3.2双曲线-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.2双曲线（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 15 【提升训练】 31 知识回顾 1. 双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 3. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 4. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 5. 离心率的几何性质 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 6. 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 7. 弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高二上·河北·期中）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·天津滨海新·期中）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（    ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 11．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（   ） A．直线l斜率的取值范围为 B．点M与点N的横坐标都为a C．为直角三角形 D．面积的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 13．（24-25高二上·四川自贡·期中）在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河北·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 16. (15分) （24-25高二上·浙江绍兴·期中）曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 18. (17分) （24-25高二上·吉林长春·期中）已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. (1)若，且四边形是矩形，求的值； (2)若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 19. (17分) （24-25高二上·福建龙岩·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的右顶点在圆上，且. (1)求的方程； (2)点在上，且轴，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A D C B BD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程. 【详解】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 2．C 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 3．D 【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【详解】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D 4．B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 5．A 【分析】根据渐近线方程求解即可. 【详解】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以． 故选：A． 6．D 【分析】根据离心率可求，故可求渐近线方程. 【详解】因为离心率为2，故，故， 故渐近线方程为：， 故选：D. 7．C 【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，，由此可得结果． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，则，即， 则双曲线方程可化为：， 由双曲线过点，得，解得：，， 所以双曲线方程为：． 故选：C 8．B 【分析】根据条件，确定渐近线倾斜角的范围，再根据渐近线的斜率的范围表示双曲线的离心率的范围. 【详解】由知；两条渐近线之间的夹角小于，故；故离心率. 故选：B 9．BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10．AD 【分析】利用给定的椭圆、双曲线方程，结合它们的相关性质逐项判断. 【详解】对于A，双曲线的渐近线为，A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，B错误； 对于C，椭圆中，长半轴长，半焦距，离心率，C错误； 对于D，由，解得，此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，D正确. 故选：AD 11．BCD 【分析】对于A，先得出的倾斜角的取值范围，进一步得斜率范围即可判断；对于B，由双曲线定义即可求解；对于C，直接验算即可；对于D，根据三角函数、三角形面积公式验算即可. 【详解】解：因为双曲线的其一条渐近线为， 故双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和， 作图可知，    若直线l过点且与双曲线C的右支有两个交点， 则直线l倾斜角的取值范围为，则直线l斜率的取值范围为，故A错误； 设焦距为2c，由题可知，故， 如图，过点M分别作，，的垂线，垂足分别为D，E，H， 易得，，， 因为，所以， 又，得，， 所以，M点横坐标为a， 同理可得N点横坐标也为a，故B正确; 设直线l的倾斜角为，则， 所以，即是直角三角形，故C正确; 易得，则，， 所以，，， 由对勾函数可得，当且仅当时等号成立，则最小为， 所以三角形的面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据点差法可求的关系，从而可求离心率. 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 13． 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 14．3 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）设双曲线的方程为，代入点即可求解； 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得， 整理得. （2）设双曲线的方程为，将，代入得： ，解得， 所以双曲线方程为. 16．(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出； （2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案. 【详解】（1）表示双曲线，则， 解得， 故的取值范围是； （2）时，曲线为双曲线， 设，，故， 因为， 所以， 解得， 故点的横坐标为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 18．(1)4 (2)①；② 【分析】（1）由，确定是椭圆，根据椭圆的对称性和焦点三角形解法可得； （2）先根据求得，即可求出曲线方程，根据双曲线的性质计算①②. 【详解】（1）当时，曲线：是椭圆，，    因为四边形是矩形，所以， ， 由椭圆的定义得， 所以； （2）设，则，， 设，则，与相减得， 所以， 所以． 所以，所以是双曲线，且曲线：； ①因为，所以离心率； ②．    19．(1)； (2). 【分析】（1）根据已知可得且，即可确定双曲线方程； （2）由（1）有，令、渐近线为，应用点线距离公式求距离，即可结果. 【详解】（1）由题意，又，即，又， 由，即， 所以. （2）由（1）知：，将代入双曲线，得， 令，又双曲线渐近线为，如下图示， 所以，，则. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．（24-25高三上·广西·期中）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 8．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二·全国·课后作业）已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A．若，则C为双曲线 B．若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C．若，则C不可能表示圆 D．若，则C为两条直线 10．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（   ） A．始终垂直于轴 B． C． D． 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为、，过左焦点的直线交双曲线左支于、两点．若，则 ． 14．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 16. (15分) （24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 17. (15分) （24-25高三上·内蒙古通辽·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为， (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. (2)已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 18. (17分) （24-25高二上·河北·期中）已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 19. (17分) （24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B B A C AB ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 2．B 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 3．A 【分析】由题意得，设与交于点，可得，利用双曲线定义可得，由离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 设与交于点，如图， 由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 可得， 又因为， 可得，即， 所以双曲线E的离心率为. 