4.1数列的概念-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.1数列的概念（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 5 【提升训练】 9 知识回顾 1. 数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 2. 数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4. 数列与函数的关系 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 5. 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 6. 数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．2023 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 8．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）已知数列中，，能使的n可以为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 10．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足,,则（    ） A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列 11．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，则 . 13．（2024高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·全国·课后作业）某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第排与第排座位数有何关系？ (3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？ 16. (15分) （24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 18. (17分) （23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2） 已知数列满足且，求的通项公式. 19. (17分) （23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）. (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前n项和． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（   ） A．设数列的前项积为，则对任意，都有 B．设数列的前项积为，则既有最大值，也有最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，恒成立，则 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知数列,的前n项和分别为,，记，则数列的前2024项和为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（   ） A．2 B．6 C．12 D．20 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江西·阶段练习）若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高三上·辽宁大连·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为 ． 13．（22-23高二上·山西太原·期末）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式 . 14．（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·全国·课后作业）在数列中，，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）在数列{}中，，，求通项公式． 17. (15分) （23-24高三上·广东·阶段练习）已知数列，的前项和分别为，，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围． 18. (17分) （23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列的前项和为，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)令，证明：. 19. (17分) （23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足.若为递减数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）数列中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 10．（21-22高二上·浙江宁波·期末）若数列满足，则（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，时， D．当，时， 11．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ． 13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 14．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式： 都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项； （2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足： ，求通项. 16. (15分) （24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明：． 18. (17分) （24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知数列满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求证：不是单调递增数列； (3)是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. (17分) （2024·河南南阳·模拟预测）若正整数数列满足：①为有穷数列：；②；③当时，满足的正整数对有且仅有个.称该数列为的减数列. (1)写出5的2减数列的所有情况； (2)若存在100的减数列，求正整数的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1数列的概念（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 12 【提升训练】 25 知识回顾 1. 数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 2. 数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4. 数列与函数的关系 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 5. 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 6. 数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．2023 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 8．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）已知数列中，，能使的n可以为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 10．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足,,则（    ） A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列 11．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，则 . 13．（2024高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·全国·课后作业）某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第排与第排座位数有何关系？ (3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？ 16. (15分) （24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 18. (17分) （23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2） 已知数列满足且，求的通项公式. 19. (17分) （23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）. (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前n项和． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D A C B B AD BC 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】根据递增数列的定义即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列； 故选：A 2．A 【分析】根据数列的函数特性进行判断即可. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 3．B 【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得. 【详解】在数列中，，， 所以. 故选：B 4．D 【分析】利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解. 【详解】由，，可得， 则， 即， 故选：D. 5．