4.3等比数列-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.3等比数列（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 2. 等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列. (2)结论：G叫做a，b的等比中项. (3)满足的关系式：G2＝ab. 3. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 4. 等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点. 5. 等比数列的判定与证明 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 6. 等比数列通项公式的推广 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*). 7. “子数列”性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk. 8. 等比数列的常用性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列. (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. 9. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 10. 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 11. 错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法. 12. 等比数列前n项和的相关性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)，S奇＝a1＋qS偶. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·河北邢台·期末）等比数列满足，，则（    ） A．56 B． C． D．112 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（21-22高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知等比数列中，，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024高二·全国·专题练习）设等比数列的前项和为，若，且，则等于（    ） A．3 B．303 C． D． 6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·吉林长春·阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 10．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知等比数列，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（    ） A． B．或2 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 13．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 14．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送､机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·江苏·课前预习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 16. (15分) （22-23高二下·江西南昌·阶段练习）在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 18. (17分) （22-23高二·全国·课堂例题）已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 19. (17分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 2．（2022·四川乐山·一模）在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 4．（2024高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 6．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 8．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 10．（23-24高二上·湖北·期末）记等差数列的前n项和为，设公差为d，正项等比数列的前n项积记为，设公比为q，以下结论错误的是（    ） A．若有最大值，则 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·辽宁大连·期中）设为等比数列前项和，若，，则下列说法正确的是（   ） A．是和的等比中项 B．或4 C．若数列的各项为正，则数列的前5项和为57 D．若数列的各项为正，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 13．（22-23高二下·陕西榆林·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则 ． 14．（2024·云南大理·模拟预测）已知递增的等差数列的公差为，从中抽取部分项，，……构成等比数列，其中，，，且集合中有且仅有3个元素，则的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高三上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，，成等比数列，求数列的前10项和. 16. (15分) （24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2024项和. 17. (15分) （24-25高三上·四川南充·阶段练习）在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 18. (17分) （2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 19. (17分) （24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 4．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 5．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（23-24高二下·浙江·期末）正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列满足，，，该数列的前n项和为，则下列论断中错误的是（    ） A． B． C．非零常数T，，使得 D．，都有 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等比数列，则，，成等比数列 C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等比数列，则，，成等比数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 ． 14．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 16. (15分) （24-25高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 18. (17分) （2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差. 19. (17分) （24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3等比数列（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 14 【提升训练】 26 知识回顾 1. 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 2. 