋48）÷8 ＝104÷8 ＝13（段） 答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。 【对应练习1】 有两根彩带，一根长45厘米，另一根长60厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 解析： 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和60的最大公因数是：3×5＝15。 即每根短彩带最长是15厘米。 （45÷15）＋（60÷15） ＝3＋4 ＝7（根） 答：每根短彩带最长是15厘米，一共可以剪成7根。 【对应练习2】 有两根绳子，一根长36米，另一根长42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 解析： 36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 26和42的最大公因数是2×3＝6。 （36＋42）÷6 ＝78÷6 ＝13（段） 答：每小段最长6米；一共可以剪成13段。 【对应练习3】 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 解析： 45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15。 即每一小段最长是15厘米。 （45÷15）＋（30÷15） ＝3＋2 ＝5（段） 答：每一小段最长15厘米，一共可以截成5段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 解析： 28＝2×2×7 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 28×12÷（4×4） ＝336÷16 ＝21（张） 正方形的边长是4厘米，一共可以裁成21张。 【对应练习1】 把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？ 解析： 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（厘米） 48×36÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（个） 答：至少可以裁成12个正方形，每个正方形的边长是12厘米。 【对应练习2】 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间） 解析： 72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 72和48在5～10的公因数有6、8； 答：可以选择边长是6分米或8分米的正方形地砖。 【对应练习3】 李伯伯家挖了一个长15分米，宽10分米，深8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要10块同样大小的白色瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不计） 解析： （1） 15和10的最大公因数为5，所以蓝色地砖的边长最大是5分米。 （15×10）÷（5×5） ＝150÷25 ＝6（块） 答：蓝色地砖的边长最大是5分米，一共需要6块这样的蓝色地砖。 （2）（15×8＋10×8）×2 ＝（120＋80）×2 ＝200×2 ＝400（平方分米） 400平方分米＝4平方米 4×10＝40（块） 答：这个水池一共需要40块这样的白色瓷砖。 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 解析： 12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和15的最小公倍数是60， 答：篮子里至少有60根萝卜。 【对应练习1】 学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？ 解析： 15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。 答：这批书至少有60本。 【对应练习2】 妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给5个人还是7个人，都刚好分完，那么这盒巧克力最少有多少颗？ 解析：依题意得，巧克力总数应该是5和7的公倍数.其中最小的是35，所以这盒巧克力最少有35颗。 【对应练习3】 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 解析： 4＝2×2 6＝2×3 4、6的最小公倍数是：3×2×2＝12 因为12×3＝36，糖果总数在30 ~ 40之间，所以张老师一共买来36颗糖果。 答：张老师买了36颗糖果。 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 注意在限定范围内取值。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】52人 【分析】由题意可知，篮球队的人数应是6和8的公倍数再 4，先求出6和8的最小公倍数，再结合人数在50－60人之间解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有52人。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】96人 【分析】由题意可知：参加体操表演的学生人数是12的倍数，也是16的倍数，即是12和16的公倍数。先求出12和16的最小公倍数，然后再求出90~100之间12和16的最小公倍数的倍数，即是参加体操表演的人数。 【详解】 12和16的最小公倍数是2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有96人参加体操表演。 【点睛】当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数的知识解决。 【对应练习2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】60人 【分析】根据题意可知参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4的公倍数，那就先求出2、3、4的最小公倍数是12，若安排12人一桌，那么一桌共需要饮料12÷2＋12÷3＋12÷4＝13瓶，而三种饮料共用了65瓶，所以一共有65÷13＝5桌，用一桌的12人乘5即得参加会餐的人数；据此解答。 【详解】2、3、4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有60人参加会餐。 【点睛】此题主要是考查了公倍数的应用，此题的关键是参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4的公倍数。 【对应练习3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【答案】48人 【分析】把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完，说明参赛人数是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到40－50之间的公倍数即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有48人。 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 【典型例题1】问题一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习1】 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为20＝2×2×5 35＝5×7 所以20和35的最小公倍数是4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是6时25分 6时25分＋140分＝8时45分 答：下一次同时发车至少是8时45分。 【对应练习2】 偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 10和15的最小公倍数是5×2×3＝30。即30分钟后，两车第二次同时发车。 7时分时30分 答：这两路车第二次同时发车是7时30分。 【对应练习3】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 解析： 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时40分 答：它们第二次同时发车是6时40分。 【典型例题2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月25日＋48天＝6月12日 答：下一次都到图书馆是6月12日。 【对应练习1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和8的最小公倍数是24。 7月31日的24日之后是8月24日。 答：8月24日他们又再次相遇。 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在5月23日。 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有31个。 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有100棵。 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 解析： （人） （人） 所以这个班至少有52人。 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 解析： 4和6的最小公倍数是12； （颗） 所以这些糖果至少有10颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有137个。 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 解析： 4、6和5的最小公倍数是60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【对应练习1】 育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 解析： 3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是210 210＋1＝211（人） 答：五年级有211人。 【对应练习2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在40～50人，分为6人一组或8人一组，都多1人，一共有多少学生参加比赛？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8 的最小公倍数是2×2×2×3＝24，它们的公倍数有：24、48、72… 满足40～50之间的是48 48＋1＝49（人） 答：一共有49人参加比赛。 【对应练习3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 解析： ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在150和200之间， 180－1＝179（个） 答：食堂买来了179个鸡蛋。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数及应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 4 【考点二】最小公倍数 5 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数 6 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数 7 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数 8 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数 8 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 9 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 10 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题 11 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题 12 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题 13 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题 16 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题 17 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数的定义： 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2.