2.4圆的方程-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.4圆的方程（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 11 【提升训练】 23 知识回顾 1. 圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2. 点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3. 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 10．（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 11．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 13．（23-24高二下·全国·课前预习）方程表示的圆的圆心为 ，半径为 . 14．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 16. (15分) （23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 17. (15分) （23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 18. (17分) （24-25高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线过点且与直线垂直. (1)求直线的一般式方程； (2)求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 19. (17分) （2023高一·全国·专题练习）已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D B D A AC BCD 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】由圆的性质可知，圆心在直线与直线垂直平分线的交点处，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则与直线的垂直平分线的直线方程为即，则圆心在直线与垂直平分线的交点处，则联立方程组： ，解得，则圆心为，，所以圆的方程为： . 故选：A 2．C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 3．B 【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可. 【详解】由题可知圆心坐标为. 故选：B 4．B 【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程. 【详解】由题意知，在圆上，圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为， 则一般方程为：， 故选：B. 5．D 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于求解. 【详解】原方程可化为， 方程表示圆，则有，即. 故选：D 6．B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 7．D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 8．A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 9．AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 10．BCD 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确. 【详解】圆：， 所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误； 因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确； 对D：由且或，故D正确. 故选：BCD 11．AB 【分析】根据圆的一般方程列式求得，结合选项即可得结果. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 结合选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 12． 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点坐标代入，就可求得外接圆方程. 【详解】设外接圆方程为， 因为原点，，三点都在圆上，所以有 ，解得，则圆的方程为， 故的外接圆方程为. 故答案为： 13． 3 【分析】将圆的一般式方程转化为标准式，即可得解. 【详解】根据题意，方程， 即， 所以圆心为，半径为3. 故答案为：；3. 14． 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程； （2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 16．（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 17． 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般式方程； （2）利用点到直线的距离计算出所求圆的半径，先求出所求圆的标准方程，化为一般方程即可. 【详解】（1）解：因为直线过点且与直线垂直， 设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 所以，直线的一般式方程为. （2）解：由题意可知，所求圆的半径为， 故所求圆的标准方程为， 化为一般方程即为. 19．(1) (2)是，圆心坐标为，半径 【分析】（1）根据可列出方程，化简即得答案； （2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 7．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知曲线，则下列说法错误的是（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 10．（22-23高二上·河北张家口·期末）下列选项正确的有（    ） A．表示过点，且斜率为2的直线 B．是直线的一个方向向量 C．以，为直径的圆的方程为 D．直线恒过点 11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 13．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为 . 14．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知点，，，则的外接圆方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·甘肃白银·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与直线相交于两点，求的值. 16. (15分) （22-23高二上·四川成都·阶段练习）设，为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值2. (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值. 17. (15分) （2024高二·全国·专题练习）已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 18. (17分) （24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 19. (17分) （2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D A D C AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 2．B 【分析】求得线段与的垂直平分线交点可得圆心，再求得半径即可. 【详解】由可知， 的中点坐标为，因此可知圆心在线段的垂直平分线上， 又可知，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即； 联立，解得，因此圆心坐标为， 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B 3．A 【分析】根据垂直关系确定斜率，结合圆心坐标并应用点斜式写出直线方程. 【详解】由直线与直线垂直，故所求直线斜率为1， 又经过圆的圆心，故所求直线为， 所以所求直线方程为. 故选：A 4．A 【分析】设，表达出，代入中，求出点的轨迹方程. 【详解】设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 5．D 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 6．A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 7．D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 8．C 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，结合图形逐项分析判断即可. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：C 9．AC 【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可. 【详解】由知方程表示圆心为的圆，A正确； ，当时表示圆，当时表示点，当不表示任何图形，B错误； 因为，所以方程表示圆， 方程可化为，所以圆半径，C正确； 方程可化为表示点，不是圆，D错误． 故选：AC 10．