A 【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定. 【详解】由，，，……， 所以是周期为3的数列，故. 故选：A 6．C 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 7．B 【分析】利用即可求得的值. 【详解】因为数列的前项和， 所以. 故选：B. 8．B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 9．AD 【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案． 【详解】由，，得：，，， 所以数列是周期为3的数列，所以， 故选：AD． 10．BC 【分析】先利用累乘法求得数列的通项公式，再依次判断各选项即可. 【详解】因为数列满足，，， 则当时，，，……，， 所有的式子相乘得，即，当 时也符合通项， 故，数列为递增数列， 故选：BC 11．ABC 【分析】利用的关系式，分类讨论与两种情况，求得，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以当时，，知A正确； 对于B，当时，， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确； 对于CD，， 所以数列为递减数列，故C正确，D错误. 故选：ABC. 12．/ 【分析】先运算得出数列周期，再根据数列的周期性为3，得出即可求值. 【详解】因为，， 所以， 所以，数列的周期为3，所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据数列的单调性，得到，从而得到对于任意的恒成立．求出，得到. 【详解】由数列是递增数列，可得，对于任意的恒成立， 即，即， 即对于任意的恒成立． 因为单调递减，所以，所以． 故答案为： 14．0 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】时， 故答案为：0. 15．(1)20，22，24，26，28 (2)第排比第排多2个座位 (3)能, 【分析】（1）根据题意后一排都比前一排多2个座位，直接写出前五排座位数即可； （2）根据数列项与项数的关系结合题意写出即可； （3）根据（2）可直接写出递推公式. 【详解】（1）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位， 所以前五排座位分别为：20，22，24，26，28； （2）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位， 故第排与第排座位数的关系为：第排比第排多两个座位； （3）由（2）可知，能用等式表示第排座位数与第排座位数的关系， 即. 16．（1）（2） 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 17．(1) (2)递增数列 【分析】（1）直接令，解不等式即可； （2）化简，分析函数的单调性，即可判断数列的单调性. 【详解】（1）由题可知， 若，即，解得，故最小值为． （2）因为， 因为，所以，， 所以， 令，取，， 则， 所以， 所以在上是递增的， 所以是递增的， 即数列是递增数列. 18．（1）；（2） 【分析】（1）利用进行求解； （2）将原式变形成，利用累加法进行求解. 【详解】（1）当时，； 当且时，； . （2）由题设，即，而， 所以，且， 所以，显然也满足上式，故. 19．(1) (2) 【分析】 （1）根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为（，），所以当时，， 所以当时， ， 当时，也成立， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则 ， 所以. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（   ） A．设数列的前项积为，则对任意，都有 B．设数列的前项积为，则既有最大值，也有最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，恒成立，则 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知数列,的前n项和分别为,，记，则数列的前2024项和为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（   ） A．2 B．6 C．12 D．20 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江西·阶段练习）若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高三上·辽宁大连·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为 ． 13．（22-23高二上·山西太原·期末）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式 . 14．（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·全国·课后作业）在数列中，，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）在数列{}中，，，求通项公式． 17. (15分) （23-24高三上·广东·阶段练习）已知数列，的前项和分别为，，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围． 18. (17分) （23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列的前项和为，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)令，证明：. 19. (17分) （23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A C C B ACD ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】先由数列递推公式求得，再由可求得，由的关系式可求得，即可判断A错误，再由数列的取值及其单调性，可得B正确，经判断可知数列中的最大项为，即C错误，结合C中结论可知解不等式得或，即D错误. 【详解】由， 可得； 两式相减可得， 当时，可得符合上式； 又数列的前项和为，且可得； 当时，可得， 当时，可得符合上式，可得； 所以可知当时，，当时，； 又， 对于A，显然当时，，即A错误； 对于B，易知， 当时，， 因此可得，且； 由可知当或时，取得最大值； 当时，有最小值，可得既有最大值，也有最小值，即B正确； 对于C，由可知， 易知且，即可得数列中的最大项为，即C错误； 对于D，若对任意，可知， 由恒成立，结合C中分析可得即可， 又可得，解得或，即D错误. 故选：B 2．D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 3．B 【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可； 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误； 对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误； 对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误； 故选：B. 4．B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 5．A 【分析】根据,与的关系，将化简即可得当时，累加可得结果. 【详解】当时，； 当时， 所以. 故选：A. 6．C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 7．C 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列， 所以只需满足，解得， 故选：C 8．B 【分析】根据题意，得到，，结合求和公式，分类讨论，计算即可. 【详解】由题意，得，， 则由给出的公式得到，， 得， 整理得，所以. 因为，为正整数，所以或6. 因此有或，而无整数解，因此. 故选：B. 9．ACD 【分析】对于A，由，可判断A；对于B，，可判断B；对于C，当时，可得，当时，可得，可判断C；对于D，数列是以3为周期的周期数列，可判断D. 【详解】对于A，，当时最小，满足题意，A正确； 对于B，， 当，，所以，B错误； 对于C，，当时，， 当时，，且随n的增大而减小，符合题意，C正确； 对于D，， 数列的前7项依次为，，1，，，1，， 该数列是以3为周期的周期数列，故D正确． 故选:ACD. 10．ACD 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意可知，，B选项错误. ， ，A正确. ， ，C正确. ， .D选项正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】根据及，代入计算即可求出，进而判断选项. 【详解】因为， 所以当时， ； 当时， . 当时，不符合上式，故， 故选：AD 12．； 【分析】通过研究通项的单调性，即可求出数列前项中的最大项与最小项. 【详解】＝， 当时，＞0，且单调递减； 当时，＜0，且单调递减． 因此数列{an}前项中的最大项与最小项分别为第项，第项， 故答案为： 13． 【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个，与每次挖掉的正方形个数所构成的数列的通项，即可根据等比数列的定义得出递推公式. 【详解】图③中共挖掉了个， 设每次挖掉的正方形个数为， 根据图形得，，，，则， 则递推式为. 故答案为：；. 14． 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 15．(1)共有项为负 (2)从第项开始数列递增 (3)有，最小值为 【分析】（1）由求得正确答案. （2）利用差比较法进行判断. （3）根据二次函数的性质确定正确答案. 【详解】（1）由， 解得，，所以数列前项为负数， 也即共有项为负数. （2）因为， 当，即从第项开始数列开始递增. （3）， 根据二次函数的性质知，当时，取得最小值， 即数列中有最小值，最小值为. 16．． 【分析】由递推公式可得，再利用累加法即可得解. 【详解】原递推式可化为， 则， ，…，， 逐项相加，得， 故． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法结合累乘法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得，进而解不等式. 