等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列. (2)结论：G叫做a，b的等比中项. (3)满足的关系式：G2＝ab. 3. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 4. 等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点. 5. 等比数列的判定与证明 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 6. 等比数列通项公式的推广 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*). 7. “子数列”性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk. 8. 等比数列的常用性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列. (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. 9. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 10. 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 11. 错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法. 12. 等比数列前n项和的相关性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)，S奇＝a1＋qS偶. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·河北邢台·期末）等比数列满足，，则（    ） A．56 B． C． D．112 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（21-22高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知等比数列中，，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024高二·全国·专题练习）设等比数列的前项和为，若，且，则等于（    ） A．3 B．303 C． D． 6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·吉林长春·阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 10．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知等比数列，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（    ） A． B．或2 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 13．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 14．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送､机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·江苏·课前预习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 16. (15分) （22-23高二下·江西南昌·阶段练习）在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 18. (17分) （22-23高二·全国·课堂例题）已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 19. (17分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A A B C BD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据等比数列的定义解决问题. 【详解】由题意知，解得，故. 故选：D. 2．B 【分析】根据等比数列的定义及等比中项的性质列方程可得解. 【详解】由题意可得， 解得或， 当时，，，不满足条件； 当时，等比数列为，，，满足条件， 故选：B. 3．B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 4．D 【分析】利用除法求得公比. 【详解】等比数列满足， . 故选：D 5．A 【分析】先利用等比数列通项公式求得公比，再利用等比数列的前项和公式可求. 【详解】设等比数列的公比为，由可得， 故． 故选：A 6．A 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，由已知条件求出的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 故选：A. 7．B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 8．C 【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得.. 故选：C 9．BD 【分析】依题意可得，即可判断D，再由与的关系求得，从而可判断A，B，再代值计算可判断C． 【详解】因为，，，， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确； 当时，， 当时，，不满足上式，所以，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误． 故选：BD． 10．BC 【分析】结合等比数列通项公式可求得公比，进而得到. 【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得：，B正确，D错误； ，A错误，C正确. 故选：BC. 11．ACD 【分析】根据已知可求出数列的公比，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】设的公比为q，∵，，， ∴ ，∴ ，故选项A正确，B错误． ，∴选项C，D正确． 故选：ACD. 12． 【分析】法一：根据等比数列求和公式化简可得解；法二：根据等比数列前项和的性质可得解. 【详解】由数列为等比数列， 当时，，则，此方程无解， 法一： 当时，， 所以，化简可得， 所以； 法二： 由等比数列可知当时，，不满足题意， 且当时，，，仍成等比数列， 即， 即， 解得， 故答案为：. 13．1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 14．6 【分析】由题意中的递推，得证数列是以3000为首项，为公比的等比数列，求出通项后解不等式即可. 【详解】由题意得，，. 即，， 数列是以3000为首项，为公比的等比数列，即， ，即， ，， 所以的最小值为6. 故答案为：6. 15．(1)405 (2)5 (3)an＝ 【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可. 【详解】（1）易知，，故. （2）由. （3）.所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）设公比为，由， 得，所以， 所以； （2）由，得， 所以. 17．(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 18．(1) (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项即可得解； （2）假设18是这个数列中的项，从而可得出关于的方程，再根据方程是否有正整数解即可得出结论. 【详解】（1）由等比数列的通项公式可知； （2）， 设18是数列中的第n项，则， 化简得，因为这个方程无正整数解， 所以18不是数列中的项． 19．(1)， (2) 【分析】（1）借助关系式，即可求解； （2）根据（1）的结论可求出等比数列中的，进而求出公比，代入等比数列前n项和公式即可求出. 【详解】（1）因为数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 又因为，符合， 所以的通项公式为：，. （2）设等比数列的公比为. 因为等比数列满足，即，， 所以，所以， 所以的前n项和. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 2．