3.3抛物线-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.3抛物线（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 16 【提升训练】 31 知识回顾 1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 3. 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 4. 抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 5. 直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 6. 有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 10．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 11．（2024·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 . 13．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为 . 14．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 16. (15分) （23-24高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 17. (15分) （24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 18. (17分) （24-25高二上·江苏盐城·期中）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 19. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C C C D C ABD BD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．B 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 3．A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 4．C 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 5．C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 6．C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 7．D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 8．C 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 9．ABD 【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D. 【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确； 设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，， 所以，即直线的倾斜角为，故B正确； 因为，故C错误； 因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，， 又，所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD.    10．BD 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D. 【详解】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积. 【详解】如图： 不妨设点在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为. 则，又，所以，所以. 所以. 故答案为： 13． 【分析】将点A代入抛物线方程，求得，然后利用两点式写出直线的方程，然后求出与准线交点的坐标，再利用两点距离公式求得结果. 【详解】 如图，点在抛物线上，所以，解得， 易得的焦点为，所以直线的方程为， 即，联立方程有，解得 所以点坐标为，所以， 故答案为： 14． 【分析】由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合抛物线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】抛物线的焦点是，准线是：， 设点到直线的距离为，则， 所以，当且仅当且在与之间时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 15．(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 16．(1)； (2). 【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程； （2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. （2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 17．(1)，准线方程为. (2)3 【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 18．(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 19．(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点. 若，则（     ） A．6 B．3 C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D．3 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是(    ). A．直线过抛物线的焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与直线相切 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 11．（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．A，O，三点共线 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 13．（24-25高二上·陕西榆林·期中）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 16. (15分) （24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求证：. 17. (15分) （24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 18. (17分) （24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 19. (17分) （24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D D A A B ACD BCD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】设等边三角形的边长为，由对称性可得在抛物线上，代入，即可求. 【详解】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 2．D 【分析】根据抛物线的焦点可知，且焦点在y轴上，再结合离心率求，即可得方程. 【详解】因为抛物线，即为，其焦点坐标为， 即椭圆的一个焦点为，可知，且焦点在y轴上， 又因为，即，可得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 3．B 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义计算即得. 【详解】抛物线的焦点为，直线的方程为， 由消去得，显然， 设，则，， 所以. 故选：B 4．D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 5．D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 6．A 【分析】根据抛物线准线可得，根据离心率可得顶点和渐近线，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 则为双曲线的焦点，即， 又因为离心率为，可得， 且，解得， 取渐近线为，即，取顶点为， 所以的顶点到渐近线的距离为. 故选：A. 7．A 【分析】由抛物线的定义知道，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 8．B 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 9．ACD 【分析】分别写出抛物线的焦点和直线所过定点，即可得出A选项；当时联立直线和抛物线方程，由韦达定理和抛物线弦长公式分别计算B和C选项；设线段的中点为，计算得出，即可判断D选项. 【详解】由题意知抛物线的交点坐标为，准线方程为，直线 过定点，所以直线过抛物线的焦点，故A正确； 当时，直线的方程为，联立，消去得，， 设，，则，所以，两点横坐标的和为6，故B错误； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 设线段的中点为，则，所以以为直径的圆与直线相切，故正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错； 对于B选项，若直线过焦点，则， 线段的中点到直线的距离为，所以，， 因此，以为直径的圆与相切，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时，，C对； 对于D选项，线段的中点坐标为， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得， 由作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 11．AC 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC 12． 【分析】根据抛物线的定义及弦长公式可求得结果. 【详解】设，， 根据抛物线定义，，，得， 由，且，得， 故答案为：． 13．6 【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值． 【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为， 当时，所以，因为，所以点在抛物线内部， 如图，    过作准线的垂线垂足为，交抛物线于， 由抛物线的定义，可知， 故． 即当、、三点共线时，距离之和最小值为． 故答案为：． 14． 【分析】由抛物线的焦半径公式（或定义）求得点坐标，然后可计算三角形面积. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设， 因为，可得， 则，即， 则的面积为． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【详解】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 16．(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【详解】（1）直线的方程为， 联立得， 设，则， 则；    （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 则， 故， 故. 17．(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 18．(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【详解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高二上·陕西榆林·期中）过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·湖南湘西·模拟预测）过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·广西南宁·期中）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为2 B．圆E与抛物线C至少有两条公切线 C．若圆E与抛物线C的准线相切，则轴 D．若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则 11．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A． B．以为直径的圆与x轴相切 C．F的坐标为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 . 13．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为 ． 14．