BCD 【分析】 根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】A选项：方程，，点不在直线上，A选项错误； B选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B选项正确； C选项：设是所求圆上任意一点，则 ， 因为，， 所以 ， 即所求圆的方程为，C选项正确； D选项：直线方程化为， 由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D选项正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据圆的标准方程、圆的一般方程及点与圆的位置关系判断即可. 【详解】A，圆的方程都能写成一个二元二次方程,A正确； B，圆的一般方程和标准方程是可以互化的，B正确； C，不表示圆，方程可化为，故不表示圆，而表示点，C错误； D，因为点在圆外，所以， 即，D正确. 故选：ABD. 12．2 【分析】根据题意可得圆的标准方程，进而可得一般方程，进而可得，即可得结果. 【详解】因为圆心为，半径为1的圆的方程为，即， 结合题意可得，所以. 故答案为：2. 13． 【分析】设点，则最短弦过点P且与垂直，根据两直线垂直时的斜率关系及点斜式方程求解. 【详解】由题意知，圆，设点，最短弦过点P且与垂直， 因为，所以最短弦所在直线的斜率， 所以最短弦所在的直线方程为，即． 故答案为：． 14． 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设外接圆的方程为， 因为，，， 所以，解得， 因此外接圆的方程为，， 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）设圆的方程为，将已知条件代入，解方程组，可得到的值，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再根据直线与圆相交时的弦长公式，即可得到弦的长. 【详解】（1）设圆的方程为， 由已知可得方程组，解之得：， ∴圆的方程为． （2）由（1）可知，圆的圆心为，由点到直线距离公式可知： 圆心到直线的距离为：， 当直线与圆相交时，由弦长公式，得. 16．(1) (2) 【分析】 （1）设，根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程. （2）根据圆的几何性质求得面积的最大值. 【详解】（1）设，依题意， ， ， 即轨迹的方程为：. （2）由于轨迹的方程为：， 所以轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以三角形面积的最大值为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得. （2）设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， （3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 18．(1) (2) (3)5 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 19． 【分析】根据题意，设圆的方程为，得出圆心坐标代入直线方程，求得的值，进而得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 整理得， 即， 可得所求圆的圆心坐标为， 因为所求圆的圆心在直线上，可得， 解得，代入整理得 即所求圆的方程为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆的方程为，则圆关于直线对称的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 6．（24-25高二上·云南·期中）已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·福建福州·开学考试）过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 11．（24-25高二上·安徽·期中）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆O：包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 13．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ． 14．（24-25高二上·北京·期中）已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为 ；实数的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. 16. (15分) （23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 17. (15分) （22-23高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 18. (17分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线（其中）上运动，记直线与轴的交点分别为 ， 求面积的最小值． 19. (17分) （2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C A D A D AB AB 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】求得圆心的对称点的坐标，可求对称圆的标准方程. 【详解】由，可得， 所以圆心，半径为， 点关于直线的对称点为， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程是. 故选：D. 2．A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 3．A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 4．C 【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可. 【详解】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 5．A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 6．D 【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果. 【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 7．A 【解析】设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可. 【详解】设过点的抛物线的切线方程为：， 即（*）， 代入得， 由得，（1） 所以方程（1）有两个不相等的实数根，， 且，， 在（*）中令得，， 设的外接圆圆心为点， 则， 下求：线段中点横标，纵标， 线段的中垂线方程为， 令得， 由（1）知，故， 设的外接圆半径为， 则， 所以的外接圆方程为， 即. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．D 【分析】求出圆的圆心坐标与半径，设的斜率为，因为，所以，当最大时最小，利用圆心到直线的距离等于半径求得的最大值，即可得到的最小值. 【详解】 圆经过， 圆心在的垂直平分线上， 又圆与轴正半轴相切，圆的半径为2， 设圆心坐标为， 由得， 圆心坐标为， 设的斜率为，因为，所以， 当最大时最小， 设（），由图可知当与圆相切时最大， 此时， 解得，此时， 即的最小值为，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系、转化思想的应用，属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答. 9．AB 【分析】对于A，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，利用圆的面积公式，可得答案； 对于B，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，令半径大于零建立不等式，可得答案； 对于C，利用两点距离公式，结合反例，可得答案； 对于D，由题意当圆周长最大，半径则最大，确定参数的值，可得答案. 【详解】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆外，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误. 故选：AB. 10．AB 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 11．AB 【分析】曲线关于x轴，y轴对称，当，时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的半圆，画出图象，根据图像与圆的几何性质，逐项判断即可； 【详解】对于A，因点在曲线上，点，也都在曲线 E上， 则曲线E关于x轴，y轴对称， 当，时，曲线的方程为，表示以点为圆心， 为半径的圆在直线上方的半圆含端点， 因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    所以曲线围成的图形面积是，故A正确; 对于B，点在曲线上，则等价于， 则有， ，解得，故B正确; 对于C，曲线 上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，故C不正确. 对于D，，故D错误; 故选：AB. 12． 【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边中点求解即可. 【详解】因为的三个顶点，，， 所以为直角三角形， 故三角形外接圆圆心为斜边的中点， 半径, 所以圆的方程为. 故答案为： 13． 【分析】设圆的标准方程为，结合题意，求出过点与直线 垂直的直线方程及线段的垂直平分线的方程，联立可得圆心坐标，继而可求出半径，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆与直线相切于点， 可得过点与直线垂直的直线方程为． 