（2022·四川乐山·一模）在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 4．（2024高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 6．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 8．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 10．（23-24高二上·湖北·期末）记等差数列的前n项和为，设公差为d，正项等比数列的前n项积记为，设公比为q，以下结论错误的是（    ） A．若有最大值，则 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·辽宁大连·期中）设为等比数列前项和，若，，则下列说法正确的是（   ） A．是和的等比中项 B．或4 C．若数列的各项为正，则数列的前5项和为57 D．若数列的各项为正，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 13．（22-23高二下·陕西榆林·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则 ． 14．（2024·云南大理·模拟预测）已知递增的等差数列的公差为，从中抽取部分项，，……构成等比数列，其中，，，且集合中有且仅有3个元素，则的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高三上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，，成等比数列，求数列的前10项和. 16. (15分) （24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2024项和. 17. (15分) （24-25高三上·四川南充·阶段练习）在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 18. (17分) （2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 19. (17分) （24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B A A A AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 2．C 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件求出的值，由此可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 因此，. 故选：C. 3．C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 4．C 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【详解】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 5．B 【分析】利用等比数列性质计算可得，可得，代入前和公式计算即可. 【详解】根据题意设等比数列的公比为， 由可得，即； 因此，解得，所以； 可得. 故选：B 6．A 【分析】由题意可得，则可推出，所以数列是等比数列，即可求得答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 7．A 【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 8．A 【分析】由等比数列的性质确定也是等比数列即可求解. 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 9．AB 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 10．ACD 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】，，最大，所以A错误； 因为， ，有最大值正确，所以B正确； ，可得，但不一定成立，所以C不正确; ，则，但可以大于或等于1，此时，所以D不正确， 故选：ACD 11．BCD 【分析】根据给定的等式求出数列的公比，再结合前项和逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，显然，否则，矛盾， 则，整理得，解得或， 对于A，当，为偶数时，，A错误； 对于B，，因此或，B正确； 对于C，，，数列的前5项和为，C正确； 对于D，，，当且仅当时取等号， ，D正确. 故选：BCD 12．300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 13． 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得，即， 所以，解得， 则． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 14． 【分析】由题意得，计算出，故公比，求出的通项公式，故，根据等比数列得到，从而得到方程，求出，故，作差法得到是递减数列，由题意得且，解得. 【详解】，，，…，构成等比数列，其中，，， 因为，所以，即，其中, 所以，，，所以公比， 因为，即，所以， 又因为，所以， 即， ∴， ∴， ∴是递减数列，由题意得且，解得. 故答案为： 15．(1)或 (2)105 【分析】（1）设等差数列公差，由已知建立方程组进行基本量计算即可； （2）根据条件确定通项，将含绝对值的数列分段表示，再转化为等差数列求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由题意得，解得或， 所以或. 故或； （2）当时，分别为，不成等比数列； 当时，分别为成等比数列，满足条件. 故， 记数列的前项和为，. . 故数列的前10项和为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的性质即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前n项和即可. 【详解】（1）设数列的公比为，则. 因为是和的等差中项，所以， 即， 解得或（舍去）或（舍去） 所以. （2）由（1）知 ， . ， 故的前2024项和. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【详解】（1）由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），得， 所以. 18．(1)证明见解析， (2)或 【分析】（1）由，两式相减可得，该式可化为，即可证明并求出数列的通项公式； （2）由（1）求得，后，可作差比较大小，或者作商，进一步分析即可. 【详解】（1）因为，① 所以，② ②①，得，即， 所以， 又，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列． 所以，所以． （2）由（1）知，，所以，． 解法一  ， 当时，，即；当时，，即； 当时，，即．所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为或． 解法二  ， 令，解得；令，解得；令，解得． 因为，所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为或． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 4．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 5．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 7．（23-24高二下·浙江·期末）正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列满足，，，该数列的前n项和为，则下列论断中错误的是（    ） A． B． C．非零常数T，，使得 D．，都有 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时，的最大值为22 D．当取得最大值时，的值为11 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，为非零实数，则下列说法一定正确的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等比数列，则，，成等比数列 C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等比数列，则，，成等比数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 ． 