故选：A. 4．C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 5．B 【分析】画出图形，运用双曲线定义，求出a，运用面积公式计算，得到，结合余弦定理，求出b，c即可. 【详解】则由双曲线定义可知，， 所以，，， 所以， 解得， 因为为钝角，所以，所以， 由余弦定理可知， 所以，， 所以双曲线方程为. 故选：B. 6．B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 7．A 【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到，的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用，，表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率． 【详解】因为，所以△， 设，则，设，则，， 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由得， 所以，即是等边三角形， 所以， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 8．C 【分析】根据题意可得，，，利用余弦定理列式求解即可. 【详解】由题意可知：，，且，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 9．AB 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 10．ABC 【分析】由与的内切圆性质可得和点的横坐标判断AB；设出直线的倾斜角，求出的表达式并求出其范围判断CD. 【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确； 对于B，由分别平分，得， 因此，B正确； 对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点）， 在中，， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，从而，C正确，D错误. 故选：ABC    11．ACD 【分析】根据渐近线方程求，根据双曲线方程求离心率，即可判断AB，根据双曲线的定义，结合数形结合判断C，根据双曲线方程求点的坐标，再根据的面积和周长，即可求内切圆的半径，判断D. 【详解】A.由双曲线方程可知，双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 所以的方程为， 故A正确； B.由双曲线的方程， 可知，，， 则，所以离心率， 故B错误； C.，， ， 当点三点共线且依序排列时，等号成立， 所以的最小值为， 故C正确； D. D. 的方程为，当时，，， ， 计算可得，，， 所以的面积为， 的周长为， 设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确. 故选：ACD 12．/ 【分析】设，，，易得，令，，利用双曲线的性质可得，，，进而由直角，可得，可求离心率. 【详解】设，，． 所以，所以，所以， 令，，则，，， 解得，则，． 在中，由，得， 则，所以双曲线的离心率为． 故答案为：． 13． 【分析】利用双曲线的定义可得出关于的值. 【详解】在双曲线中，， 由双曲线的定义可得， 又，， 则. 故答案为：. 14．30 【分析】由直线的斜率公式求出直线的斜率，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，求出，再根据向量的数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 【详解】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 17．(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果. （2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可. 【详解】（1）由双曲线的焦距为8，得，由离心率为2，得，则， 所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为， 焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为. （2）依题意，，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 18．(1) (2)或． 【分析】（1）由条件直接得出焦距，结合双曲线表示出，建立方程解得的值，便可以写出双曲线方程的标准方程； （2）设直线方程，联立方程组，由韦达定理表示出焦点弦长，解得斜率的值，从而得出直线的方程. 【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为， ∵，即，∴，∴，∴， 双曲线的标准方程为：． （2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交， ∴设直线的方程为， 联立方程组得， ，解得， 由韦达定理可知， 即， 解得或． 所以直线的方程为或． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解； （2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积； （3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解. 【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则， 解得， 则双曲线方程； （2）联立双曲线与圆的方程， 即，解得， 由点在第一象限，则， 又， 所以； （3）由已知直线，即，    联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 7．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 10．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（   ） A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹可能是一个定点 C．点的轨迹不可能是圆 D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 11．（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线左支上一点，满足且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为 ． 14．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有共同的焦点，，点P为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1)求与的方程； (2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 17. (15分) （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 18. (17分) （24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； (3)过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 19. (17分) （23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D B B D ACD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据题意，设点，再由向量的坐标运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】设点，因为，所以， 即，又点为曲线上任意一点， 所以，即，即点的轨迹方程为． 故选：B． 2．A 【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知，再根据双曲线的离心率公式，即可求出结果. 【详解】由双曲线可知：其中一条渐近线的斜率为， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A. 3．B 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 4．C 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，，在中，利用余弦定理求得之间的关系，进而求得之间的关系，即可得出答案. 【详解】 由双曲线定义知，因为， 所以，， 在中，因为，， 所以， 即，化简得， 又，所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 5．D 【分析】根举双曲线的定义表示各边，在和中应用余弦定理，根据面积比求出答案. 【详解】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 6．B 【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接. 由题意得， ∵M为线段FP的中点，为线段的中点， ∴， 由双曲线定义得，，故. 故选：B. 7．B 【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程. 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用点差法表示出直线的斜率，由此即可顺利得解. 8．D 【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率. 【详解】由题意得，，渐近线方程为. 因为，所以直线的方程为. 由得，即， 由得，即， 所以， ， 因为，所以，整理得， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 9．ACD 【分析】根据题意，然后根据双曲线的定义，结合通过余弦定理即可得出结果. 