【详解】（1）由已知，所以， 当时，， 两个等式相减得， 整理可得， 即，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 因为，所以， （2）由（1）得，所以①， 所以②， ①②，得， 即， 所以， 则，恒成立， 所以是关于的增函数，且， 所以，所以，即. 18．(1)（）；（） (2)证明见解析 【分析】（1）先根据计算得出通项公式,结合对数运算得出即可； （2）应用等差数列先求出,再应用裂项相消求和即可证明. 【详解】（1）当时，； 当时，，又， 两式相减，得， 化简得. 因为，所以数列是首项为4，公比为16的等比数列， 所以（）， 所以（）. （2）由（1）知， 所以. 当时，成立； 当时，， 故成立. 综上所述，（）均成立. 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足.若为递减数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）数列中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 10．（21-22高二上·浙江宁波·期末）若数列满足，则（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，时， D．当，时， 11．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ． 13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 14．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式： 都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项； （2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足： ，求通项. 16. (15分) （24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明：． 18. (17分) （24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知数列满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求证：不是单调递增数列； (3)是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. (17分) （2024·河南南阳·模拟预测）若正整数数列满足：①为有穷数列：；②；③当时，满足的正整数对有且仅有个.称该数列为的减数列. (1)写出5的2减数列的所有情况； (2)若存在100的减数列，求正整数的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A C C D B ACD AD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据数列的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意可知且， 由于为递减数列， 所以，，， 所以. 故选：C 2．C 【分析】根据递推式求出,,的值,可以发现数列为周期数列,从而推出的值. 【详解】因为,,所以,,, 所以数列的周期为3,所以． 故选:C． 3．C 【分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD. 【详解】由可得， 由于，所以， 故，故， 又可得， 因此， 故，故AB错误， 又，又因为，则等号无法取到， 故， 由于故，因此 ，故C正确，D错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解. 4．A 【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可. 【详解】由题知是的正整数解， 故， 取指数得， 同除得，， 故，即， 根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确. 故选：A 5．C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案． 【详解】由题意,易知，由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以． 故选：C 6．C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 7．D 【分析】先根据题意得到的值，再后续数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解. 8．B 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 9．ACD 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以，A项正确； 对于B，由，得当2时，， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，B项错误； 对于C，因为，所以当或时，取得最小值-20，C项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ACD. 10．AD 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质即可判断选项A； 由选项A可知，根据累乘法得到，结合不等式的性质即可判断选项B； 举例，即可判断选项C； 将递推公式变形可得，结合裂项相消法即可判断选项D. 【详解】A：当时，， 所以，当且仅当即时等号成立， 又， 所以等号取不到，故A正确； B：由A知，由累乘法得，所以， 所以，故B错误； C：当时，，不满足题意，故C错误； D：当时，， 所以， 有，即， 所以 ，故D正确. 故选：AD 11．BD 【分析】由已知数列递推式，可得是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项 【详解】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 12．/ 【分析】根据的奇偶性可得的最小值，只需要考虑为偶数时即可，根据作商法得，结合可得时，，即可判断时取最小值. 【详解】由于当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又， 且当时，，因此时，， 当，， 当，， 综上，最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 13． 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 14． 【分析】利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，从而利用数列的周期性即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 15．（1）（2） 【分析】（1）利用累加法的思想求通项公式； （2）利用累乘法的思想求通项公式. 【详解】（1）当时， ＝ ＝＝, 也符合上式，所以数列的通项公式是. （2）当时，, 也符合上式， 所以数列的通项公式是. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用求出通项公式； （2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然满足上式，故的通项公式为； （2）， 所以 ， 故，变形得到， 其中， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又，故当或时，取得最小值， 当时，，当时，， 故的最小值为，所以. 所以的取值范围是. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对条件中的等式等式进行化简得，因为，所以，从而求得数列通项公式； （2）对的等式进行化简由裂项相消得到数列的和. 【详解】（1）由可得①， 又， ①两边同取以2为底的对数得， ， 而，故， 得． （2）， 故 ， 即． 18．(1)，. (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由递推公式逐项计算； （2）假设数列单调递增，由递推公式得到，得到，再由借助单调性说明，发现矛盾即可求证； （3）由递推公式可得：进而说明，找到矛盾，即可解决问题. 【详解】（1），，，，. （2）假设数列单调递增， 因为，   所以， 所以 所以 所以， 所以，矛盾. 所以假设不成立， 所以数列 不是单调递增数列. （3）若， 因为，， 所以 因为，又，所以，     所以，， 所以， 因为，所以 所以，即 因为，且 所以 所以 所以 即，所以， 又所以， 此时 ，矛盾   所以不存在，使得 . 【点睛】思路点睛：由递推公式求某一项，常用思路，利用代入法，逐项计算；证明一个以否定结论出现的命题时，一般思路为正难则反，即可考虑反证法.对于是否存在性的问题，一般思路，假设存在，在已知条件的基础上推出矛盾的结论. 19．(1)所有5的2减数列有数列､数列和数列； (2)1250. 【分析】（1）由，根据定义对数列中的项和排列顺序进行讨论，得到符合条件的数列； （2）对的值和与的大小关系进行讨论，得到数列中的项和排列形式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】（1）由题意得，则或或， 故所有5的2减数列有数列､数列和数列. （2）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，所以. 当时， 若，交换的顺序后变为，所以此时不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，则变大， （当数列末尾添加一项1后，因为数列中必存在大于1的项，所以必会变大） 所以此时不是最大值，所以. 若数列中存在相邻的两项，将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值会变大，所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1， 所以数列为的形式，设其中有项为2，有项为1， 因为存在100的减数列，所以， 所以， 所以，当且仅当时， 取最大值为1250， 所以，若存在100的减数列，的最大值为1250. 【点睛】方法点睛： 数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 本题要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$