求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和48                    11和13             21，42和70 【对应练习1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和36        24和72     14、26和32 【对应练习2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和25                7和15            22和33            35和28 【对应练习3】 写出每组数的最大公因数。 12和18       72和48        78和117        23和32 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数的定义： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60    76和80 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【对应练习2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24                 15和25                  11和19 【对应练习3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和117                       42、56和84                           240、840和360 【对应练习1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和90　　　 60，90和120 【对应练习2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和429             384，192和64 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题1】问题一。 如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 ，，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习3】 A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【典型例题2】问题二。 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【对应练习1】 把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。 2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。【典型例题】 b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习1】 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习3】 如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【对应练习1】 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【对应练习2】 如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【对应练习3】 如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 【对应练习1】 有两根彩带，一根长45厘米，另一根长60厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 【对应练习2】 有两根绳子，一根长36米，另一根长42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 【对应练习3】 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 【对应练习1】 把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？ 【对应练习2】 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间） 【对应练习3】 李伯伯家挖了一个长15分米，宽10分米，深8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要10块同样大小的白色瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不计） 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 【对应练习1】 学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？ 【对应练习2】 妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给5个人还是7个人，都刚好分完，那么这盒巧克力最少有多少颗？ 【对应练习3】 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 注意在限定范围内取值。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【对应练习1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【对应练习2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？ 【对应练习3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 【典型例题1】问题一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 【对应练习1】 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 【对应练习2】 偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 【对应练习3】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 【典型例题2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【对应练习1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 【对应练习1】 育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 【对应练习2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在40～50人，分为6人一组或8人一组，都多1人，一共有多少学生参加比赛？ 【对应练习3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 18 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 18 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数及应用为主。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 .......................................................................................................4 【考点二】最小公倍数 .......................................................................................................5 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数 ................................................................ 6 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数 ..................................7 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数 ..................................8 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数 .............................. 8 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 .............................................................9 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 .......................................................10 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题 ...........................................................11 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题 .............................................................. 12 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题 ...........................................................13 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题 .......................................................16 3 / 18 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题 ...........................................................17 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型 .............................................................. 17 4 / 18 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数的定义： 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大 公因数 2.求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和 48 11和 13 21，42和 70 【对应练习 1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和 36 24和 72 14、26和 32 【对应练习 2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和 25 7和 15 22和 33 35和 28 5 / 18 【对应练习 3】 写出每组数的最大公因数。 12和 18 72和 48 78和 117 23和 32 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数的定义： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和 72 36和 60 76和 80 【对应练习 1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和 60 8和 14 11和 34 【对应练习 2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和 24 15和 25 11和 19 6 / 18 【对应练习 3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和 12 4和 13 7和 49 24和 15 【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和 117 42、56和 84 240、840和 360 【对应练习 1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和 90 60，90和 120 【对应练习 2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和 429 384，192和 64 7 / 18 【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这 几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题 1】问题一。 