14．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 16. (15分) （24-25高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 18. (17分) （2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前n项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差. 19. (17分) （24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B D C A C BD BD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】由已知可得，可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式. 【详解】等式两边同时加1，得， 所以数列是以首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 2．C 【分析】令，可推出数列为等比数列，由，根据等比数列前项和公式，即可得到答案. 【详解】令，则由，得，即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以， 所以 ，解得. 故选：C 3．B 【分析】根据数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和，结合得到，即可求解. 【详解】因为， 所以①，②， ①减②可得： ， 所以． 因为，所以，即恒成立，故． 故选：B 4．B 【分析】根据题意分析得的项的情况，从而求得，，进而得解. 【详解】由题意，数列元素依次为，， 在到之间3的个数为，故到处共有35个元素， 所以前30项中含，，及26个3， 故， 而， 故成立的最小的为29. 故选：B 5．D 【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧的单调性并求其最大值，即可得答案. 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 6．C 【分析】先根据等差数列和等比数列的性质分别求出和的值，再代入式子求解. 【详解】在等差数列中，， 即，则. 在等比数列中，. 即，则.   把，代入，得到. 故选：C. 7．A 【分析】根据递推公式，求出，然后化简，令，得到关于的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解. 【详解】因为，且，所以且为等比数列，公比为， 因为，所以， 所以， 所以 令，当且仅当时取等号， 化简可得， 令，因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据等比数列的通项公式将式子转化为关于的式子，再利用换元法求出目标式子的取值范围. 8．C 【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律再结合等比数列的前项和可得D正确. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由可得， 由可得， 由可得， 而，所以， 设存在非零常数，使得， 则，矛盾， 所以不存在非零常数，使得，故C错误； 对于D，当时，， 当时，， 即时，有相邻两项的和为零， 即有接下来个项和为零； 当时， ， 即时，有相邻两项的和与相邻四项为零， 即有接下来个项和为零； 当时，， 所以，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解的意义，即表示数列中前两项和为外的到项，到项，到项和分别为零. 9．BD 【分析】根据等差数列的前项和与等比中项求出通项公式，由通项公式直接判断AB，再求出前项和表达式判断CD． 【详解】设等差数列的公差为（）， 又是与的等比中项，所以， 即，所以， 又，所以，又， 所以， 解得，所以， 所以，故A正确；，故B错误；，令，解得， 所以当时，的最大值为22，故C正确； 因为，所以当取得最大值时，的值为11或12，故D错误. 故选：BD. 10．BD 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可. 【详解】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 11．BC 【分析】利用特殊值判断；根据等比中项的性质判断；根据等差中项的性质及指数的运算即可判断；根据等比中项的性质及等比数列的定义即可判断. 【详解】对于，，，是等差数列，但是，，不是等差数列，故不正确； 对于，，，成等比数列，则， 所以，所以，，成等比数列，故正确； 对于，，，成等差数列，所以， 所以，即，故正确； 对于，，，成等比数列，所以， 所以或，若，则，，不成等比数列， 故不正确. 故选：. 12． 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】先根据已知递推公式构造是等比数列，再得出为等差数列，计算即可. 【详解】由题意可得，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则， 则． 故答案为： 14． 1086 【分析】空1，利用题意建立等式求解即可；空2，根据题意求出可能的的值，然后求和即可. 【详解】因为成等比数列，所以， 因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为， 所以，所以，所以. 设，所以，令，且b为整数， 又由，， 所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为， 所以区间内所有“调和数”之和 故答案为：；1086 15．(1) (2)135 【分析】（1）数列为等比数列，则，分别求出代入，求得，然后代入即可得解. （2）求出通项公式，在求出第1项到第9项的每一个值，然后直接相加即可得到. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 因为为等比数列，所以， 即，化简得. 因为，得. 因此，易知为等比数列； 所以， （2）由（1）知，. ， 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 17．(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 18．(1)12 (2) (3)k的最大值是1999，此时公差为 【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及，，，的值可计算出，，的值，再根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得，，的值，再由定义可求出的值； （2）根据定义和以及可得的通项公式，进而求得的前n项和公式； （3）由和一阶和数列的定义可得，从而可得公差，结合可得正整数k的最大值. 【详解】（1）由题意，得，，， 所以，， 因为是等比数列，所以公比为，由此得，，， 所以，，， 所以，，. （2）设的二阶和数列的前n项和为， 由题意，得，， 所以. （3）因为， 所以，解得. 设数列的公差为d，则， 得， 又因为， 所以，得， 所以k的最大值是1999，此时公差为. 【点睛】关键点点睛：此题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，逻辑推理能力，解题时充分理解新定义，运用新定义，再结合所学知识是解题的关键. 19．(1); (2)数列具有性质，证明见详解; (3) 【分析】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列,根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出,可得,进而推出,分为奇、偶数,求出,综合可得答案. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列,设公比为, 由得 , （2）数列具有性质;证明如下: 因为, 所以 则,即为等比数列, 所以数列具有性质. （3）因为,则 , 故, 适合该式,故, 所以由 得 , 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时, , 当为奇数时, , 故 【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$