【详解】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得，知，则， 中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误； 设，则中由余弦定理,可得， 则，C正确； ，D正确； 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】对A，如图1，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对； 对B，如图2， 当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对； 对D，如图3，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对； 对C，当点与点重合时，如图4， 则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点， 此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】根据椭圆的关系可求解选项A；利用椭圆和双曲线的定义求解选项B、C；利用向量数量积的坐标表示求解选项D. 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 12．/ 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据双曲线的定义、焦点三角形等知识求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得①， 由于且直线的斜率为2， 所以②， 由①②得，所以， 所以. 故答案为：    14． 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得： ， 在椭圆中，， 得， 在双曲线中，， 得， 从而，得， 则，，即， ，即， 所以. 当且仅当时等号成立. 故答案为：. 15．(1)的方程为的方程为 (2) 【分析】（1）由，结合椭圆、双曲线定义列方程即可求解； （2）确定方程，联立方程，求得坐标，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 记，则. 由椭圆的定义可得，. 由双曲线的定义可得，. 所以的方程为的方程为. （2）由题意得，则直线的方程为. 设. 联立得，所以.所以， 所以. 16．(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 17．(1) (2)9 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【详解】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9 18．(1) (2)，，. (3) 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果； （3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入可得， 当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点， 即直线的方程为，； 当时，， 即，可得，此时直线与双曲线相切， 直线的方程为； 显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足； 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条： ，，. （3）当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即， 所以，，此时直线的方程为， 则到的距离为0； 当直线的斜率为0时，则与重合，，， 此时直线的方程为，则到的距离为0； 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为， 设， 直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以， 所以， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以，所以， 则 ，， 所以直线的方程为， 即， 所以，即， 故直线过定点， 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，的横坐标均为，此时，直线的方程为， 过点； 综上所述，直线过定点. 所以点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、，    联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2双曲线（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 3. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 4. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 5. 离心率的几何性质 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 6. 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 7. 弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高二上·河北·期中）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·天津滨海新·期中）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（    ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 11．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（   ） A．直线l斜率的取值范围为 B．点M与点N的横坐标都为a C．为直角三角形 D．面积的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 13．（24-25高二上·四川自贡·期中）在平面直角坐标系中，已知点点的轨迹为.则的方程为 . 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河北·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 16. (15分) （24-25高二上·浙江绍兴·期中）曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 18. (17分) （24-25高二上·吉林长春·期中）已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. (1)若，且四边形是矩形，求的值； (2)若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 19. (17分) （24-25高二上·福建龙岩·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的右顶点在圆上，且. (1)求的方程； (2)点在上，且轴，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．（24-25高三上·广西·期中）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 8．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二·全国·课后作业）已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A．若，则C为双曲线 B．若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C．若，则C不可能表示圆 D．若，则C为两条直线 10．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（   ） A．始终垂直于轴 B． C． D． 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为、，过左焦点的直线交双曲线左支于、两点．若，则 ． 14．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 16. (15分) （24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 17. (15分) （24-25高三上·内蒙古通辽·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为， (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. (2)已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 18. (17分) （24-25高二上·河北·期中）已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 19. (17分) （24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·全国·模拟预测）若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 7．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 10．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（   ） A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹可能是一个定点 C．点的轨迹不可能是圆 D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 11．（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线左支上一点，满足且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为 ． 14．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有共同的焦点，，点P为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1)求与的方程； (2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 17. (15分) （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 18. (17分) （24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； (3)过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 19. (17分) （23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$