如果 A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和 N的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 2】 2 3 4A    ， 3 4 5B    ，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 3】 A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和 B的最大公因数是( )，A和 B的最小公倍 数是( )。 【典型例题 2】问题二。 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最大公 因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【对应练习 1】 把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y的最 大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 【对应练习 2】 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是( )，a和 b的最小公倍数是( )。 【对应练习 3】 如果 A＝2m×5，B＝2×3m，已知 A和 B的最大公因数是 8，那么 m＝( )， A和 B的最小公倍数是( )。 8 / 18 【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 1.公因数只有 1的两个数，叫做互质数。 2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 b和 t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习 1】 两个连续的自然数（均不为 0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数 是( )。 【对应练习 2】 如果 a，b的公因数只有 1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 3】 如果 a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍 数。 【方法点拨】 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 如果 a＝3b，且 a，b都是大于 0的自然数，那么 a和 b的最大公因数是( )； 最小公倍数是( )。 【对应练习 1】 如果 a＝2b（a、b均为大于 9的整数），则 a、b的最小公倍数是( )，最 大公因数是( )。 【对应练习 2】 如果自然数 C是 B的 5倍，则 B与 C的最小公倍数是( )，最大公因数 是( )。 9 / 18 【对应练习 3】 如果 A＝7B，那么 A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每 段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 【对应练习 1】 有两根彩带，一根长 45厘米，另一根长 60厘米。现在要把它们剪成长度一样的 短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 【对应练习 2】 有两根绳子，一根长 36米，另一根长 42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小 段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 10 / 18 【对应练习 3】 有两根钢管，分别长 45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩 余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 选修课上，老师要求同学们将一张长 28厘米，宽 12厘米的长方形彩纸。在无剩 余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可 以裁成多少张？ 【对应练习 1】 把一块长 48厘米，宽 36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方 形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘 米？ 11 / 18 【对应练习 2】 爸爸打算给长 72分米、宽 48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使 用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是 整分米数且在 5～10分米之间） 【对应练习 3】 李伯伯家挖了一个长 15分米，宽 10分米，深 8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用 的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的 蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要 10块同样大小的白色 瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不 计） 【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给 m个小朋友可以恰好分完，那么总数是 m的倍数，若平均分给 n个 小朋友可以恰好分完，那么总数也是 n的倍数，所以总数是 m和 n 的公倍数， 根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 篮子里的萝卜无论是分给 12只小兔子，还是分给 15只小兔子，都能正好分完。 篮子里至少有多少根萝卜？ 12 / 18 【对应练习 1】 学校新买一批故事书，不论分给 15个小朋友，还是 20个小朋友，都正好分完。 这批书至少有多少本？ 【对应练习 2】 妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给 5个人还是 7个人，都刚好分完，那么这盒 巧克力最少有多少颗？ 【对应练习 3】 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分 4颗或 6颗，都正好分 完。这些糖果的颗数在 30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 注意在限定范围内取值。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成 6人一组或 8人一组都多 4人，已知篮球队的人 数在 50－60人之间，篮球队有多少人？ 13 / 18 【对应练习 1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站 12人或站 16人，都能正好站成整 排，参加体操表演的学生在 90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【对应练习 2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65瓶。已知平均每 2人用一瓶 A饮料，每 3人用一瓶 B饮料，每 4人用一瓶 C饮料。有多少人参加会餐？ 【对应练习 3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在 40－50人之间，如果把参赛的人数分成 6人一 组或分成 8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一 天是几号。 【典型例题 1】问题一。 我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后， 过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 14 / 18 【对应练习 1】 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分钟 发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 【对应练习 2】 偃师 802路和 803路公交车早上 7时同时从起始站发车，802路车每 10分钟发 一辆，803路车每 15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 【对应练习 3】 1路车每 5分钟发一次车，2路车每 8分钟发一次车，15路车每 10分钟发一次 车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几 分？ 【典型例题 2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每 12天去一次，乙每 16天去一次，如果 4 月 25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 15 / 18 【对应练习 1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每 6天去一次，小军每 8天去一 次。7月 31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 【对应练习 2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每 5天去一次，小红每 4天去一次，5月 3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 【对应练习 3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4天轮 休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休 息的有几天？分别是哪几天？ 16 / 18 【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习 1】 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队，还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 【对应练习 2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分 4个苹果，还是每人分 7个苹果， 都多 3个。这箱苹果至少有多少个？ 【对应练习 3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分 9棵，余 1棵：每组同 学分 11棵，也余 1棵。这批树苗至少有几棵？ 17 / 18 【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给 8个人多 7块，平均分给 6个人多 5块，这些糖果最少有 多少块? 【对应练习 1】 某班同学排队，排成 7排多 3人，排成 8排少 4人。这个班至少有( )人。 【对应练习 2】 把一些糖果平均分给 4个小朋友或 6个小朋友都少 2颗，这些糖果至少有 ( )颗。 【对应练习 3】 一些贝壳，4个 4个地数，最后多 1个；5个 5个地数，最后多 2个；7个 7个 地数，最后少 3个。这些贝壳至少有多少个？ 【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果这 盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 18 / 18 【对应练习 1】 育才小学五年级同学排成 3路纵队多出 1人，排成 5路纵队多出 1人，排成 7 路纵队还多出 1人，五年级的人数在 200人左右。五年级有多少人？ 【对应练习 2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在 40～50人，分为 6人一组或 8人一 组，都多 1人，一共有多少学生参加比赛？ 【对应练习 3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋 4个 4个地数多 3个，6个 6个地数多 5个，15 个 15个地数多 14个。已知这些鸡蛋的个数在 150~200个之间，食堂买来了多少 个鸡蛋？