又由、，可得线段的垂直平分线的方程， 联立方程组，解得，，即圆心坐标为． 又由，即圆的半径为， 所以圆的方程为． 故答案为：. 14． （答案不唯一） / 【分析】首先得到直线过定点，曲线是半个圆，数形结合得到两种临界情况，根据直线斜率变化情况，解不等式，即可得到结果. 【详解】   直线可变形为，可得到直线过定点， 曲线为以原点为圆心，为半径的圆的上半部分， 若两个图象有公共点，则只需要直线和圆相交即可，如图是两种临界情况， 当直线过点直线的斜率为；当直线过点时得到直线的斜率为， 当直线斜率存在时，即时，直线的斜率为， 由图可得直线斜率的范围是， 即解得 ， 当时，直线为，符合题意. 故得到范围是， 则实数的一个取值可以为，的最大值为. 故答案为：（答案不唯一）；. 15．(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程可得交点，求解中点坐标，即可根据斜率公式求解，即可根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程， （2）联立两直线方程可得圆心坐标，进而可求解半径，即可得解. 【详解】（1），故， 因为，所以中点坐标为且. 所以的垂直平分线方程为，即. （2），故圆心坐标为，半径为. 所以圆的标准方程为. 16．(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 17．(1) (2) 【分析】 （1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案. 【详解】（1）方程可变为：由方程表示圆， 所以，即得， .圆心坐标为. （2）当时，圆方程为：， 设，又为线段的中点，的坐标为则， 由端点在圆上运动， 即 线段中点的轨迹方程为. 18．（1）；（2）①证明见解析；②32. 【分析】（1）由题可设圆心坐标为，则根据圆经过坐标原点和点得，再根据两点间的距离公式列式解得圆心为，半径为，即可得方程； （2）①根据题意设，再根据题意知在以为直径的圆上，此时再写出以为直径的圆的方程，又因为是两圆的公共弦，所以两圆方程做差求得弦的方程即可解决； ②设，过的与圆相切的直线斜率为，写出切线方程，再根据直线与圆相切得关于的一元二次方程，不妨记直线的斜率为，直线的斜率为，利用韦达定理得与关系，另一方面，写出，方程，令得，再求出，表示出面积，再根据函数的性质求解面积最值即可. 【详解】解：（1）因为圆心在直线上，故设圆心坐标为， 又因为圆经过坐标原点和点， 所以，即，解得：， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为：； （2）①因为点在直线上运动，故设， 又因为是圆的两条切线，其中为切点，故连接，如图    所以，，所以在以为直径的圆上， 所以的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为： ，化简得：， 所以是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦的方程：， 整理得：，所以直线经过定点； ②设点，设过的与圆相切的直线斜率为，切线方程为：， ∴ 圆心到切线的距离， 整理得： ∴ 由题知： 即：，整理得：， ， 不妨记直线的斜率为，直线的斜率为 所以有，，令得， ∴ ， ， 令，则 ∴            ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等知识点，考查数学运算能力. 19．（1）；（2）是，定点坐标为或 【解析】（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程. （2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案. 【详解】（1）根据题意：，因为，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，， 把直线的方程代入椭圆方程化简得到， 所以，， 所以，， 因为直线的斜率，所以直线的方程， 所以点的坐标为，同理，点的坐标为， 故以为直径的圆的方程为， 又因为，， 所以圆的方程可化为，令，则有， 所以定点坐标为或. 【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 5 【提升训练】 8 知识回顾 1. 圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2. 点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3. 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 10．（24-25高二上·海南·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．圆关于直线对称 C．若，则圆过坐标原点 D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 11．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 13．（23-24高二下·全国·课前预习）方程表示的圆的圆心为 ，半径为 . 14．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 16. (15分) （23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 17. (15分) （23-24高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 18. (17分) （24-25高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线过点且与直线垂直. (1)求直线的一般式方程； (2)求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 19. (17分) （2023高一·全国·专题练习）已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 7．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知曲线，则下列说法错误的是（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 10．（22-23高二上·河北张家口·期末）下列选项正确的有（    ） A．表示过点，且斜率为2的直线 B．是直线的一个方向向量 C．以，为直径的圆的方程为 D．直线恒过点 11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 13．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为 . 14．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知点，，，则的外接圆方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·甘肃白银·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与直线相交于两点，求的值. 16. (15分) （22-23高二上·四川成都·阶段练习）设，为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值2. (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值. 17. (15分) （2024高二·全国·专题练习）已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 18. (17分) （24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 19. (17分) （2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆的方程为，则圆关于直线对称的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 6．（24-25高二上·云南·期中）已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·福建福州·开学考试）过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 11．（24-25高二上·安徽·期中）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则 C．若圆O：包含曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，点，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 13．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ． 14．（24-25高二上·北京·期中）已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为 ；实数的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. 16. (15分) （23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 17. (15分) （22-23高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 18. (17分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线（其中）上运动，记直线与轴的交点分别为 ， 求面积的最小值． 19. (17分) （2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$