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为 ，的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 16. (15分) （24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 17. (15分) （24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 18. (17分) （2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 19. (17分) （2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C B B B C BD ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 2．B 【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 【详解】因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°. 因为F到准线的距离为6， 所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 故选：B.    3．B 【分析】由题意作图，根据余弦的二倍角公式，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下： 由与圆相切，则，且， 设，则，可得， 的最小值为，的最大值为. 故选：B. 4．C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 5．B 【分析】设联立抛物线并应用韦达定理、面积公式列方程得，进而求线段中点的横坐标. 【详解】由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，，则， 所以，可得， 又，故线段中点的横坐标为4. 故选：B 6．B 【分析】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形， 有，又，所以， 联立，得， 设，则， 由抛物线的定义，. 故选：B.    7．B 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得或， 且，所以，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 8．C 【分析】由题意，将原点坐标代入可得；通过放缩可得不等式，进一步可判断第二个序号；取点即可判断第三、四个序号. 【详解】对于①，由题意点在曲线C的上面，当且仅当， 因为曲线C过原点且，所以，故①正确； 对于②，若点在C上， 则 ，故②正确； 对于③，在中，当时，化简得 令，可得，故③正确； 对于④，当点在C上时，由③可知点不满足，故④错误； 说法正确的个数是3. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 9．BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 10．ACD 【分析】根据题意，联立直线与抛物线的方程，结合抛物线与圆的位置关系以及抛物线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】联立方程组，消去可得， 解得，因为，，所以， 于是，则的最小值为2，故A正确； 此时圆与抛物线只有一条公切线为轴，故B错误； 若圆E与抛物线C的准线相切，则，即， 到准线的距离为4，所以轴，故C正确； 由可得，则为等边三角形， 又焦点到准线的距离为4，则，故D正确； 故选：ACD 11．AB 【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断A；求出点的坐标，即可判断B，D； 【详解】抛物线的焦点为，故C错误； 点在抛物线C上，若， 则，所以，故A正确； 代入，得，故或 所以，故D错误； 所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为， 所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径， 故以为直径的圆与x轴相切，故B正确； 故选：AB 12． 【分析】设，设直线：，联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系得到，由抛物线的定义可得，由此求出，代入，化简即可得出答案. 【详解】设，，由题意设直线：， 联立可得：， ， 由抛物线的定义可得：， 所以 ， 所以，又因为， 所以，解得：. 故答案为：. 13． 【分析】直线的斜率分别为，由倾斜角得出，由题意设直线的方程为，，，，由直线方程与抛物线方程联立可得出，并解出，利用，，，代入得出关于的方程，解之可得． 【详解】由题意设直线的方程为，，，， 焦点为， 直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为，， 是的角平分线，则，即， 所以，即， 由得，，， ，， 又，，，， 代入得． ， 由得 ，， 由得，， 所以，化简得， 解得（舍去负值）， 所以直线的方程为，即， 故答案为：． 【点睛】难点点睛：解答此题的难点在于复杂的计算，并且计算过程基本都是字母参数的运算，因此需要在明确解题思路的前提下，计算要分外小心. 14． 【分析】根据外心的性质设，即可根据得，即可求解轨迹方程，利用抛物线的定义，结合三点共线即可求解最值. 【详解】不妨设点，， 根据点是的外心，设， 而，则，所以 从而得到点的轨迹为，焦点为 由抛物线的定义可知， 因为，即，当点在线段上时等号成立． 故答案为：，. 15．(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 16．(1)， (2)2 【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 17．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线定义求出得解； （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及中点坐标得解； （3）由根与系数的关系及直线的两点式方程，化简可得出直线在轴截距为0得证. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，， 因为的斜率不为，设方程为，， 由，化简的， 所以， 又由，得， 所以方程为，即； （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：， 又因为， 所以，， 所以直线经过原点. 18．(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹的方程； （2）设出直线的方程，根据直线与曲线相切得到关于的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出的面积，最后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】（1）设，则，所以， 因为，所以， 所以P点到轨迹为； （2）设，， 因为为曲线的切线，联立可得， 所以， 由可得， 所以， 且，， 所以， 又因为原点O到AB的距离为， 所以， 当且仅当，即或时等号成立（此时满足）， 综上可知面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（r为内切圆半径）. 19．(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解； （2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    【点睛】关键点睛：解析几何大多数定值问题，会采取设而不求，联立方程后，结合韦达定理整体代入求解，从而简化运算. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3抛物线（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 6 【提升训练】 10 知识回顾 1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 3. 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 4. 抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 5. 直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 6. 有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 10．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 11．（2024·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 . 13．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为 . 14．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 16. (15分) （23-24高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 17. (15分) （24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 18. (17分) （24-25高二上·江苏盐城·期中）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 19. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点. 若，则（     ） A．6 B．3 C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D．3 7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是(    ). A．直线过抛物线的焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与直线相切 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 11．（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．A，O，三点共线 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 13．（24-25高二上·陕西榆林·期中）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 16. (15分) （24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求证：. 17. (15分) （24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 18. (17分) （24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 19. (17分) （24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则线段中点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高二上·陕西榆林·期中）过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·湖南湘西·模拟预测）过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·广西南宁·期中）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为2 B．圆E与抛物线C至少有两条公切线 C．若圆E与抛物线C的准线相切，则轴 D．若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则 11．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A． B．以为直径的圆与x轴相切 C．F的坐标为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 . 13．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为 ． 14．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为 ，的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 16. (15分) （24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 17. (15分) （24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 18. (17分) （2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 19. (17分) （2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$